Begriffslexikon - Mathematik

Given the function f(x) = 2x + 1, find the value of f(3).

函数

已知函数 f(x) = 2x + 1，求 f(3) 的值。

hánshù

Calculate the definite integral ∫₀¹ x dx.

积分

计算定积分 ∫₀¹ x dx。

jīfēn

Solve the equation: x² - 5x + 6 = 0

一元二次方程

解方程：x² - 5x + 6 = 0

yīyuán èrcì fāngchéng

Line AB is perpendicular to line CD.

垂直

直线 AB 垂直于直线 CD。

chuízhí

The formula for the area of a circle: A = πr²

圆

求圆的面积公式：A = πr²

yuán

The probability of getting heads when flipping a coin is 1/2.

概率

抛硬币出现正面的概率是 1/2。

gàilǜ

The mean of the sequence 2, 4, 6, 8 is 5.

平均数

数列 2, 4, 6, 8 的平均数是 5。

píngjūnshù

The slope of the line y = 2x + 1 is 2.

斜率

直线 y = 2x + 1 的斜率是 2。

xiélǜ

The graph of the function y = x² is a parabola.

抛物线

函数 y = x² 的图像是一条抛物线。

pāowùxiàn

Pythagorean theorem: a² + b² = c²

定理

勾股定理：a² + b² = c²

dìnglǐ

In the equation 2x + 3 = 7, x is the variable.

变量

在方程 2x + 3 = 7 中，x 是变量。

biànliàng

In the polynomial 3x² + 2x + 1, 3 is the coefficient of x².

系数

在多项式 3x² + 2x + 1 中，3 是 x² 的系数。

xìshù

The domain of the function f(x) = 1/x is x ≠ 0.

定义域

函数 f(x) = 1/x 的定义域是 x ≠ 0。

dìngyìyù

Which of the following statements about sets is correct?

集合

下列关于集合的说法中，正确的是哪一项？

jíhé

Solve the inequality: 2x - 3 > 5

不等式

解不等式：2x - 3 > 5

bùděngshì

If A ⊆ B, then A is a subset of B

子集

若 A ⊆ B，则 A 是 B 的子集

zǐjí

What is the range of the absolute value function f(x) = |x|?

绝对值

绝对值函数 f(x) = |x| 的值域是？

juéduìzhí

What is the periodicity of the trigonometric function sin(x)?

周期性

三角函数 sin(x) 的周期性是什么？

zhōuqīxìng

Given that function f(x) is monotonically increasing on interval [1, 5], find the range of a

单调递增

已知函数 f(x) 在区间 [1, 5] 上单调递增，求 a 的取值范围

dāndiào dìzēng

Function f(x) = -x² is monotonically decreasing when x > 0

单调递减

函数 f(x) = -x² 在 x > 0 时单调递减

dāndiào dìjiǎn

If f(x) = 2x + 1, find the inverse function f⁻¹(x)

反函数

若 f(x) = 2x + 1，求反函数 f⁻¹(x)

fǎnhánshù

Let f(x) = x² and g(x) = 2x, find the composite function f(g(x))

复合函数

设 f(x) = x² 和 g(x) = 2x，求复合函数 f(g(x))

fùhé hánshù

What is the domain of the logarithmic function f(x) = log₂(x)?

对数函数

对数函数 f(x) = log₂(x) 的定义域是什么？

duìshù hánshù

Which of the following properties of trigonometric functions is correct?

三角函数

下列关于三角函数的性质，正确的是？

sānjiǎo hánshù

What is the magnitude of vector a = (3, 4)?

向量

向量 a = (3, 4) 的模长是多少？

xiàngliàng

What is the standard equation of an ellipse?

椭圆

椭圆的标准方程是什么？

tuǒyuán

What is the equation of the asymptotes of a hyperbola?

双曲线

双曲线的渐近线方程是什么？

shuāngqūxiàn

Find the asymptotes of function f(x) = 1/x

渐近线

求函数 f(x) = 1/x 的渐近线

jiànjìnxiàn

What is the general term formula of sequence {aₙ}?

数列

数列 {aₙ} 的通项公式是什么？

shùliè

Given the sum of the first n terms Sₙ = n², find the general term formula aₙ

通项公式

已知数列前 n 项和 Sₙ = n²，求通项公式 aₙ

tōngxiàng gōngshì

Find the product of matrix A and matrix B

矩阵

求矩阵 A 和矩阵 B 的乘积

jǔzhèn

Calculate the value of the determinant of a matrix

行列式

计算矩阵的行列式的值

hánglièshì

Find the limit: lim(x→0) sin(x)/x

极限

求极限：lim(x→0) sin(x)/x

jíxiàn

Standard deviation equals the square root of variance

标准差

标准差等于方差的平方根

biāozhǔnchā

If a is an element of set A, we write a ∈ A.

元素

如果 a 是集合 A 的元素，记作 a ∈ A。

yuánsù

A set containing no elements is called the empty set, denoted ∅.

空集

不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅。

kōngjí

In a specific problem, the set containing all objects under study is called the universal set, denoted U.

全集

在特定问题中，包含所有研究对象的集合称为全集，记作 U。

quánjí

Sets can be expressed using roster notation {1, 2, 3} or set-builder notation {x | x > 0}.

集合的表示法

集合可以用列举法 {1, 2, 3} 或描述法 {x | x > 0} 表示。

jíhé de biǎoshìfǎ

The difference of sets A and B is A - B = {x | x ∈ A and x ∉ B}.

差集

集合 A 与 B 的差集 A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。

chājí

Venn diagrams visually represent relationships between sets.

韦恩图

用韦恩图可以直观地表示集合之间的关系。

wéiēntú

Solve the quadratic inequality: x² - 5x + 6 > 0

一元二次不等式

解一元二次不等式：x² - 5x + 6 > 0

yīyuán èrcì bùděngshì

The solution set of inequality x > 3 is {x | x > 3}.

解集

不等式 x > 3 的解集是 {x | x > 3}。

jiějí

Solve the rational inequality: (x + 1)/(x - 2) > 0

分式不等式

解分式不等式：(x + 1)/(x - 2) > 0

fēnshì bùděngshì

A sign chart helps determine where a function is positive or negative.

符号表

使用符号表可以确定函数在各区间的正负性。

fúhàobiǎo

In solving inequalities, critical values are points where the expression equals zero or is undefined.

临界值

在解不等式时，临界值是使表达式为零或无定义的点。

línjiè zhí

For function f(x) = 1/x, x = 0 is an undefined point.

无定义点

对于函数 f(x) = 1/x，x = 0 是无定义点。

wú dìngyì diǎn

Use the test point method to determine the sign of inequality in each interval.

试点法

用试点法确定不等式各区间的符号。

shìdiǎnfǎ

If a > b and b > c, then a > c (transitive property).

传递性

如果 a > b 且 b > c，则 a > c（传递性）。

chuándìxìng

The general form of a power function is f(x) = xⁿ.

幂函数

幂函数的一般形式为 f(x) = xⁿ。

mì hánshù

In 2³, 3 is the exponent.

指数

在 2³ 中，3 是指数。

zhǐshù

In 2³, 2 is the base.

底数

在 2³ 中，2 是底数。

dǐshù

x^(1/2) represents the square root of x (rational exponent).

有理指数

x^(1/2) 表示 x 的平方根（有理指数）。

yǒulǐ zhǐshù

√x is the radical form of x^(1/2).

根式形式

√x 是 x^(1/2) 的根式形式。

gēnshì xíngshì

Population increases in exponential growth.

指数增长

人口以指数增长的方式增加。

zhǐshù zēngzhǎng

Radioactive substances follow exponential decay.

指数衰减

放射性物质遵循指数衰减规律。

zhǐshù shuāijiǎn

The natural exponential function is f(x) = eˣ, where e ≈ 2.718.

自然指数

自然指数函数是 f(x) = eˣ，其中 e ≈ 2.718。

zìrán zhǐshù

Compound interest formula: A = P(1 + r)ⁿ

复利

复利计算公式：A = P(1 + r)ⁿ

fùlì

Natural logarithm has base e, written as ln x.

自然对数

自然对数以 e 为底，记作 ln x。

zìrán duìshù

Common logarithm has base 10, written as log x.

常用对数

常用对数以 10 为底，记作 log x。

chángyòng duìshù

log(ab) = log a + log b (logarithmic property)

对数性质

log(ab) = log a + log b（对数性质）

duìshù xìngzhì

Change of base formula: logₐ b = (log b)/(log a)

换底公式

换底公式：logₐ b = (log b)/(log a)

huàndǐ gōngshì

In a right triangle, sin θ = opposite/hypotenuse.

正弦

在直角三角形中，sin θ = 对边/斜边。

zhèngxián

In a right triangle, cos θ = adjacent/hypotenuse.

余弦

在直角三角形中，cos θ = 邻边/斜边。

yúxián

In a right triangle, tan θ = opposite/adjacent.

正切

在直角三角形中，tan θ = 对边/邻边。

zhèngqiē

The unit circle has radius 1 and is used to define trigonometric functions.

单位圆

单位圆的半径为 1，用于定义三角函数。

dānwèi yuán

If a, b, c form an arithmetic sequence, then b is the arithmetic mean of a and c.

等差中项

如果 a, b, c 成等差数列，则 b 是 a 和 c 的等差中项。

děngchā zhōngxiàng

The nth term formula for arithmetic sequence: aₙ = a₁ + (n-1)d

通项公式

等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d

tōngxiàng gōngshì

Arithmetic series sum formula: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

等差级数

等差级数求和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

děngchā jíshù

In a geometric sequence, the ratio between consecutive terms is called the common ratio q.

公比

等比数列中，相邻两项的比值称为公比 q。

gōngbǐ

If a, b, c form a geometric sequence, then b² = ac.

等比中项

如果 a, b, c 成等比数列，则 b² = ac。

děngbǐ zhōngxiàng

Geometric series sum formula: Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q), where q ≠ 1.

等比级数

等比级数求和公式：Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)，其中 q ≠ 1。

děngbǐ jíshù

When |q| < 1, infinite geometric series converges to S = a₁/(1 - q).

无穷等比级数

当 |q| < 1 时，无穷等比级数收敛于 S = a₁/(1 - q)。

wúqióng děngbǐ jíshù

The derivative represents the instantaneous rate of change of a function at a point.

瞬时变化率

导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

shùnshí biànhuàlǜ

The geometric meaning of derivative is the slope of the tangent line at a point on the curve.

切线

导数的几何意义是曲线上某点处的切线斜率。

qiēxiàn

The derivative of f(x) at x = a equals the slope of the tangent.

切线斜率

函数 f(x) 在 x = a 处的导数等于切线斜率。

qiēxiàn xiélǜ

Limit definition of derivative: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h

极限定义

导数的极限定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h

jíxiàn dìngyì

When f'(x) = 0 or f'(x) does not exist, x is a critical point.

临界点

当 f'(x) = 0 或 f'(x) 不存在时，x 是临界点。

línjiè diǎn

If f(a) ≥ f(x) for all x near a, then f(a) is a local maximum.

局部最大值

如果 f(a) ≥ f(x) 对于 a 附近的所有 x 成立，则 f(a) 是局部最大值。

júbù zuìdàzhí

If f(a) ≤ f(x) for all x near a, then f(a) is a local minimum.

局部最小值

如果 f(a) ≤ f(x) 对于 a 附近的所有 x 成立，则 f(a) 是局部最小值。

júbù zuìxiǎozhí

Derivatives can solve many optimization problems, such as finding maximum profit or minimum cost.

最优化问题

利用导数可以解决许多最优化问题，如求最大利润或最小成本。

zuìyōuhuà wèntí

Point-slope form of linear equation: y - y₁ = m(x - x₁)

直线方程

直线方程的点斜式：y - y₁ = m(x - x₁)

zhíxiàn fāngchéng

Standard equation of circle: (x - a)² + (y - b)² = r², where r is the radius.

半径

圆的标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中 r 是半径。

bànjìng

The vertex of parabola y = ax² + bx + c is at (-b/2a, f(-b/2a)).

顶点

抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。

dǐngdiǎn

An ellipse has two foci satisfying PF₁ + PF₂ = 2a (constant).

焦点

椭圆有两个焦点，满足 PF₁ + PF₂ = 2a（常数）。

jiāodiǎn

The eccentricity of ellipse is e = c/a, where 0 < e < 1.

离心率

椭圆的离心率 e = c/a，其中 0 < e < 1。

líxīnlǜ

The magnitude of vector a = (x, y) is |a| = √(x² + y²).

模长

向量 a = (x, y) 的模长是 |a| = √(x² + y²)。

mócháng

Dot product of vectors: a · b = |a||b|cos θ

点积

向量点积：a · b = |a||b|cos θ

diǎnjī

General form of complex number: z = a + bi, where i² = -1.

复数

复数的一般形式：z = a + bi，其中 i² = -1。

fùshù

For complex number z = a + bi, a is the real part.

实部

对于复数 z = a + bi，a 是实部。

shíbù

For complex number z = a + bi, b is the imaginary part.

虚部

对于复数 z = a + bi，b 是虚部。

xūbù

The conjugate of complex number z = a + bi is z̄ = a - bi.

共轭复数

复数 z = a + bi 的共轭复数是 z̄ = a - bi。

gòngè fùshù

The modulus of complex number z = a + bi is |z| = √(a² + b²).

模

复数 z = a + bi 的模是 |z| = √(a² + b²)。

mó

The sample space for flipping a coin is S = {heads, tails}.

样本空间

抛一枚硬币的样本空间是 S = {正面, 反面}。

yàngběn kōngjiān

In probability theory, an event is a subset of the sample space.

事件

在概率论中，事件是样本空间的子集。

shìjiàn

Factorial of 5: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

阶乘

5 的阶乘：5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

jiēchéng

The median of dataset {1, 3, 5, 7, 9} is 5.

中位数

数据集 {1, 3, 5, 7, 9} 的中位数是 5。

zhōngwèishù

The mode of dataset {1, 2, 2, 3, 4} is 2.

众数

数据集 {1, 2, 2, 3, 4} 的众数是 2。

zhòngshù

Deviation is the difference between a data point and the mean.

偏差

偏差是数据点与平均值之间的差异。

piānchā

The normal distribution curve is bell-shaped and symmetric about the mean.

正态分布

正态分布的曲线呈钟形，关于均值对称。

zhèngtài fēnbù

The normal distribution graph is a bell curve.

钟形曲线

正态分布图呈钟形曲线。

zhōngxíng qūxiàn

Random variable X represents the outcome of a random experiment.

随机变量

随机变量 X 表示随机实验的结果。

suíjī biànliàng

Solve the equation: 2x + 3 = 7

方程

求解方程：2x + 3 = 7

fāngchéng

Simplify the expression: 2x + 3x = 5x

表达式

化简表达式：2x + 3x = 5x

biǎodáshì