补集bǔjí

Kernkonzept

Das Komplement einer Menge A, geschrieben als $\complement_U A$ oder $\overline{A}$ oder $A^c$, ist die Menge aller Elemente in der Grundmenge U, die NICHT in A sind.

Mathematische Definition

$\complement_U A = \{x | x \in U \text{ und } x \notin A\}$

Das Komplement enthält genau die Elemente, die zur Grundmenge gehören, aber nicht zu A.

Notationsvarianten

• $\complement_U A$ - Standardnotation mit Betonung der Grundmenge
• $\overline{A}$ - Überstrich-Notation
• $A^c$ oder $A'$ - Hochgestellte Notation
• $U - A$ - Mengendifferenz-Notation

Visuelle Darstellung

Im Venn-Diagramm ist das Komplement der Bereich außerhalb der Menge A, aber innerhalb der Grundmenge.

  U: [#############]
     [####]  A  [  ]

Der schattierte Bereich [####] stellt $\complement_U A$ dar.

Wichtige Eigenschaften

1. Komplement des Komplements

$\complement_U(\complement_U A) = A$

2. Komplement der Grundmenge

$\complement_U U = \emptyset$

3. Komplement der leeren Menge

$\complement_U \emptyset = U$

4. Vereinigung mit Komplement

$A \cup \complement_U A = U$

5. Schnittmenge mit Komplement

$A \cap \complement_U A = \emptyset$

6. De Morgansche Gesetze

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$ $\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

Beispiele

Beispiel 1: Endliche Mengen

Gegeben: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}

Gesucht: $\complement_U A$

Lösung: Elemente in U, die nicht in A sind: 1, 3, 5

Antwort: $\complement_U A$ = {1, 3, 5}

Beispiel 2: Reelle Zahlenmengen

Gegeben: U = ℝ, A = {x | x ≥ 2}

Gesucht: $\complement_U A$

Lösung: Reelle Zahlen, die NICHT ≥ 2 sind, also < 2

Antwort: $\complement_U A$ = {x | x < 2} = (-∞, 2)

Beispiel 3: Intervall-Komplement

Gegeben: U = ℝ, A = (-1, 3]

Gesucht: $\complement_U A$

Lösung: Alle reellen Zahlen außerhalb von (-1, 3]

Antwort: $\complement_U A$ = (-∞, -1] ∪ (3, +∞)

CSCA Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeit ★★☆☆☆)

Wenn U = {1, 2, 3, 4, 5} und A = {1, 3, 5}, finde $\complement_U A$.

Optionen:

• A. {1, 3, 5}
• B. {2, 4}
• C. {1, 2, 3, 4, 5}
• D. ∅

Lösung: Elemente in U, die nicht in A sind: 2, 4

Antwort: B

---

Beispiel 2: Fortgeschritten (Schwierigkeit ★★★☆☆)

Gegeben U = ℝ, A = {x | x² - 4 ≤ 0}, finde $\complement_U A$.

Lösung:

Zuerst die Ungleichung lösen: $x² - 4 ≤ 0$ $(x-2)(x+2) ≤ 0$ $A = [-2, 2]$

Das Komplement sind alle reellen Zahlen außerhalb dieses Intervalls: $\complement_U A = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

Antwort: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

---

Beispiel 3: Anspruchsvoll (Schwierigkeit ★★★★☆)

Wenn U = ℝ, A = {x | x > 1}, B = {x | x > 2}, finde $\complement_U A \cup B$.

Lösung:

$\complement_U A$ = {x | x ≤ 1} = (-∞, 1] B = {x | x > 2} = (2, +∞)

$\complement_U A \cup B = (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

Antwort: $(-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

De Morgansche Gesetze im Detail

Gesetz 1: Komplement der Vereinigung

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$

Beispiel: Wenn A = {1, 2}, B = {2, 3}, U = {1, 2, 3, 4}

• A ∪ B = {1, 2, 3}
• $\complement_U(A \cup B)$ = {4}
• $\complement_U A$ = {3, 4}, $\complement_U B$ = {1, 4}
• $\complement_U A \cap \complement_U B$ = {4} ✓

Gesetz 2: Komplement der Schnittmenge

$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Die Grundmenge vergessen

Falsch: $\complement A$ = {alle Elemente nicht in A} ✗

Richtig: $\complement_U A$ = {Elemente in U, die nicht in A sind} ✓

❌ Fehler 2: Falsche Intervallgrenzen

Falsch: Wenn A = [1, 3], dann $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1] ∪ [3, +∞) ✗

Richtig: $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1) ∪ (3, +∞) ✓

❌ Fehler 3: De Morgan Vorzeichenfehler

Falsch: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cup \complement B$ ✗

Richtig: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cap \complement B$ ✓

Lerntipps

1. ✅ Zuerst U identifizieren: Die Grundmenge bestimmt das Komplement
2. ✅ Grenzen bei Intervallen umkehren: Offen ↔ geschlossen beim Komplementieren
3. ✅ De Morgansche Gesetze beherrschen: "Strich brechen, Zeichen wechseln"
4. ✅ Doppeltes Komplement gibt Original: $\complement(\complement A) = A$

---

💡 Prüfungstipp: Beim Komplementieren von Intervallen gilt: Geschlossene Grenze wird offen, offene wird geschlossen!