并集bìngjí

Kernkonzept

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B, geschrieben als A ∪ B, ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B (oder zu beiden) gehören.

Mathematische Definition

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ oder } x \in B\}$

Ein Element gehört zur Vereinigungsmenge, wenn es zu mindestens einer der beiden Mengen gehört.

Wichtige Eigenschaften

1. Kommutativgesetz

$A \cup B = B \cup A$

2. Assoziativgesetz

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. Identitätseigenschaft

$A \cup \emptyset = A$ (die leere Menge ist das neutrale Element)

4. Idempotenzgesetz

$A \cup A = A$

5. Vereinigung mit Grundmenge

$A \cup U = U$ (wobei U die Grundmenge ist)

Kardinalitätsformel

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Diese Formel berücksichtigt, dass gemeinsame Elemente nicht doppelt gezählt werden.

Beispiele

Beispiel 1: Endliche Mengen

Gegeben: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Gesucht: A ∪ B

Lösung: Alle Elemente aus beiden Mengen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Antwort: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Beispiel 2: Intervall-Vereinigung

Gegeben: A = [-2, 3], B = [1, 5]

Gesucht: A ∪ B

Lösung: Die Vereinigung beider Intervalle ist [-2, 5]

Antwort: A ∪ B = [-2, 5]

CSCA Übungsaufgaben

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeit ★☆☆☆☆)

Wenn A = {a, b, c, d} und B = {c, d, e, f}, finde A ∪ B.

Lösung: Alle Elemente: a, b, c, d, e, f

Antwort: {a, b, c, d, e, f}

Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeit ★★★☆☆)

Wenn |A| = 5, |B| = 4 und |A ∩ B| = 2, finde |A ∪ B|.

Lösung: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7$

Antwort: 7

Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeit ★★★★☆)

Wenn A ∪ B = A, welche Beziehung besteht zwischen den Mengen A und B?

Lösung: Wenn A ∪ B = A, dann muss jedes Element von B auch in A sein.

Antwort: B ⊆ A (B ist Teilmenge von A)

Häufige Fehler

Fehler 1: Verwechslung von Vereinigungs- und Schnittmenge

Falsch: A ∪ B enthält nur gemeinsame Elemente

Richtig: A ∪ B enthält alle Elemente aus beiden Mengen

Fehler 2: Doppeltes Zählen bei Kardinalität

Falsch: |A ∪ B| = |A| + |B|

Richtig: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Lerntipps

1. "ODER"-Denken: Vereinigungsmenge bedeutet ODER - Element muss in MINDESTENS einer Menge sein
2. Venn-Diagramme zeichnen: Visuelle Darstellung hilft Fehler zu vermeiden
3. Kardinalitätsformel merken: Immer die Schnittmenge abziehen!

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Prüfungstipp: Bei Kardinalitätsproblemen immer die Formel |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| verwenden!