区间qūjiān

Kernkonzept

Ein Intervall stellt eine zusammenhangende Teilmenge der reellen Zahlen dar. Die Intervallnotation bietet eine kompakte Methode zur Beschreibung von Zahlenbereichen auf der Zahlengeraden.

Definition

Ein Intervall ist eine Menge aller reellen Zahlen zwischen zwei Endpunkten $a$ und $b$, wobei $a \leq b$.

Vier Grundtypen

Typ 1: Abgeschlossenes Intervall $[a, b]$

$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$

Beide Endpunkte eingeschlossen.

Beispiel: $[1, 5]$ enthalt $1, 2, 3, 4, 5$ und alle reellen Zahlen dazwischen.

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Typ 2: Offenes Intervall $(a, b)$

$（a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$

Beide Endpunkte ausgeschlossen.

Beispiel: $(1, 5)$ enthalt alle Zahlen zwischen $1$ und $5$, aber nicht $1$ und $5$ selbst.

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Typ 3: Halboffenes Intervall $[a, b)$

$[a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$

Linker Endpunkt eingeschlossen, rechter ausgeschlossen.

Beispiel: $[1, 5)$ enthalt $1$, aber nicht $5$.

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Typ 4: Halboffenes Intervall $(a, b]$

$(a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$

Linker Endpunkt ausgeschlossen, rechter eingeschlossen.

Beispiel: $(1, 5]$ enthalt $5$, aber nicht $1$.

Unbegrenzte Intervalle

Intervalle konnen sich bis ins Unendliche erstrecken:

Notation	Beschreibung	Mengenschreibweise
$[a, +\infty)$	Alle $x \geq a$	$\{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
$(a, +\infty)$	Alle $x > a$	$\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$
$(-\infty, b]$	Alle $x \leq b$	$\{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
$(-\infty, b)$	Alle $x < b$	$\{x \in \mathbb{R} : x < b\}$
$(-\infty, +\infty)$	Alle reellen Zahlen	$\mathbb{R}$

Wichtig: Unendlichkeit wird immer mit runden Klammern geschrieben, da $\infty$ kein Endpunkt ist.

Klammerregeln

Klammer	Bedeutung	Symbol
$[$ oder $]$	Endpunkt eingeschlossen	Ausgefullter Punkt
$($ oder $)$	Endpunkt ausgeschlossen	Offener Punkt

Intervalloperationen

Schnittmenge (Durchschnitt)

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$

Die gemeinsamen Elemente beider Intervalle.

Vereinigung

$[1, 3] \cup [5, 7] = [1, 3] \cup [5, 7]$

Alle Elemente, die in mindestens einem der Intervalle liegen.

Komplement

$[1, 5]^c = (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

Alle reellen Zahlen, die nicht im Intervall liegen.

CSCA-Ubungsaufgaben

1. Schreiben Sie die Losungsmenge von $-2 < x \leq 5$ in Intervallnotation.

2. Berechnen Sie: $[0, 4] \cap (2, 6]$

3. Bestimmen Sie das Komplement von $(1, 3)$ bezuglich $\mathbb{R}$.

4. Wenn $A = [-1, 3]$ und $B = (0, 5)$, finden Sie $A \cup B$ und $A \cap B$.

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Losungen:

1. $(-2, 5]$
2. $(2, 4]$
3. $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$
4. $A \cup B = [-1, 5)$, $A \cap B = (0, 3]$

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Lerntipp: Intervallnotation ist grundlegend fur das Verstandnis von Funktionsdefinitionsbereichen und Ungleichungslosungen in CSCA-Prufungen!