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Kernkonzept

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B, geschrieben als A ∩ B, ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

Mathematische Definition

$A \cap B = \{x | x \in A \text{ und } x \in B\}$

Ein Element gehört zur Schnittmenge genau dann, wenn es zu beiden Mengen gehört.

Wichtige Eigenschaften

1. Kommutativgesetz

$A \cap B = B \cap A$

2. Assoziativgesetz

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

3. Identitätseigenschaft

$A \cap U = A$ (wobei U die Grundmenge ist)

4. Schnittmenge mit leerer Menge

$A \cap \emptyset = \emptyset$

Beispiele

Beispiel 1: Endliche Mengen

Gegeben: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Gesucht: A ∩ B

Lösung: Gemeinsame Elemente: 3, 4, 5

Antwort: A ∩ B = {3, 4, 5}

Beispiel 2: Intervall-Schnittmenge

Gegeben: A = [-2, 5], B = [1, 8]

Gesucht: A ∩ B

Lösung: Die Überlappung beider Intervalle ist [1, 5]

Antwort: A ∩ B = [1, 5]

CSCA Übungsaufgaben

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeit ★☆☆☆☆)

Wenn A = {a, b, c, d} und B = {c, d, e, f}, finde A ∩ B.

Lösung: Gemeinsame Elemente: c, d

Antwort: {c, d}

Beispiel 2: Fortgeschritten (Schwierigkeit ★★★★☆)

Wenn A ∩ B = A, welche Beziehung besteht zwischen den Mengen A und B?

Lösung: Wenn A ∩ B = A, dann muss jedes Element von A auch in B sein.

Antwort: A ⊆ B (A ist Teilmenge von B)

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Verwechslung von Schnitt- und Vereinigungsmenge

Falsch: A ∩ B enthält alle Elemente aus beiden Mengen ✗

Richtig: A ∩ B enthält nur gemeinsame Elemente ✓

Lerntipps

1. ✅ "UND"-Denken: Schnittmenge bedeutet UND - Element muss BEIDE Bedingungen erfüllen
2. ✅ Venn-Diagramme zeichnen: Visuelle Darstellung hilft Fehler zu vermeiden

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💡 Prüfungstipp: Schnittmengen-Aufgaben erscheinen oft mit quadratischen Ungleichungen. Löse immer zuerst die Ungleichung, dann finde die Schnittmenge!