组合zǔhé

Kernkonzept

Eine Kombination ist eine Auswahl von$m$

Elementen ($m \leq n$

) aus$n$

unterschiedlichen Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Wesentliche Merkmale

1. Die Reihenfolge spielt keine Rolle: Gleiche Elemente in unterschiedlicher Reihenfolge zählen als eine Kombination
2. Keine Wiederholungen: Jedes Element wird höchstens einmal verwendet
3. Auswahl: Wählen Sie$m$

aus$n$

Elementen ($m \leq n$

)

Unterschied zur Permutation

• Permutation: Geordnet,$\{A, B, C\}$

und$\{B, A, C\}$

sind unterschiedlich

• Kombination: Ungeordnet,$\{A, B, C\}$

und$\{B, A, C\}$

sind gleich

Kombinationsformel

Anzahl der Kombinationen von$m$

Elementen aus$n$

unterschiedlichen Elementen, bezeichnet mit$C_n^m$

oder$\binom{n}{m}$

oder$C(n,m)$

:

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Verständnis:

• Zuerst anordnen: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

• Innere Reihenfolge entfernen: $A_m^m = m!$

• Ergebnis:$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Eigenschaften von Kombinationen

1.

$C_n^m = C_n^{n-m}$

Symmetrie

Bedeutung: Auswahl$m$

von aus$n$

= Belassen$n-m$

von aus$n$

2. Pascalsche Identität

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

Bedeutung: Bestimmtes Element einbeziehen + Bestimmtes Element ausschließen

3. Sonderwerte

-$C_n^0 = 1$

(keines auswählen, eine Möglichkeit) -$C_n^1 = n$

(eines auswählen,$n$

Möglichkeiten) -$C_n^n = 1$

(alle auswählen, eine Möglichkeit)

4. Binomialsumme

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

(Gesamtzahl der Möglichkeiten, eine beliebige Anzahl von Elementen aus $n$

auszuwählen)

Berechnungstechniken

Technik 1: Symmetrie

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

nutzen### Technik 2: Pascalsche Identität###

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$

Technik 3: Durch Streichen

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

vereinfachen

CSCA-Übungsaufgaben

[Beispiel 1] Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Berechnen Sie$C_7^3$

.

Lösung:

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

Antwort:

---$35$

[Beispiel 2] Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wählen Sie aus 10 Jungen und 8 Mädchen 5 Personen für ein Team mit mindestens 2 Mädchen aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Lösung:

Fallanalyse:

Fall 1: 2 Mädchen, 3 Jungen:

**Fall$C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$

2**: 3 Mädchen, 2 Jungen:

**Fall$C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

3**: 4 Mädchen, 1 Junge: $C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$

Fall 4: 5 Mädchen, 0 Jungen: $C_8^5 = 56$

Antwort: $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$

Häufige Missverständnisse

❌ Missverständnis 1: Verwechslung von Kombination mit Permutation

Falsch: Verwendung$C_n^5$

von zum Anordnen von 5 Personen in einer Reihe

Richtig: Eine Reihe hat eine bestimmte Reihenfolge, daher sollte man$A_n^5$

❌ Missverständnis 2: Vergessen der Fallanalyse

Falsch: Direktes Berechnen von „mindestens 2 Mädchen”

Richtig: In Fälle unterteilen: 2 Mädchen, 3 Mädchen, 4 Mädchen, 5 Mädchen

Beziehung zur Permutation

$A_n^m = C_n^m \times m!$

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

Lerntipps

1. ✅ Das Wesentliche verstehen: Bei Kombinationen wird die Reihenfolge ignoriert

2. ✅ Formel beherrschen:$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

3. ✅ Eigenschaften merken: Symmetrie, Pascalsche Identität

4. ✅ Fallanalyse: „Mindestens”, „höchstens” erfordern Fälle

5. ✅ Von Permutation unterscheiden: Prüfen, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt

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💡 Prüfungstipp: Kombination ist der Schlüssel zur Kombinatorik und in CSCA obligatorisch! Sie macht etwa 60 % der Zählprobleme aus. Fallanalyse und Inklusions-Exklusionsprinzip sind wesentliche Techniken.