排列páiliè

Kernkonzept

Eine Permutation ist eine Anordnung von$m$

Elementen ($m \leq n$

), die aus$n$

unterschiedlichen Elementen in einer bestimmten Reihenfolge ausgewählt werden.

Wesentliche Merkmale

1. Die Reihenfolge ist wichtig: Unterschiedliche Reihenfolgen gelten als unterschiedliche Permutationen.
2. Keine Wiederholungen: Jedes Element wird höchstens einmal verwendet.
3. Auswahl: Wählen Sie$m$

aus$n$

Elementen ($m \leq n$

)

Permutationsformel

Allgemeine Permutation

Die Anzahl der Permutationen von$m$

Elementen aus$n$

unterschiedlichen Elementen, bezeichnet mit$A_n^m$

oder$P_n^m$

oder$P(n,m)$

:

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Verständnis:

• Position 1: Auswahlmöglichkeiten$n$

• Position 2: Auswahlmöglichkeiten$n-1$

• ...

• Position$m$

: Auswahlmöglichkeiten$n-m+1$

Nach dem Multiplikationsprinzip: $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

Vollständige Permutation

Wenn$m = n$

, bezeichnet als vollständige Permutation:

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Konvention: $0! = 1$

Häufige Werte

|$n$

|$n!$

| |-----|------| |$0$

|$1$

| |$1$

|$1$

| |$2$

|$2$

| |$3$

|$6$

| |$4$

|$24$

| |$5$

|$120$

| |$6$

|$720$

|

Spezielle Permutationen

1. Derangement

Anzahl der Permutationen, bei denen sich kein Element an seiner ursprünglichen Position befindet:

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

Näherungswert: $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. Zirkuläre Permutation

Anordnung von$n$

unterschiedlichen Elementen in einem Kreis:

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(Kein fester Startpunkt, durch teilen$n$

)

3. Permutationen mit Wiederholungen

$n$

Elemente mit$n_1$

identisch,$n_2$

identisch, ...,$n_k$

identisch ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$

):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Berechnungstechniken

Technik 1: Schrittweise Multiplikation

Beispiel: Wählen Sie aus 10 Personen 3 Personen für die Positionen Präsident, Vizepräsident und Sekretär aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Lösung:

• Präsident: 10 Auswahlmöglichkeiten
• Vizepräsident: 9 Auswahlmöglichkeiten
• Sekretär: 8 Auswahlmöglichkeiten

Antwort: $10 \times 9 \times 8 = 720$

Technik 2: Besondere Elemente zuerst behandeln

Beispiel: 5 Personen stehen in einer Reihe, Person A muss an erster Stelle stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Lösung:

• Eine feste erste Person: 1 Möglichkeit
• Die restlichen 4 anordnen: $4! = 24$

Antwort: $1 \times 24 = 24$

Technik 3: Komplementäres Zählen

Beispiel: 5 Personen stehen in einer Reihe, A und B stehen nicht nebeneinander. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Lösung:

• Gesamtzahl der Anordnungen: $5! = 120$

• A und B stehen nebeneinander (als eine Person behandelt): $2! \times 4! = 48$

• Stehen nicht nebeneinander:$120 - 48 = 72$

Antwort: $72$

CSCA-Übungsaufgaben

[Beispiel 1] Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Berechnen Sie$A_6^3$

.

Lösung: Oder

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

Antwort:

---$120$

[Beispiel 2] Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

5 Personen stellen sich für ein Foto auf, A und B müssen zusammen stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Lösung:

Gruppierungsmethode:

1. A und B als eine Einheit behandeln, 4 Einheiten anordnen: $4! = 24$

2. A und B intern anordnen: $2! = 2$

Antwort:$24 \times 2 = 48$

Häufige Missverständnisse

❌ Missverständnis 1: Verwechslung von Permutation und Kombination

Falsch: Die Reihenfolge wird nicht berücksichtigt, Permutation wird als Kombination behandelt.

Richtig: Permutation ist geordnet, Kombination ist ungeordnet.

❌ Missverständnis 2: Besondere Einschränkungen werden vergessen

Falsch: Bedingungen wie „die erste Ziffer darf nicht 0 sein” werden ignoriert.

Richtig: Besondere Positionen oder Elemente zuerst behandeln

Beziehung zur Kombination

$A_n^m = C_n^m \times m!$

Verständnis:

• Wähle$m$

aus$n$

: $C_n^m$

• Ordne diese$m$

Elemente: $m!$

Lerntipps

1. ✅ Das Wesentliche verstehen: Bei Permutation steht die Reihenfolge im Vordergrund

2. ✅ Formel beherrschen:$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ Techniken üben: Besondere Elemente zuerst, Gruppierung, Einfügen, Ergänzen

4. ✅ Fallanalyse: Komplexe Probleme erfordern eine Klassifizierung

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💡 Prüfungstipp: Permutation ist grundlegend für die Kombinatorik und in CSCA obligatorisch! Sie macht etwa 40 % der Zählprobleme aus. Der Schlüssel zum Erfolg liegt darin, die Fallanalyse und spezielle Behandlungstechniken zu beherrschen.