判别式pànbiéshì

Kernkonzept

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ ist definiert als:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Die Diskriminante bestimmt die Art (Typ und Anzahl) der Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Ursachenanalyse

Diskriminante	Anzahl der reellen Wurzeln	Die Natur der Wurzeln
$\Delta > 0$	Zwei	Zwei unterschiedliche reelle Wurzeln
$\Delta = 0$	Eins	Eine doppelte reelle Wurzel (Doppelwurzel)
$\Delta < 0$	Null	Zwei komplex konjugierte Wurzeln

Fall 1: $\Delta > 0$ (zwei unterschiedliche reelle Wurzeln)

Die Wurzeln sind: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Fall 2: $\Delta = 0$ (eine wiederholte Wurzel)

Die Wurzel lautet: $x = -\frac{b}{2a}$

Die Parabel berührt die x-Achse an diesem Punkt.

Fall 3: $\Delta < 0$ (keine reellen Wurzeln)

Die Hintergründe sind vielschichtig: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

Die Parabel schneidet die x-Achse nicht.

Grafische Darstellung

Für die quadratische Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$:

• $\Delta > 0$: Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten
• $\Delta = 0$: Die Parabel berührt die x-Achse genau an einem Punkt (Scheitelpunkt)
• $\Delta < 0$: Die Parabel berührt die x-Achse nicht

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem Prüfungslehrplan der CSCA.

Beispiel 1: Grundstufe (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Bestimmen Sie die Art der Wurzeln von $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Lösung: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

Seit $\Delta = 0$ gibt es eine sich wiederholende Wurzel.

Antwort: Eine sich wiederholende reelle Wurzel: $x = 2$

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Für welche Werte von $k$ hat $x^2 + kx + 9 = 0$ zwei gleiche reelle Wurzeln?

Lösung:

Für gleiche Wurzeln benötigen wir $\Delta = 0$: $\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0$ $k^2 = 36$ $k = \pm 6$

Antwort: $k = 6$ oder $k = -6$

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Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Bestimmen Sie den Definitionsbereich von $m$, für den $x^2 + 2x + m = 0$ zwei unterschiedliche negative Wurzeln hat.

Lösung:

Seien $x_1, x_2$ die Wurzeln. Wir benötigen:

1. Zwei unterschiedliche reelle Wurzeln: $\Delta > 0$
2. Beide Wurzeln sind negativ: $x_1 + x_2 < 0$ UND $x_1 \cdot x_2 > 0$

Aus den Formeln von Vieta:

• $x_1 + x_2 = -2 < 0$ ✓ (immer zufrieden)
• $x_1 \cdot x_2 = m > 0$

Aus der Diskriminante: $\Delta = 4 - 4m > 0$ $1 - m > 0$ $m < 1$

Kombination: $0 < m < 1$

Antwort: $m \in (0, 1)$

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Beispiel 4: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) die Wurzeln $x_1$ und $x_2$ hat, drücke $|x_1 - x_2|$ als Funktion von $a$, $b$ und $c$ aus.

Lösung:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Nach den Formeln von Vieta: $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}$

Daher: $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

Antwort: $|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

Anwendungen

1. Schnittpunkt von Gerade und Kurve

Um herauszufinden, wie oft eine Gerade eine Parabel schneidet:

1. Setze die Geradengleichung in die Parabelgleichung ein
2. Eine quadratische Gleichung bilden
3. Verwende die Diskriminante, um Schnittpunkte zu zählen

2. Tangentialbedingungen

Eine Gerade ist eine Tangente an eine Parabel, wenn $\Delta = 0$ gilt.

Beispiel: Damit $y = x^2$ und $y = kx - 1$ tangential zueinander stehen: $x^2 = kx - 1$ $x^2 - kx + 1 = 0$ $\Delta = k^2 - 4 = 0$ $k = \pm 2$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Vorzeichenfehler in der Formel

Falsch: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

Richtig: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ Fehler 2: Nicht alle Bedingungen berücksichtigen

Wenn Sie Wurzeln mit bestimmten Eigenschaften (beide positiv, beide negativ usw.) suchen, müssen Sie Folgendes prüfen:

• Diskriminante Bedingung ($\Delta$)
• Bedingung der Summe der Wurzeln
• Bedingung für das Produkt von Wurzeln

❌ Fehler 3: Gleichheit der Wurzeln mit dem Fehlen von Wurzeln verwechseln

Falsch: $\Delta = 0$ bedeutet, dass es keine reellen Wurzeln gibt ✗

Richtig: $\Delta = 0$ bedeutet eine sich wiederholende reelle Wurzel; $\Delta < 0$ bedeutet keine reellen Wurzeln ✓

Lerntipps

1. ✅ Merke dir die Formel: $\Delta = b^2 - 4ac$
2. ✅ Mit Graphen verknüpfen: Visualisiere, wie die Parabel die x-Achse schneidet, berührt oder verfehlt
3. ✅ Kombination mit der Vieta-Formel: Bei vielen Aufgaben werden sowohl die Diskriminantenformel als auch die Vieta-Formel benötigt.
4. ✅ Alle Bedingungen prüfen: Bei bedingten Wurzeln $\Delta$, die Summe und das Produkt prüfen

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💡 Prüfungs-Tipp: Die Diskriminante taucht in vielen CSCA-Aufgaben zum Thema Wurzelexistenz auf. Schau immer zuerst in $\Delta$ nach, wenn in einer Aufgabe von „reellen Wurzeln“ oder „keinen reellen Wurzeln“ die Rede ist!