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Kernkonzept

Die Diskriminante (bezeichnet als $\Delta$) ist ein Schlüsselwert, der aus den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung berechnet wird und die Art und Anzahl ihrer Wurzeln bestimmt.

Definition

Für eine quadratische Gleichung in Standardform:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

ist die Diskriminante definiert als:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Dieser Ausdruck erscheint unter dem Wurzelzeichen in der quadratischen Formel:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Die drei Fälle

Fall 1: $\Delta > 0$ — Zwei verschiedene reelle Wurzeln

Die Gleichung hat zwei unterschiedliche reelle Lösungen:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Beispiel: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Fall 2: $\Delta = 0$ — Eine doppelte Wurzel (wiederholte Wurzel)

Die Gleichung hat genau eine reelle Lösung (doppelte Wurzel):

$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$

Beispiel: $x^2 - 6x + 9 = 0$

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Fall 3: $\Delta < 0$ — Keine reellen Wurzeln

Die Gleichung hat keine reellen Lösungen (zwei komplex konjugierte Wurzeln).

Beispiel: $x^2 + 2x + 5 = 0$

$\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$

Keine reellen Wurzeln.

Grafische Interpretation

Die Diskriminante bestimmt, wie die Parabel $y = ax^2 + bx + c$ die x-Achse schneidet:

Diskriminante	Parabel und x-Achse	Anzahl der Schnittpunkte
$\Delta > 0$	Schneidet die x-Achse an zwei Punkten	2
$\Delta = 0$	Berührt die x-Achse an einem Punkt (Scheitelpunkt)	1
$\Delta < 0$	Schneidet die x-Achse nicht	0

Wenn $a > 0$ (nach oben geöffnete Parabel) und $\Delta < 0$, liegt die gesamte Parabel oberhalb der x-Achse, d.h. $ax^2 + bx + c > 0$ für alle reellen $x$.

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan und den standardisierten chinesischen Testformaten, um den Schülern zu helfen, sich mit den Fragetypen und Lösungsansätzen vertraut zu machen.

Aufgabe 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Bestimmen Sie die Diskriminante und die Art der Wurzeln für: $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Lösung:

$\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0$

Da $\Delta > 0$, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -2$

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Aufgabe 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Für welche Werte von $m$ hat die Gleichung $x^2 + mx + 4 = 0$ keine reellen Wurzeln?

Lösung:

Keine reellen Wurzeln bedeuten $\Delta < 0$:

$\Delta = m^2 - 4(1)(4) < 0$ $m^2 - 16 < 0$ $m^2 < 16$ $-4 < m < 4$

Antwort: $-4 < m < 4$

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Aufgabe 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Beweisen Sie, dass die Gleichung $(k+1)x^2 + 2kx + (k-1) = 0$ für alle reellen Werte von $k$ (mit $k \neq -1$) immer reelle Wurzeln hat.

Lösung:

$\Delta = (2k)^2 - 4(k+1)(k-1)$ $= 4k^2 - 4(k^2 - 1)$ $= 4k^2 - 4k^2 + 4$ $= 4 > 0$

Da $\Delta = 4 > 0$ für alle $k$, hat die Gleichung immer zwei verschiedene reelle Wurzeln. $\blacksquare$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Falsches Vorzeichen bei $b^2 - 4ac$

Falsch: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

Richtig: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ Fehler 2: Vergessen der Klammern bei negativem $b$

Falsch: Für $x^2 - 6x + 5 = 0$: $\Delta = -6^2 - 4(1)(5) = -36 - 20$ ✗

Richtig: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ ✓

❌ Fehler 3: Verwechslung von $\Delta = 0$ und $\Delta < 0$

Falsch: $\Delta = 0$ bedeutet keine Wurzeln ✗

Richtig: $\Delta = 0$ bedeutet eine doppelte Wurzel; $\Delta < 0$ bedeutet keine reellen Wurzeln ✓

Lerntipps

1. ✅ Formel auswendig lernen: $\Delta = b^2 - 4ac$ — dies ist die Grundlage für die Wurzelanalyse.
2. ✅ Vorzeichen sorgfältig beachten: Besonders bei negativen Werten von $b$ die Klammern nicht vergessen.
3. ✅ Grafische Verbindung herstellen: Verknüpfen Sie die Diskriminante stets mit dem Schnittpunktverhalten der Parabel.
4. ✅ Parameterfragen üben: CSCA-Aufgaben verlangen oft, Wertebereiche von Parametern zu bestimmen, damit bestimmte Wurzeltypen entstehen.

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💡 Prüfungstipp: Die Diskriminante ist ein zentrales Werkzeug in der CSCA-Algebra. Aufgaben mit Parametern ($k$, $m$) und Wurzelbedingungen sind besonders häufig — üben Sie verschiedene Ungleichungen mit $\Delta$!