复数fùshù

Kernkonzept

Eine komplexe Zahl ist eine Erweiterung der reellen Zahlen und hat die Form$z = a + bi$

wobei reelle$a, b$

Zahlen sind und die imaginäre$i$

Einheit ist.

Imaginäre Einheit

Die imaginäre Einheit$i$

erfüllt$i^2 = -1$

.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Potenzen von$i$

:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

-$i^{4k+r} = i^r$

($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$

)

Form komplexer Zahlen

$z = a + bi$

Wobei:

• der$a$

Realteil ist, bezeichnet$\text{Re}(z)$

mit

• der$b$

Imaginärteil ist, bezeichnet$\text{Im}(z)$

mit

• Wenn$b = 0$

,$z$

ist eine reelle Zahl

• Wenn$a = 0, b \neq 0$

,$z$

ist eine rein imaginäre Zahl

• Wenn$b \neq 0$

,$z$

ist eine imaginäre Zahl

Komplexe Gleichung$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

Komplexe Ebene

Geometrische Darstellung

Die komplexe Zahl$z = a + bi$

kann als Punkt$(a, b)$

in der komplexen Ebene dargestellt werden:

• Horizontale Achse (Realachse): Stellt den Realteil dar
• Vertikale Achse (Imaginarachse): Stellt den Imaginärteil dar

Vektordarstellung

Die komplexe Zahl$z = a + bi$

kann auch als Vektor$\overrightarrow{OZ}$

vom Ursprung$O$

zum Punkt $(a, b)$

betrachtet werden.

Modul komplexer Zahlen

Definition

Der Modul einer komplexen Zahl$z = a + bi$

, bezeichnet$|z|$

mit :

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Geometrische Bedeutung

$|z|$

stellt den Abstand vom Punkt$z$

zum Ursprung in der komplexen Ebene dar.

Eigenschaften

1.$|z| \geq 0$

, mit Gleichheit genau dann, wenn $z = 0$

$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

3.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

($z_2 \neq 0$

) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

(Dreiecksungleichung)

Konjugierte

Definition

Die Konjugierte einer komplexen Zahl$z = a + bi$

, bezeichnet$\bar{z}$

mit :

$\bar{z} = a - bi$

Geometrische Bedeutung

$\bar{z}$

ist die Spiegelung von$z$

an der reellen Achse.

Eigenschaften

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$

5.$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Operationen

Addition und

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

Subtraktion###

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Multiplikation### Division

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Methode: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Nenners.

CSCA-Übungsaufgaben

[Beispiel 1] Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Gegeben sei die komplexe Zahl$z = 3 + 4i$

. Bestimmen Sie$|z|$

und$\bar{z}$

.

Lösung:

Modulus: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Konjugierte:

$\bar{z} = 3 - 4i$

Antwort:$|z| = 5$

, $\bar{z} = 3 - 4i$

---

[Beispiel 2] Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Berechnen Sie$(2 + 3i)(1 - 2i)$

.

Lösung:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Antwort: $8 - i$

Häufige Missverständnisse

❌ Missverständnis 1: als Variable$i$

behandeln

Falsch: Zu denken, dass wie algebraische$i$

Variablen weiter vereinfacht werden kann

Richtig:$i$

ist die imaginäre Einheit mit$i^2 = -1$

, keine Variable.

❌ Missverständnis 2: Falsche Berechnung des Modulus

Falsch: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Richtig: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Missverständnis 3: Falsches Vorzeichen des Konjugierten

Falsch:$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

Richtig:$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

(nur der Imaginärteil ändert sein Vorzeichen)

Lerntipps

1. ✅ Imaginäre Einheit verstehen:$i^2 = -1$

ist grundlegend 2. ✅ Operationen beherrschen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division 3. ✅ Modulus und Konjugierte merken: Ihre geometrischen Bedeutungen und Eigenschaften 4. ✅ Üben Sie die Division: Die Rationalisierung des Nenners ist entscheidend 5. ✅ Verstehen Sie die Geometrie: Punkte und Vektoren in der komplexen Ebene

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💡 Prüfungstipp: Komplexe Zahlen sind in der Mathematik der Oberstufe wichtig. In CSCA-Prüfungen relativ einfach, aber grundlegende Operationen und Konzepte müssen beherrscht werden! Macht etwa 10-15 % der Algebra-Aufgaben aus.