二次函数èrcì hánshù

Kernkonzept

Eine quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion vom Grad 2:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

wobei $a$, $b$, $c$ Konstanten sind und $a \neq 0$.

Drei Darstellungsformen

Form	Ausdruck	Schlüsselmerkmal
Allgemeine Form	$y = ax^2 + bx + c$	Zeigt den y-Achsenabschnitt $c$
Scheitelform	$y = a(x-h)^2 + k$	Zeigt den Scheitelpunkt $(h, k)$
Faktorisierte Form	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	Zeigt die Nullstellen $x_1, x_2$

Der Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.

Scheitelpunktkoordinaten

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Oder gleichwertig: $k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Scheitelform

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

wobei $(h, k)$ der Scheitelpunkt ist.

Eigenschaften des Graphen

Öffnungsrichtung

• $a > 0$: Parabel öffnet sich nach oben (U-Form), Scheitelpunkt ist Minimum
• $a < 0$: Parabel öffnet sich nach unten (∩-Form), Scheitelpunkt ist Maximum

Symmetrieachse

$x = -\frac{b}{2a} = h$

Die Parabel ist symmetrisch zu dieser vertikalen Linie.

Y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $(0, c)$, ergibt sich durch Einsetzen von $x = 0$.

Nullstellen (X-Achsenabschnitte)

Durch Lösen von $ax^2 + bx + c = 0$. Die Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ bestimmt:

• $\Delta > 0$: Zwei verschiedene Nullstellen
• $\Delta = 0$: Eine Nullstelle (Scheitelpunkt berührt die x-Achse)
• $\Delta < 0$: Keine Nullstellen

Monotonie

Wenn $a > 0$:

• Fallend auf $(-\infty, h]$
• Steigend auf $[h, +\infty)$

Wenn $a < 0$:

• Steigend auf $(-\infty, h]$
• Fallend auf $[h, +\infty)$

Wertebereich

Wenn $a > 0$:

$\text{Wertebereich} = [k, +\infty)$

Wenn $a < 0$:

$\text{Wertebereich} = (-\infty, k]$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben sind auf den CSCA-Prüfungslehrplan abgestimmt.

Beispiel 1: Grundstufe (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Lösung:

Methode 1 (Formel): $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$

Methode 2 (Quadratische Ergänzung): $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

Antwort: Der Scheitelpunkt ist $(3, -4)$

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Bestimmen Sie den Wertebereich von $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ auf $[0, 3]$.

Lösung:

Quadratische Ergänzung: $f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3$

Scheitelpunkt bei $(2, 3)$, Parabel öffnet sich nach unten.

Da $2 \in [0, 3]$, liegt das Maximum am Scheitelpunkt: $f(2) = 3$

Überprüfung der Endpunkte:

• $f(0) = -1$
• $f(3) = -9 + 12 - 1 = 2$

Das Minimum ist $f(0) = -1$.

Antwort: Der Wertebereich ist $[-1, 3]$

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Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $f(x) = x^2 - 2ax + a$ auf $[0, 2]$ den Minimalwert $-2$ hat, bestimmen Sie $a$.

Lösung:

$f(x) = (x-a)^2 + a - a^2$, Scheitelpunkt bei $(a, a-a^2)$.

Fall 1: $a < 0$ (Scheitelpunkt links des Intervalls) Minimum bei $x = 0$: $f(0) = a = -2$ Überprüfung: Scheitelpunkt bei $(-2, -2-4) = (-2, -6)$, aber $f(0) = -2 \neq -6$. ✓ Also ist $a = -2$ gültig.

Fall 2: $0 \leq a \leq 2$ (Scheitelpunkt innerhalb des Intervalls) Minimum am Scheitelpunkt: $a - a^2 = -2$ $a^2 - a - 2 = 0$ $(a-2)(a+1) = 0$ $a = 2$ oder $a = -1$ Nur $a = 2$ liegt in $[0, 2]$. Überprüfung: $f(x) = (x-2)^2$, Minimum bei $x=2$ ist $0 \neq -2$. ✗

Fall 3: $a > 2$ (Scheitelpunkt rechts des Intervalls) Minimum bei $x = 2$: $f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a = -2$ $a = 2$, widerspricht $a > 2$. ✗

Antwort: $a = -2$

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Beispiel 4: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Bestimmen Sie alle Werte von $m$, sodass $f(x) = x^2 - mx + 1 > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

Lösung:

Damit $f(x) > 0$ für alle $x$ gilt, muss die Parabel nach oben offen sein (✓, $a = 1 > 0$) und keine Nullstellen haben.

Dies erfordert $\Delta < 0$: $\Delta = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4 < 0$ $m^2 < 4$ $-2 < m < 2$

Antwort: $m \in (-2, 2)$

Umrechnung zwischen den Formen

Allgemeine Form zur Scheitelform

Gegeben $f(x) = ax^2 + bx + c$:

1. $a$ aus den ersten beiden Termen ausklammern: $f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. Quadratische Ergänzung: $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. Vereinfachen: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ mit $h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$

Scheitelform zur allgemeinen Form

Gegeben $f(x) = a(x-h)^2 + k$:

Ausmultiplizieren: $f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$

Also $b = -2ah$ und $c = ah^2 + k$.

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Falsches Vorzeichen in der Scheitelpunktformel

Falsch: $h = \frac{b}{2a}$ ✗

Richtig: $h = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ Fehler 2: Definitionsbereich beim Wertebereich ignorieren

Falsch: Der Wertebereich von $f(x) = x^2$ auf $[1, 3]$ ist $[0, +\infty)$ ✗

Richtig: Auf $[1, 3]$ ist das Minimum $f(1) = 1$, also Wertebereich $[1, 9]$ ✓

❌ Fehler 3: Falsche Scheitelpunktlage

Bei eingeschränktem Definitionsbereich kann der Scheitelpunkt außerhalb des Definitionsbereichs liegen. Prüfen Sie, ob der Scheitelpunkt innerhalb, links oder rechts des Intervalls liegt.

Lerntipps

1. ✅ Quadratische Ergänzung beherrschen: Unverzichtbar zur Scheitelpunktbestimmung
2. ✅ Die drei Fälle kennen: Scheitelpunkt innerhalb, links oder rechts des Intervalls
3. ✅ Diskriminante nutzen: Für Fragen zu Schnittpunkten mit der x-Achse
4. ✅ Skizzen zeichnen: Parabel visualisieren, um Fehler zu vermeiden

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💡 Prüfungstipp: Bei Aufgaben mit eingeschränktem Definitionsbereich zuerst die Lage des Scheitelpunkts relativ zum Definitionsbereich bestimmen, dann die Endpunkte überprüfen. Extremwerte treten entweder am Scheitelpunkt (falls im Definitionsbereich) oder an den Endpunkten auf!