值域zhíyù

Kernkonzept

Der Wertebereich einer Funktion $f$ ist die Menge aller möglichen Ausgabewerte (y-Werte), die die Funktion erzeugen kann.

Mathematische Definition

$\text{Wertebereich}(f) = \{y \mid y = f(x) \text{ für ein } x \in \text{Definitionsbereich}(f)\}$

Der Wertebereich wird auch als Bild der Funktion bezeichnet.

Definitionsbereich vs. Wertebereich

Konzept	Symbol	Beschreibung
Definitionsbereich	$D_f$	Menge aller gültigen Eingabewerte (x)
Wertebereich	$R_f$	Menge aller Ausgabewerte (y)

Wichtige Beziehung: Der Wertebereich hängt sowohl von der Funktionsvorschrift ALS AUCH vom Definitionsbereich ab.

Methoden zur Bestimmung des Wertebereichs

Methode 1: Direkte Analyse (观察法)

Bei einfachen Funktionen das Verhalten direkt analysieren.

Beispiel: $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$

Da $x^2 \geq 0$ für alle reellen $x$, und $x^2$ beliebig groß werden kann:

Wertebereich: $[0, +\infty)$

Methode 2: Umkehrfunktionsmethode (反函数法)

1. Setze $y = f(x)$
2. Löse nach $x$ in Abhängigkeit von $y$ auf
3. Finde die Werte von $y$, für die $x$ definiert ist

Beispiel: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, $x \neq 1$

Setze $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

Löse nach $x$ auf: $y(x - 1) = 2x + 1$ $xy - y = 2x + 1$ $xy - 2x = y + 1$ $x(y - 2) = y + 1$ $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$

Damit $x$ existiert, muss $y \neq 2$ gelten.

Wertebereich: $\{y \mid y \neq 2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

Methode 3: Monotoniemethode (单调性法)

Nutze die Monotonie der Funktion, um den Wertebereich aus dem Definitionsbereich abzuleiten.

Beispiel: $f(x) = 2^x$, $x \in [-1, 2]$

Da $f(x) = 2^x$ streng monoton steigend ist:

• Minimum: $f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
• Maximum: $f(2) = 2^2 = 4$

Wertebereich: $[\dfrac{1}{2}, 4]$

Methode 4: Quadratische Ergänzung (配方法)

Für quadratische Funktionen $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Beispiel: $f(x) = x^2 - 4x + 5$, $x \in \mathbb{R}$

Quadratische Ergänzung: $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

Da $(x - 2)^2 \geq 0$, ist das Minimum 1 bei $x = 2$.

Wertebereich: $[1, +\infty)$

Methode 5: Substitution (换元法)

Beispiel: $f(x) = x + \sqrt{x - 1}$, $x \geq 1$

Setze $t = \sqrt{x - 1}$, wobei $t \geq 0$

Dann ist $x = t^2 + 1$, also: $f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1 = (t + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

Da $t \geq 0$, tritt das Minimum bei $t = 0$ auf: $f_{\min} = 0 + 0 + 1 = 1$

Wertebereich: $[1, +\infty)$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Bestimme den Wertebereich von $f(x) = 3x - 2$, $x \in [0, 4]$.

Lösung: Die lineare Funktion ist streng monoton steigend.

• Bei $x = 0$: $f(0) = -2$
• Bei $x = 4$: $f(4) = 10$

Antwort: $[-2, 10]$

---

Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Bestimme den Wertebereich von $f(x) = x^2 - 2x + 3$, $x \in [-1, 2]$.

Lösung:

Quadratische Ergänzung: $f(x) = (x - 1)^2 + 2$

Scheitelpunkt bei $x = 1$ (im Definitionsbereich), Minimum = 2

Endpunkte überprüfen:

• $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$
• $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$

Antwort: $[2, 6]$

---

Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Bestimme den Wertebereich von $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$, $x \in \mathbb{R}$.

Lösung:

Setze $y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$

Kreuzweise multiplizieren: $y(x^2 + 2) = x^2 + 1$

$yx^2 + 2y = x^2 + 1$

$x^2(y - 1) = 1 - 2y$

$x^2 = \dfrac{1 - 2y}{y - 1}$

Für reelle $x$ muss $x^2 \geq 0$ gelten: $\dfrac{1 - 2y}{y - 1} \geq 0$

$(1 - 2y)$ und $(y - 1)$ müssen gleiches Vorzeichen haben.

• Fall 1: Beide positiv: $y < \dfrac{1}{2}$ und $y > 1$ → unmöglich
• Fall 2: Beide negativ: $y > \dfrac{1}{2}$ und $y < 1$ → $\dfrac{1}{2} < y < 1$

Außerdem: Wenn $x^2 \to +\infty$, dann $y \to 1$ (nie gleich 1). Bei $x = 0$: $y = \dfrac{1}{2}$ (erreichbar).

Antwort: $[\dfrac{1}{2}, 1)$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Definitionsbereichsbeschränkungen ignorieren

Falsch: Der Wertebereich von $f(x) = \sqrt{x}$ ist $\mathbb{R}$ ✗

Richtig: Der Wertebereich von $f(x) = \sqrt{x}$ ist $[0, +\infty)$ ✓

❌ Fehler 2: Falsche Methode bei beschränktem Definitionsbereich

Falsch: Für $f(x) = x^2$, $x \in [1, 3]$, ist der Wertebereich $[0, 9]$ ✗

Richtig: Der Wertebereich ist $[1, 9]$ (Minimum bei $x = 1$, nicht bei $x = 0$) ✓

❌ Fehler 3: Endpunkte nicht überprüft

Überprüfe stets die Funktionswerte an den Definitionsbereichsgrenzen.

Lerntipps

1. ✅ Funktionstyp zuerst bestimmen: Linear, quadratisch, rational usw.
2. ✅ Prüfen, ob der Definitionsbereich beschränkt ist: Bei Beschränkung die Monotonie nutzen
3. ✅ Bei quadratischen Funktionen den Scheitelpunkt finden: Liegt er im Definitionsbereich?
4. ✅ Bei Bruchfunktionen die Umkehrmethode nutzen: $x$ in Abhängigkeit von $y$ lösen

---

💡 Prüfungstipp: Bei beschränktem Definitionsbereich immer sowohl den Scheitelpunkt (bei quadratischen Funktionen) ALS AUCH die Endpunkte überprüfen!