单调性dāndiàoxìng

Kernkonzept

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion auf einem Intervall durchgehend steigend oder durchgehend fallend ist. Eine Funktion heißt monoton auf einem Intervall, wenn sie dort entweder ausschließlich steigend oder ausschließlich fallend ist.

Definitionen

Monoton steigende Funktion (递增函数)

Eine Funktion $f$ ist auf dem Intervall $I$ monoton steigend, wenn: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Äquivalent: größerer Eingabewert → größerer Ausgabewert.

Monoton fallende Funktion (递减函数)

Eine Funktion $f$ ist auf dem Intervall $I$ monoton fallend, wenn: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Äquivalent: größerer Eingabewert → kleinerer Ausgabewert.

Nicht-strikte Monotonie

• Monoton nicht-fallend: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
• Monoton nicht-steigend: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

Methoden zur Bestimmung der Monotonie

Methode 1: Definitionsmethode (定义法)

1. Wähle beliebige $x_1, x_2$ im Intervall mit $x_1 < x_2$
2. Berechne $f(x_1) - f(x_2)$
3. Bestimme das Vorzeichen der Differenz:
   • Stets negativ → monoton steigend
   • Stets positiv → monoton fallend

Beispiel: Beweise, dass $f(x) = x^2$ auf $(0, +\infty)$ monoton steigend ist.

Für $0 < x_1 < x_2$: $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

Da $x_1 < x_2$: $(x_1 - x_2) < 0$ Da $x_1, x_2 > 0$: $(x_1 + x_2) > 0$

Daher: $f(x_1) - f(x_2) < 0$, also $f(x_1) < f(x_2)$.

Ergebnis: $f(x) = x^2$ ist auf $(0, +\infty)$ monoton steigend.

Methode 2: Ableitungsmethode (导数法)

Für differenzierbare Funktionen:

• $f'(x) > 0$ auf dem Intervall $I$ → $f$ ist auf $I$ monoton steigend
• $f'(x) < 0$ auf dem Intervall $I$ → $f$ ist auf $I$ monoton fallend

Beispiel: Bestimme die Monotonie-Intervalle von $f(x) = x^3 - 3x$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

• $f'(x) > 0$: wenn $x < -1$ oder $x > 1$
• $f'(x) < 0$: wenn $-1 < x < 1$

Monotonie-Intervalle:

• Steigend: $(-\infty, -1)$ und $(1, +\infty)$
• Fallend: $(-1, 1)$

Monotonie gängiger Funktionen

Funktion	Steigendes Intervall	Fallendes Intervall
$y = kx + b$ ($k > 0$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = kx + b$ ($k < 0$)	—	$(-\infty, +\infty)$
$y = x^2$	$[0, +\infty)$	$(-\infty, 0]$
$y = \dfrac{1}{x}$	—	$(-\infty, 0)$, $(0, +\infty)$
$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($a > 1$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($0 < a < 1$)	—	$(-\infty, +\infty)$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Bestimme die Monotonie-Intervalle von $f(x) = -x^2 + 4x$.

Lösung:

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei $x = 2$.

• Steigend: $(-\infty, 2]$
• Fallend: $[2, +\infty)$

Antwort: Steigend auf $(-\infty, 2]$, fallend auf $[2, +\infty)$

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Beweise, dass $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ auf $(-1, +\infty)$ monoton steigend ist.

Lösung:

Seien $-1 < x_1 < x_2$.

$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1+1} - \dfrac{x_2}{x_2+1}$

$= \dfrac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

Da $x_1 < x_2$: Zähler $< 0$ Da $x_1, x_2 > -1$: $(x_1+1)(x_2+1) > 0$

Daher: $f(x_1) - f(x_2) < 0$, also $f(x_1) < f(x_2)$.

Ergebnis: $f(x)$ ist auf $(-1, +\infty)$ monoton steigend.

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Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ auf $[1, +\infty)$ monoton steigend ist, bestimme den Wertebereich von $a$.

Lösung:

$f(x) = (x - a)^2 + 1 - a^2$

Der Scheitelpunkt liegt bei $x = a$.

Damit $f(x)$ auf $[1, +\infty)$ monoton steigend ist, muss der Scheitelpunkt bei $x = 1$ oder links davon liegen.

Daher: $a \leq 1$

Antwort: $a \leq 1$, d.h. $(-\infty, 1]$

Eigenschaften monotoner Funktionen

1. Kompositionsregeln

$f$	$g$	$f \circ g$
Steigend	Steigend	Steigend
Steigend	Fallend	Fallend
Fallend	Steigend	Fallend
Fallend	Fallend	Steigend

Merkhilfe: „Gleich → Steigend, Verschieden → Fallend" (同增异减)

2. Umkehrfunktion

Wenn $f$ streng monoton ist, dann existiert $f^{-1}$ und hat die gleiche Monotonie wie $f$.

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Monotonie-Intervall mit Definitionsbereich verwechseln

Falsch: $y = \dfrac{1}{x}$ ist auf $(-\infty, +\infty)$ monoton fallend ✗

Richtig: $y = \dfrac{1}{x}$ ist auf $(-\infty, 0)$ UND auf $(0, +\infty)$ jeweils monoton fallend ✓

❌ Fehler 2: Nicht zusammenhängende Intervalle vereinigen

Falsch: $y = \dfrac{1}{x}$ ist auf $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ monoton fallend ✗

Richtig: Intervalle getrennt angeben: fallend auf $(-\infty, 0)$ und auf $(0, +\infty)$ ✓

❌ Fehler 3: Randwerte beim Beweis ignorieren

Beim Beweis der Monotonie muss sichergestellt werden, dass $x_1 < x_2$ beide im angegebenen Intervall liegen.

Lerntipps

1. ✅ Definition beherrschen: $x_1 < x_2$ — was folgt für $f(x_1)$ vs. $f(x_2)$?
2. ✅ Standardfunktionen kennen: Monotonie gängiger Funktionen auswendig lernen
3. ✅ Ableitungen nutzen: Bei komplexen Funktionen ist die Ableitungsmethode schneller
4. ✅ Intervalle nie zusammenlegen: Nicht zusammenhängende Intervalle stets getrennt angeben

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💡 Prüfungstipp: Bei quadratischen Funktionen immer zuerst den Scheitelpunkt bestimmen. Die Monotonie wechselt am Scheitelpunkt!