导数dǎoshù

Kernkonzept

Die Ableitung ist ein Kernkonzept der Infinitesimalrechnung und beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Geometrisch gesehen stellt sie die Steigung der Tangente an eine Kurve an diesem Punkt dar.

Mathematische Definition

Die Ableitung der Funktion$y = f(x)$

am Punkt$x_0$

ist definiert als:$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Wenn dieser Grenzwert existiert, sagt man, dass die$f(x)$

Funktion an $x_0$

differenzierbar ist.

Notation der Ableitung

-$f'(x)$

• Lagrange-Notation -$\frac{dy}{dx}$

• Leibniz-Notation -$y'$

• abgekürzte Form -$\frac{df}{dx}$

• Differentialform

Gängige Ableitungsformeln

Grundfunktionen

1. Konstante: $(C)' = 0$

2. Potenz: $(x^n)' = nx^{n-1}$

3. Exponentialfunktion:$(e^x)' = e^x$

, $(a^x)' = a^x \ln a$

4. Logarithmusfunktion: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

5. Trigonometrische Funktion:

$(\sin x)' = \cos x$

• $(\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

Ableitungsregeln

1. Summe/Differenz:$(f \pm g)' = f' \pm g'$

2. Produkt: $(fg)' = f'g + fg'$

3. Quotient: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

4. Kette: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Anwendungen

1. Tangenten finden

Tangente an die Kurve$y = f(x)$

bei$(x_0, f(x_0))$

:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. Monotonie bestimmen

-$f'(x) > 0$

→ Funktion steigend -$f'(x) < 0$

→ Funktion fallend -$f'(x) = 0$

→ mögliches Extremum

3. Extremwerte finden

Schritte:

1. Ableitung finden$f'(x)$

2. für kritische$f'(x) = 0$

Punkte lösen 3. Vorzeichenwechsel um kritische Punkte herum testen

CSCA-Übungsaufgaben

> 💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan und den standardisierten chinesischen Testformaten, um den Schülern zu helfen, sich mit den Fragetypen und Lösungsansätzen vertraut zu machen.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Finden Sie die Ableitung von$f(x) = x^3 + 2x$

.

Lösung:

---

$f'(x) = 3x^2 + 2$

Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an$y = x^2$

am Punkt$(1, 1)$

.

Lösung:

Schritt 1: Bestimmen Sie die Ableitung $y' = 2x$

Schritt 2: Bestimmen Sie die Steigung am Punkt$x=1$

:$k = 2(1) = 2$

Schritt 3: Schreiben Sie die Tangentialgleichung auf:

$y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

Antwort:

---$y = 2x - 1$

Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Finde die Extremwerte von$f(x) = x^3 - 3x$

.

Lösung:

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

Kritische Punkte: $x = -1, 1$

• Maximum:$f(-1) = 2$

bei $x = -1$

• Minimum:$f(1) = -2$

bei $x = 1$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1:

$(x^2)' = 2$

Korrektur:$(x^2)' = 2x$

, nicht 2! Denke daran, das $x$

beizubehalten.

❌ Fehler 2:$(fg)' = f'g'$

Korrektur: Die Produktregel lautet$(fg)' = f'g + fg'$

, nicht$f'g'$

!

❌ Fehler 3: $f'(x_0) = 0$

bedeutet immer Extremwert

Korrektur:$f'(x_0) = 0$

ist nur eine notwendige Bedingung. Die Vorzeichenänderung muss überprüft werden.

Lerntipps

1. ✅ Definition verstehen: Ableitung = Momentanrate = Tangentensteigung
2. ✅ Formeln auswendig lernen: Grundlegende Ableitungen und Regeln lernen
3. ✅ Üben: Insbesondere Anwendungen der Kettenregel
4. ✅ Anwendungen: Ableitungen werden häufig in der Optimierung verwendet.

---

💡 Prüfungstipp: Ableitungen machen etwa 15 % der Mathematikfragen im CSCA aus. Beherrschen Sie grundlegende Ableitungen und geometrische Anwendungen!