Elementary Functions

Question 1

Question 1: 已知幂函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { x } }$ ,则下列结论正确的是（）

已知幂函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { x } }$ ,则下列结论正确的是（）

A. A. $f ( x )$ 在 $\mathbf { R }$ 上单调递减
B. B. $f ( x )$ 的图象关于 ${ } ^ { y }$ 轴对称
C. C. $f ( x )$ 的图象过点 $( 0,0 )$
D. D. $f ( \pi ) < f ( 3 )$

Answer

Answer: D

Solution: 【知识点】求幂函数的定义域,判断一般幂函数的单调性,判断五种常见幂函数的奇偶性【分析】根据幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由于 $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { x } }$ 的定义域为 $( 0 , + \infty )$ ,故 ABC 错误, $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { x } } = x ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$ 为 $( 0 , + \infty )$ 上的单调递减函数,故 $f ( \pi ) < f ( 3 )$ ,D正确,

Question 2

Question 2: 下列函数中,既是奇函数又在 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 单调递增的是（）

下列函数中,既是奇函数又在 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 单调递增的是（）

A. A. $y = x ^ { 3 }$
B. B. $y \neq x \mid + 1$
C. C. $y = - x ^ { 2 } + 1$
D. D. $y = 2 ^ { - | x | }$

Answer

Answer: A

Solution: 【知识点】函数奇偶性的定义与判断,判断一般幂函数的单调性,根据解析式直接判断函数的单调性【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【详解】对于 A ,函数 ${ } ^ { y = x ^ { 3 } }$ 是奇函数,在 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调递增, A 是；对于 B ,函数 $y = x \mid + 1$ 是偶函数,不是奇函数,B 不是；对于 C ,函数 $y = - x ^ { 2 } + 1$ 是偶函数,不是奇函数,C 不是；对于 D ,函数 ${ } ^ { y = 2 ^ { - | x | } }$ 是偶函数,不是奇函数, D 不是.

Question 3

Question 3: 已知幂函数 $f ( x )$ 的图象过点 $P ( 2 , \sqrt { 2 } )$ ,则 $f ( 9 ) = ( \quad )$

已知幂函数 $f ( x )$ 的图象过点 $P ( 2 , \sqrt { 2 } )$ ,则 $f ( 9 ) = ( \quad )$

A. A. 3
B. B. 9
C. C. 81
D. D. 512

Answer

Answer: A

Solution: 【知识点】求幂函数的值【分析】设 $f ( x ) = x ^ { a }$ ,结合 $f ( 2 ) = \sqrt { 2 }$ 可求得 $a$ 的值,可得出函数 $f ( x )$ 的解析式,代值计算可得出 $f ( 9 )$ 的值. 【详解】设 $f ( x ) = x ^ { a }$ ,则 $f ( 2 ) = 2 ^ { a } = \sqrt { 2 }$ ,所以 $a = \frac { 1 } { 2 }$ ,故 $f ( x ) = x ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \sqrt { x }$ , 因此 $f ( 9 ) = \sqrt { 9 } = 3$.

Question 4

Question 4: 设 $\lg 2 = a , \lg 3 = b$ ,则 $\lg \frac { 9 } { 2 } =$（）

设 $\lg 2 = a , \lg 3 = b$ ,则 $\lg \frac { 9 } { 2 } =$（）

A. A. $\frac { 2 b } { a }$
B. B. $\frac { b } { 2 a }$
C. C. $a - 2 b$
D. D. $2 b - a$

Answer

Answer: D

Solution: 【知识点】对数的运算性质的应用【分析】运用对数的运算性质即可得解. 【详解】$\lg \frac { 9 } { 2 } = \lg 9 - \lg 2 = \lg 3 ^ { 2 } - \lg 2 = 2 \lg 3 - \lg 2 = 2 b - a$ .

Question 5

Question 5: 下列函数中,在区间 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调增的是（）.

下列函数中,在区间 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调增的是（）.

A. A. $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$
B. B. $f ( x ) = - x ^ { 2 }$
C. C. $f ( x ) = 2 ^ { x }$
D. D. $f ( x ) = \log _ { \frac { 1 } { 2 } } x$ $

Answer

Answer: C

Solution: 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性,判断指数函数的单调性,研究对数函数的单调性【分析】根据反比例函数,二次函数,指数函数和对数函数性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于 A ,由反比例函数性质知：$f ( x ) = \frac { 1 } { x }$ 在 $( 0 , + \infty )$ 上单调递减, A 错误；对于 B,由二次函数性质知：$f ( x ) = - x ^ { 2 }$ 在 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调递减,B 错误；对于 C ,由指数函数性质知：$f ( x ) = 2 ^ { x }$ 在 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调递增,C 正确；对于 D,由对数函数性质知：$f ( x ) = \log _ { \frac { 1 } { 2 } } x$ 在 $( 0 , + \infty )$ 上单调递减,D 错误.

Question 6

Question 6: \left( \log _ { 2 } 27 - \log _ { 2 } 9 \right) \log _ { 3 } \sqrt { 2 } = ( \quad )$

\left( \log _ { 2 } 27 - \log _ { 2 } 9 \right) \log _ { 3 } \sqrt { 2 } = ( \quad )$

A. A. 1
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. 2
D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: 【知识点】对数的运算【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】$\left( \log _ { 2 } 27 - \log _ { 2 } 9 \right) \log _ { 3 } \sqrt { 2 }$ $= \log _ { 2 } \frac { 27 } { 9 } \log _ { 3 } 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ $= \log _ { 2 } 3 \times \frac { 1 } { 2 } \log _ { 3 } 2 = \frac { 1 } { 2 }$.

Question 7

Question 7: 设 $2 ^ { a } = 5 ^ { b } = \sqrt { 10 }$ ,则 $\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b }$ 的值为（）

设 $2 ^ { a } = 5 ^ { b } = \sqrt { 10 }$ ,则 $\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b }$ 的值为（）

A. A. $\sqrt { 2 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. 2
D. D. 10

Answer

Answer: C

Solution: 【知识点】指数式与对数式的互化,运用换底公式化简计算,对数的运算【分析】指数式化为对数式,然后利用对数换底公式进行计算. 【详解】因为 $2 ^ { a } = 5 ^ { b } = \sqrt { 10 }$ ,所以 $a = \log _ { 2 } \sqrt { 10 } , b = \log _ { 5 } \sqrt { 10 }$ , $\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } = \frac { 1 } { \log _ { 2 } \sqrt { 10 } } + \frac { 1 } { \log _ { 5 } \sqrt { 10 } } = \log _ { \sqrt { 10 } } 2 + \log _ { \sqrt { 10 } } 5 = \log _ { \sqrt { 10 } } 10 = 2$.

Question 8

Question 8: 已知 $\log _ { 3 } x = 2$ ,则 ${ } ^ { x = \text {（ } }$

已知 $\log _ { 3 } x = 2$ ,则 ${ } ^ { x = \text {（ } }$

A. A. 3
B. B. 6
C. C. 9
D. D. 12

Answer

Answer: C

Solution: 【知识点】指数式与对数式的互化【分析】根据指对互化关系直接求解即可. 【详解】由指对互化关系得 $\log _ { 3 } x = 2 \Leftrightarrow x = 3 ^ { 2 } = 9$ .

Question 9

Question 9: 已知角 $\theta$ 的终边经过点 $P ( - 3 , y )$ ,且 $\tan \theta = \frac { 4 } { 3 }$ ,则 $y$ 的值是（）

已知角 $\theta$ 的终边经过点 $P ( - 3 , y )$ ,且 $\tan \theta = \frac { 4 } { 3 }$ ,则 $y$ 的值是（）

A. A. $- \frac { 1 } { 4 }$
B. B. $\frac { 1 } { 4 }$
C. C. - 4
D. D. 4

Answer

Answer: C

Solution: 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值,由三角函数值求终边上的点或参数【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可得 $\tan \theta = \frac { y } { - 3 } = \frac { 4 } { 3 }$ ,故 $y = - 4$ ,

Question 10

Question 10: 已知 $\sin \alpha = \frac { 5 } { 13 }$ ,那么 $\sin ( \pi - \alpha )$ 等于（）

已知 $\sin \alpha = \frac { 5 } { 13 }$ ,那么 $\sin ( \pi - \alpha )$ 等于（）

A. A. $- \frac { 12 } { 13 }$
B. B. $- \frac { 5 } { 13 }$
C. C. $\frac { 5 } { 13 }$
D. D. $\frac { 12 } { 13 }$

Answer

Answer: C

Solution: 【知识点】诱导公式二,三,四【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】$\sin ( \pi - \alpha ) = \sin \alpha = \frac { 5 } { 13 }$ .

Question 11

Question 11: 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $\left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)$ ,则 $\cos \alpha =$（）

已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $\left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)$ ,则 $\cos \alpha =$（）

A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
D. D. $- \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

Answer

Answer:

Solution: 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $\left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)$ ,则 $\cos \alpha =$（）

Question 12

Question 12: 若 $\tan \alpha = - 3 , \tan \beta = 5$ ,则 $\tan ( \alpha - \beta ) =$（）

若 $\tan \alpha = - 3 , \tan \beta = 5$ ,则 $\tan ( \alpha - \beta ) =$（）

A. A. $\frac { 4 } { 7 }$
B. B. $- \frac { 4 } { 7 }$
C. C. $\frac { 1 } { 8 }$
D. D. $- \frac { 1 } { 8 }$

Answer

Answer: A

Solution: 【知识点】用和,差角的正切公式化简,求值【分析】根据两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】$\tan ( \alpha - \beta ) = \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \tan \beta } = \frac { - 3 - 5 } { 1 + ( - 3 ) \times 5 } = \frac { 4 } { 7 }$ .

Question 13

Question 13: 已知 $\tan \left( \alpha - \frac { \pi } { 4 } \right) = \frac { 1 } { 3 }$ ,则 $\tan \alpha =$（）

已知 $\tan \left( \alpha - \frac { \pi } { 4 } \right) = \frac { 1 } { 3 }$ ,则 $\tan \alpha =$（）

A. A. 2
B. B. - 2
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. $- \frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: A

Solution: 【知识点】用和,差角的正切公式化简,求值【分析】由两角差的正切展开式计算可得. 【详解】$\tan \left( a - \frac { \pi } { 4 } \right) = \frac { \tan a - \tan \frac { \pi } { 4 } } { 1 + \tan a \tan \frac { \pi } { 4 } } = \frac { \tan a - 1 } { 1 + \tan a } = \frac { 1 } { 3 }$ ,解得 $\quad \tan \alpha = 2$ .

Question 14

Question 14: 角 ${ } ^ { \beta }$ 的终边过点 $P ( - 2,1 ) , \tan \beta =$（）

角 ${ } ^ { \beta }$ 的终边过点 $P ( - 2,1 ) , \tan \beta =$（）

A. A. 2
B. B. - 2
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. $- \frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: D

Solution: 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值【分析】根据三角函数的定义求得正确答案. 【详解】因为角 $\beta$ 的终边经过点 $P ( - 2,1 )$ ,所以 $\tan \beta = \frac { 1 } { - 2 } = - \frac { 1 } { 2 }$ .

Question 15

Question 15: 已知 $0 < \alpha < \pi , \cos \frac { \alpha } { 2 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ,则 $\cos \alpha =$...

已知 $0 < \alpha < \pi , \cos \frac { \alpha } { 2 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ,则 $\cos \alpha =$（）

A. A. $\frac { 4 } { 9 }$
B. B. $- \frac { 4 } { 9 }$
C. C. $\frac { 1 } { 3 }$
D. D. $- \frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: 【知识点】二倍角的余弦公式【分析】根据余弦的二倍角公式,求出结果. 【详解】由二倍角公式得 $\cos \alpha = 2 \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - 1 = 2 \times \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \right) ^ { 2 } - 1 = - \frac { 1 } { 3 }$ .

Question 16

Question 16: 若 $\sin \alpha = - \frac { \sqrt { 5 } } { 6 }$ ,则 $\cos 2 \alpha = ( \quad )$

若 $\sin \alpha = - \frac { \sqrt { 5 } } { 6 }$ ,则 $\cos 2 \alpha = ( \quad )$

A. A. $\frac { 13 } { 18 }$
B. B. $- \frac { 13 } { 18 }$
C. C. $\frac { \sqrt { 26 } } { 6 }$
D. D. $- \frac { \sqrt { 26 } } { 6 }$

Answer

Answer: A

Solution: 【知识点】二倍角的余弦公式【分析】根据余弦二倍角公式直接计算即可. 【详解】$\cos 2 \alpha = 1 - 2 \sin ^ { 2 } \alpha = 1 - 2 \times \left( - \frac { \sqrt { 5 } } { 6 } \right) ^ { 2 } = \frac { 13 } { 18 }$ .

Question 17

Question 17: 若 $\sin \alpha = \sqrt { 2 } \cos \alpha$ ,则 $\tan \alpha =$（）

若 $\sin \alpha = \sqrt { 2 } \cos \alpha$ ,则 $\tan \alpha =$（）

A. A. $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
B. B. $\sqrt { 2 }$
C. C. $- \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
D. D. $- \sqrt { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: 【知识点】已知弦（切）求切（弦）【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为 $\sin \alpha = \sqrt { 2 } \cos \alpha$ ,所以 $\tan \alpha = \frac { \sin \alpha } { \cos \alpha } = \sqrt { 2 }$ .

Question 18

Question 18: 已知 $\tan \theta = - \frac { 1 } { 2 }$ ,则 $\frac { \sin \theta + \cos \theta } { \sin \theta - \cos ...

已知 $\tan \theta = - \frac { 1 } { 2 }$ ,则 $\frac { \sin \theta + \cos \theta } { \sin \theta - \cos \theta } =$（）

A. A. 3
B. B. - 3
C. C. $\frac { 1 } { 3 }$
D. D. $- \frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: 【知识点】正,余弦齐次式的计算【分析】根据条件,利用＂齐次式＂,即可求解. 【详解】因为 $\tan \theta = - \frac { 1 } { 2 }$ ,则 $\frac { \sin \theta + \cos \theta } { \sin \theta - \cos \theta } = \frac { \tan \theta + 1 } { \tan \theta - 1 } = \frac { - \frac { 1 } { 2 } + 1 } { - \frac { 1 } { 2 } - 1 } = - \frac { 1 } { 3 }$ ,

Question 19

Question 19: 已知 $\sin \alpha = \frac { 1 } { 2 }$ ,则 $\sin ( 2 \pi + \alpha ) =$（）

已知 $\sin \alpha = \frac { 1 } { 2 }$ ,则 $\sin ( 2 \pi + \alpha ) =$（）

A. A. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $- \frac { 1 } { 2 }$
D. D. $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: 【知识点】诱导公式一【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为 $\sin \alpha = \frac { 1 } { 2 }$ ,则 $\sin ( 2 \pi + \alpha ) = \sin \alpha = \frac { 1 } { 2 }$ .

Question 20

Question 20: 已知 $\sin \alpha = \frac { 3 } { 5 }$ ,且 $\alpha$ 为锐角,则 $\cos \alpha$ 的值为（）

已知 $\sin \alpha = \frac { 3 } { 5 }$ ,且 $\alpha$ 为锐角,则 $\cos \alpha$ 的值为（）

A. A. $\frac { 4 } { 5 }$
B. B. $- \frac { 4 } { 5 }$
C. C. $\frac { 3 } { 4 }$
D. D. $- \frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: A

Solution: 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦【分析】根据同角平方关系求解. 【详解】因为 $\sin \alpha = \frac { 3 } { 5 }$ ,且 $\alpha$ 为锐角, 所以 $\cos \alpha = \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } \alpha } = \sqrt { 1 - \left( \frac { 3 } { 5 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 4 } { 5 }$ .

Question 21

Question 21: 已知 $\tan \theta = 6$ ,则 $\frac { 2 \cos \theta - \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } =$（）

已知 $\tan \theta = 6$ ,则 $\frac { 2 \cos \theta - \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } =$（）

A. A. $\frac { 7 } { 4 }$
B. B. $- \frac { 7 } { 4 }$
C. C. $\frac { 4 } { 7 }$
D. D. $- \frac { 4 } { 7 }$

Answer

Answer: D

Solution: 【知识点】正,余弦齐次式的计算【分析】分子分母为一次齐次式,分子分母同除以 $\cos \theta$ 转化为 $\tan \theta$ 的表达式,代入求解即可. 【详解】因为 $\cos \theta \neq 0$ ,分子分母同除 $\cos \theta$ , $\frac { 2 \cos \theta - \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } = \frac { 2 - \tan \theta } { 1 + \tan \theta } = \frac { 2 - 6 } { 1 + 6 } = - \frac { 4 } { 7 }$,

Question 22

Question 22: 角 $\alpha$ 的终边过点 $( 2,1 )$ ,则 $\sin \left( \alpha + \frac { \pi } { 2 } \right) =$

角 $\alpha$ 的终边过点 $( 2,1 )$ ,则 $\sin \left( \alpha + \frac { \pi } { 2 } \right) =$

A. A. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
B. B. $- \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
C. C. $\frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$
D. D. $- \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer

Answer: C

Solution: 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值,诱导公式五,六【分析】由诱导公式可得 $\sin \left( \alpha + \frac { \pi } { 2 } \right) = \cos \alpha$ ,利用三角函数的定义求出 $\cos \alpha$ 即可. 【详解】因为角 $\alpha$ 的终边过点 ${ } ^ { ( 2,1 ) }$ , 所以 $\cos \alpha = \frac { 2 } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$ , 所以 $\sin \left( \alpha + \frac { \pi } { 2 } \right) = \cos \alpha = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$ ,

Question 23

Question 23: 若 $\sin \alpha = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } , \cos \alpha = \frac { 1 } { 3 }$ ,则 $\tan \alpha =$

若 $\sin \alpha = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } , \cos \alpha = \frac { 1 } { 3 }$ ,则 $\tan \alpha =$

A. A. 1
B. B. $2 \sqrt { 2 }$
C. C. 3
D. D. 5

Answer

Answer: B

Solution: 【知识点】已知弦（切）求切（弦）【分析】根据同角三角函数的关系结合已知条件可求得答案. 【详解】因为 $\sin \alpha = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } , \cos \alpha = \frac { 1 } { 3 }$ , 所以 $\tan \alpha = \frac { \sin \alpha } { \cos \alpha } = \frac { \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } } { \frac { 1 } { 3 } } = 2 \sqrt { 2 }$ .

Question 24

Question 24: 下面诱导公式使用正确的是

下面诱导公式使用正确的是

A. A. $\sin \left( \theta - \frac { \pi } { 2 } \right) = \cos \theta$
B. B. $\cos \left( \frac { 3 \pi } { 2 } + \theta \right) = - \sin \theta$
C. C. $\sin \left( \frac { 3 \pi } { 2 } - \theta \right) = - \cos \theta$
D. D. $\cos \left( \theta - \frac { \pi } { 2 } \right) = - \sin \theta$

Answer

Answer: C

Solution: 【知识点】诱导公式五,六【分析】根据诱导公式的法则＂奇变偶不变,符号看象限＂,逐一分析选项,即可得答案. 【详解】对于 A ： $\sin \left( \theta - \frac { \pi } { 2 } \right) = - \sin \left( \frac { \pi } { 2 } - \theta \right) = - \cos \theta$ ,故 A 错误；对于 B ： $\cos \left( \frac { 3 \pi } { 2 } + \theta \right) = \sin \theta$ ,故 B 错误；对于 C ： $\sin \left( \frac { 3 \pi } { 2 } - \theta \right) = - \cos \theta$ ,故 C 正确；对于 D ： $\cos \left( \theta - \frac { \pi } { 2 } \right) = \cos \left( \frac { \pi } { 2 } - \theta \right) = \sin \theta$ ,故 D 错误.

Question 25

Question 25: $\cos \left( - \frac { 13 \pi } { 4 } \right) + \sin \frac { 7 \pi } { 2 } =$

$\cos \left( - \frac { 13 \pi } { 4 } \right) + \sin \frac { 7 \pi } { 2 } =$

A. A. $1 + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
B. B. $1 - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
C. C. $- 1 + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
D. D. $- 1 - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

Answer

Answer: D

Solution: 【知识点】三角函数的化简,求值——诱导公式【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可. 【详解】$\cos \left( - \frac { 13 \pi } { 4 } \right) + \sin \frac { 7 \pi } { 2 } = \cos \frac { 13 \pi } { 4 } + \sin \frac { 7 \pi } { 2 } = - \cos \frac { \pi } { 4 } - \sin \frac { \pi } { 2 } = - 1 - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ .

Question 26

Question 26: 下列函数中,既是奇函数又在 $\left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$ 上单调递增的是

下列函数中,既是奇函数又在 $\left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$ 上单调递增的是

A. A. $y = x ^ { 2 }$
B. B. $y = \sin x$
C. C. $y = \cos x$
D. D. $y = \tan x$

Answer

Answer: B

Solution: 【知识点】求含 $\sin x$ 的函数的奇偶性,求含 $\cos x$ 的函数的奇偶性,求 $\sin x$ 的函数的单调性,求 $\cos x$ 型三角函数的单调性【分析】根据基本初等函数的性质,逐一判断各选项正误. 【详解】$y = x ^ { 2 }$ 是偶函数,所以 A 错误； $y = \sin x$ 是奇函数,且在 $\left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$ 上单调递增,所以 B 正确； $y = \cos x$ 是偶函数,所以 C 错误； $y = \tan x$ 在 $x = 0$ 和 ${ } ^ { x } = \frac { \pi } { 2 }$ 上无定义,所以 D 错误；

Question 27

Question 27: 下列函数为奇函数的是

下列函数为奇函数的是

A. A. $f ( x ) = \cos x$
B. B. $f ( x ) = \sin x + 1$
C. C. $f ( x ) = \tan x \sin x$
D. D. $f ( x ) = \tan x \cos x$

Answer

Answer: D

Solution: 【知识点】函数奇偶性的定义与判断【分析】利用函数奇偶性的定义,以及三角函数的性质,逐项判定,即可求解, 【详解】函数 $f ( x ) = \cos x$ 的定义域为 R 关于原点对称,又 $f ( - x ) = \cos ( - x ) = \cos x = f ( x )$ , 所以 $f ( x ) = \cos x$ 是偶函数,故 A 不符合题意；函数 $f ( x ) = \sin x + 1$ 的定义域为 R R 关于原点对称,又 $f ( - x ) = \sin ( - x ) + 1 = - \sin x + 1$ , 所以 $f ( - x ) \neq f ( x )$ 且 $f ( - x ) \neq - f ( x )$ ,所以 $f ( x ) = \sin x + 1$ 是非奇非偶函数,故 B 不符合题意, 函数 $f ( x ) = \tan x \cos x$ 的定义域为 $\left\{ x \left\lvert \, x \neq \frac { \pi } { 2 } + k \pi \right. , k \in Z \right\}$ 关于原点对称, 又 $f ( - x ) = \tan ( - x ) \sin ( - x ) = \tan x \sin x = f ( x )$ ,所以 $f ( x ) = \tan x \sin x$ 是偶函数,故 C 不符合题意；函数 $f ( x ) = \tan x \cos x$ 的定义域为 $\left\{ x \left\lvert \, x \neq \frac { \pi } { 2 } + k \pi \right. , k \in \mathrm { Z } \right\}$ 关于原点对称, 又 $f ( - x ) = \tan ( - x ) \cos ( - x ) = - \tan x \cos x = - f ( x )$ ,所以 $f ( x ) = \tan x \cos x$ 是奇函数,故 D 符合题意.

Question 28

Question 28: 函数 $y = \tan \frac { x } { 2 }$ 是

函数 $y = \tan \frac { x } { 2 }$ 是

A. A. 最小正周期为 $4 \pi$ 的奇函数
B. B. 最小正周期为 $2 \pi$ 的奇函数
C. C. 最小正周期为 $4 \pi$ 的偶函数
D. D. 最小正周期为 $2 \pi$ 的偶函数

Answer

Answer: B

Solution: 【知识点】求正切（型）函数的奇偶性,求正切（型）函数的周期【分析】根据正切函数的奇偶性判断函数是奇函数,再由周期公式求出最小正周期,即可得到结论. 【详解】函数 $f ( x ) = \tan \frac { x } { 2 }$ ,定义域为 $\{ x \mid x \neq \pi + 2 k \pi , k \in \mathrm { Z } \}$ , $f ( - x ) = \tan \left( \frac { - x } { 2 } \right) = - \tan \frac { x } { 2 } = - f ( x )$ ,函数为奇函数, 其最小正周期 $T = \frac { \pi } { \frac { 1 } { 2 } } = 2 \pi$ .

Question 29

Question 29: 下列函数中,在其定义域内是减函数的是

下列函数中,在其定义域内是减函数的是

A. A. $f ( x ) = 2 ^ { x }$
B. B. $f ( x ) = \ln \frac { 1 } { x }$
C. C. $f ( x ) = \log _ { 3 } x$
D. D. $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$ 参考

Answer

Answer: B

Solution: 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性,判断指数函数的单调性,研究对数函数的单调性【分析】利用解析式,结合指数函数,对数函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于 A ,函数 $f ( x ) = 2 ^ { x }$ 在定义域 $\mathbf { R }$ 上单调递增, A 错误；对于 B,函数 $f ( x ) = \ln \frac { 1 } { x } = - \ln x$ 在定义域 $( 0 , + \infty )$ 上单调递减,B 正确；对于 C,函数 ${ } ^ { f ( x ) = \log _ { 3 } x }$ 在定义域 $( 0 , + \infty )$ 上单调递增,C 错误；对于 D,函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$ 在定义域 $( - \infty , 0 ) \cup ( 0 , + \infty )$ 上不单调,D 错误.

Elementary Functions

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