quadratic equation | CSCA Math Glossary

Kernkonzept

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung, bei der die höchste Potenz der Variablen 2 ist. Sie ist eine der grundlegendsten Gleichungsarten in der Algebra.

Standardform

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ wobei:

der $a$ Koeffizient von ist $x^2$ (kann nicht 0 $b$ sein)
der Koeffizient von $x$
der $c$ konstante Term ist
die $x$ Variable ist

Lösungsmethoden

Methode 1: Faktorisieren

Wenn die Gleichung faktorisiert werden kann, ist dies der direkteste Ansatz.

Beispiel: $x^2 - 5x + 6 = 0$ Schritt 1: $(x - 2)(x - 3) = 0$ FaktorisierenSchritt 2: Setzen Sie jeden Faktor auf Null.

$x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$

Antwort: $x = 2$ oder $x = 3$

Methode 2: Quadratische Ergänzung

Wandeln Sie die Gleichung in ein perfektes Quadrat um.

Beispiel: $x^2 + 6x + 5 = 0$ Schritt 1: $x^2 + 6x = -5$ UmstellenSchritt 2: Quadratische $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ ErgänzungSchritt 3: Quadratwurzel ziehen $x + 3 = \pm 2$

Antwort: $x = -1$ oder $x = -5$

Methode 3: Quadratische Formel

Diese universelle Methode funktioniert für alle quadratischen Gleichungen:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ wobei $\Delta = b^2 - 4ac$ als Diskriminante bezeichnet wird.

Diskriminantenanalyse

- $\Delta > 0$ : Zwei unterschiedliche reelle Wurzeln - $\Delta = 0$ : Zwei gleiche reelle Wurzeln (wiederholte Wurzel) - $\Delta < 0$ : Keine reellen Wurzeln (zwei komplex konjugierte Wurzeln)

Vieta-Formeln

Wenn $x_1$ und Wurzeln $x_2$ von sind $ax^2 + bx + c = 0$ , dann gilt:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (Summe der Wurzeln)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (Produkt der Wurzeln)

Anwendungen in der Praxis

Anwendung 1: Flächenproblem

Problem: Ein rechteckiges Grundstück ist 4 m länger als breit. Die Fläche beträgt 60 m². Bestimmen Sie die Abmessungen.

Lösung: Sei die Breite = $x$ , dann ist die Länge = $x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$

Antwort: Breite = 6 m, Länge = 10 m (negativen Wert verwerfen)

Anwendung 2: Wurfbewegung

Problem: Ein Objekt wird mit einer Höhe $h = 20t - 5t^2$ (Meter) nach oben geworfen. Wann trifft es auf den Boden?

Lösung: Setze $h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$

Antwort: $t = 4$ Sekunden ( $t = 0$ ist die Startzeit)

Anwendung 3: Gewinnmaximierung

Problem: Ein Produkt zum Preis von $x$ wird täglich mal $(100-x)$ verkauft. Die Kosten betragen 40 $ pro Einheit. Bestimme den optimalen Preis.

Gewinnfunktion: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ Maximum: Am $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$ Scheitelpunkt

Antwort: Der Preis von 70 $ maximiert den Gewinn.

CSCA-Übungsaufgaben

> 💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan und den standardisierten chinesischen Testformaten, um den Schülern zu helfen, sich mit den Fragetypen und Lösungsansätzen vertraut zu machen.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Lösen Sie durch Faktorisierung: $x^2 - 7x + 12 = 0$

Optionen:

A. $x = 2$ oder $x = 5$
B. $x = 3$ oder $x = 4$
C. $x = 1$ oder $x = 12$
D. $x = -3$ oder $x = -4$ Lösung:

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$ Antwort: B

Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wenn zwei gleiche $x^2 - 6x + k = 0$ reelle Wurzeln hat, finde $k$ .

Lösung:

Gleiche Wurzeln bedeuten $\Delta = 0$ :

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ Antwort:

--- $k = 9$

Beispiel 3: Fortgeschrittene (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $x_1$ und Wurzeln $x_2$ von sind $x^2 - 3x - 1 = 0$ , finde $x_1^2 + x_2^2$ ohne zu lösen.

Lösung:

Nach den Formeln von Vieta: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$ Unter Verwendung der Identität:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ Antwort: $11$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Vergessen

$a \neq 0$

Falsch: $0x^2 + 3x + 2 = 0$ ist eine quadratische Gleichung ✗

Richtig: Wenn $a = 0$ , wird es zu einer linearen Gleichung ✓

❌ Fehler 2: Falsches Vorzeichen in der quadratischen Formel

Falsch: ✗ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$

Richtig: ✓ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

❌ Fehler 3: Vorzeichenfehler in der Vieta-Formel

Falsch: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Richtig: ✓ $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

❌ Fehler 4: Keine Überprüfung auf irrelevante Lösungen

Korrektur: Überprüfen Sie bei realen Problemen, ob die Lösungen physikalisch sinnvoll sind (z. B. können Längen nicht negativ sein).

Lerntipps

✅ Beherrschen Sie alle drei Methoden: Faktorisierung ist am schnellsten, die Vervollständigung zum Quadrat verdeutlicht das Konzept, die Formel ist universell.
✅ Die Diskriminante ist entscheidend: Berechnen Sie immer , um die $\Delta$ Art der Wurzeln zu bestimmen.
✅ Vietas Formeln werden geprüft: Üben Sie das Finden von Ausdrücken, ohne sie zu lösen.
✅ Überprüfen Sie die Antworten in der Praxis: Verwerfen Sie unplausible Lösungen.

💡 Prüfungstipp: Quadratische Gleichungen sind ein zentraler Bestandteil der CSCA-Algebra und machen etwa 60 % der Gleichungsaufgaben aus. Merken Sie sich die Formel und die Vieta-Formeln!

二次方程èrcì fāngchéng