韦达定理wéidá dìnglǐ

Kernkonzept

Die Vieta-Formeln (韦达定理) stellen eine Beziehung zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Summen und Produkten seiner Wurzeln her.

Für die quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mit den Wurzeln $x_1$ und $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (Summe der Wurzeln)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (Produkt der Wurzeln)

Herleitung

Aus der quadratischen Formel: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Summe: $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

Produkt: $x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Wichtige Anwendungen

1. Ausdrücke berechnen ohne zu lösen

Berechnen Sie Ausdrücke mit Wurzeln, ohne die tatsächlichen Wurzeln zu bestimmen.

Wichtige Formeln: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

2. Gleichungen aus Wurzeln konstruieren

Wenn $\alpha$ und $\beta$ Wurzeln sind, lautet die quadratische Gleichung: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

Oder gleichwertig: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

3. Vorzeichen der Wurzeln bestimmen

Ohne zu lösen, das Vorzeichen der Wurzeln bestimmen:

• Beide positiv: $x_1 + x_2 > 0$ UND $x_1 \cdot x_2 > 0$
• Beide negativ: $x_1 + x_2 < 0$ UND $x_1 \cdot x_2 > 0$
• Verschiedene Vorzeichen: $x_1 \cdot x_2 < 0$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Wenn $x_1$ und $x_2$ Wurzeln von $x^2 - 3x - 4 = 0$ sind, bestimmen Sie $x_1 + x_2$ und $x_1 \cdot x_2$.

Lösung:

Nach den Vieta-Formeln mit $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$: $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$

Antwort: Summe = 3, Produkt = -4

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wenn $x_1$ und $x_2$ Wurzeln von $2x^2 + 5x - 3 = 0$ sind, bestimmen Sie $x_1^2 + x_2^2$.

Lösung:

Nach den Vieta-Formeln: $x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$

Mit der Identität: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right)$ $= \frac{25}{4} + 3 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = \frac{37}{4}$

Antwort: $\dfrac{37}{4}$

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Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $x_1$ und $x_2$ Wurzeln von $x^2 - 4x + 1 = 0$ sind, bestimmen Sie $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$.

Lösung:

Nach den Vieta-Formeln: $x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1$

Vereinfachen des Ausdrucks: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Zuerst $x_1^2 + x_2^2$ bestimmen: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14$

Daher: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{14}{1} = 14$

Antwort: $14$

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Beispiel 4: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Finden Sie eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Wurzeln $2 + \sqrt{3}$ und $2 - \sqrt{3}$ sind.

Lösung:

Summe der Wurzeln: $\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

Produkt der Wurzeln: $\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

Die Gleichung lautet: $x^2 - 4x + 1 = 0$

Antwort: $x^2 - 4x + 1 = 0$

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Beispiel 5: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★★)

Wenn eine Wurzel von $x^2 + px + q = 0$ doppelt so groß wie die andere ist und die Summe der Wurzeln 6 beträgt, bestimmen Sie $p$ und $q$.

Lösung:

Seien die Wurzeln $r$ und $2r$.

Nach den Vieta-Formeln:

• $r + 2r = 3r = -p$
• $r \cdot 2r = 2r^2 = q$

Gegeben Summe = 6: $3r = 6 \Rightarrow r = 2$

Daher: $p = -3r = -6$ $q = 2r^2 = 2(4) = 8$

Antwort: $p = -6$, $q = 8$

Erweiterte Vieta-Formeln

Für die kubische Gleichung $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ mit den Wurzeln $x_1, x_2, x_3$:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a}$ $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Falsches Vorzeichen bei der Summe

Falsch: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Richtig: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ Fehler 2: Annahme reeller Wurzeln

Die Vieta-Formeln gelten auch bei $\Delta < 0$ (komplexe Wurzeln), aber viele Anwendungen erfordern reelle Wurzeln. Prüfen Sie immer $\Delta \geq 0$, wenn nötig.

❌ Fehler 3: Unvollständige Wurzelbedingungen

Für „beide Wurzeln positiv": Es müssen sowohl $x_1 + x_2 > 0$ als auch $x_1 \cdot x_2 > 0$ und $\Delta \geq 0$ gelten.

Lerntipps

1. ✅ Vorzeichen merken: Summe hat Minuszeichen, Produkt nicht
2. ✅ Wichtige Umformungen lernen: $x_1^2 + x_2^2$, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, usw.
3. ✅ Mit Diskriminante kombinieren: Für Bedingungen reeller Wurzeln
4. ✅ Rückwärtsaufgaben üben: Gleichung aus gegebenen Wurzeln finden

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💡 Prüfungstipp: Die Vieta-Formeln werden häufig in der CSCA geprüft. Beherrschen Sie die Umformungen für $x_1^2 + x_2^2$ und $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ — sie kommen in den meisten Aufgaben vor!