等差数列děngchā shùliè

Kernkonzept

Eine arithmetische Folge (等差数列) ist eine der grundlegendsten Arten von Folgen in der Mathematik. Ab dem zweiten Glied ist die Differenz zwischen jedem Glied und seinem Vorgängerglied gleich einer Konstante, die als gemeinsame Differenz (公差) bezeichnet wird und typischerweise mit bezeichnet$d$

wird.

Mathematische Definition

Für eine Folge $\{a_n\}$

gilt: Wenn es$d$

eine Konstante gibt,$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

sodass

Dann wird die$\{a_n\}$

Folge als arithmetische Folge bezeichnet, mit$d$

als gemeinsamer Differenz.

Allgemeine Termformel

Der$n$

-te Term einer arithmetischen Folge kann unter Verwendung des ersten Terms$a_1$

und der gemeinsamen Differenz ausgedrückt$d$

werden:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Herleitung:

$a_2 = a_1 + d$

-$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$

• ...

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Summenformel

Für die Summe der ersten$n$

Terme gibt es zwei gängige Formeln:

Formel 1 (unter Verwendung des ersten und letzten Terms): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Formel 2 (unter Verwendung des ersten Terms und der gemeinsamen Differenz):

$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

Wichtige Eigenschaften

Eigenschaft 1: Arithmetisches Mittel

Wenn$a$

,$b$

, eine$c$

arithmetische Folge bilden, dann gilt:$b = \frac{a + c}{2}$

Das heißt,$b$

ist das arithmetische Mittel von$a$

und$c$

.

Eigenschaft 2: Indexeigenschaft

Wenn$m + n = p + q$

(wobei$m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$

), dann gilt $a_m + a_n = a_p + a_q$

:

Insbesondere wenn$m + n = 2p$

, dann gilt:

$a_m + a_n = 2a_p$

Eigenschaft 3: Summeneigenschaft

Die Summe der ersten$n$

Terme kann als$n$

mal dem Durchschnitt des ersten und letzten Terms angesehen werden:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Anwendungen in der Praxis

Anwendung 1: Banksparen

Problem: Ming spart 12 Monate lang jeden Monat 500 Yuan. Wie hoch ist die Gesamtsumme nach 12 Monaten?

Analyse: Die monatlichen Einzahlungen bilden eine arithmetische Folge mit$a_1 = 500$

,$d = 500$

,$n = 12$

.

Lösung: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

Anwendung 2: Theaterplätze

Aufgabe: Ein Theater hat 20 Plätze in der ersten Reihe. Jede nachfolgende Reihe hat 2 Plätze mehr als die vorherige Reihe. Wenn es 30 Reihen gibt, wie viele Plätze gibt es dann insgesamt?

Analyse:

• Erster Term $a_1 = 20$

• Gemeinsame Differenz $d = 2$

• Anzahl der Terme$n = 30$

Lösung: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

CSCA-Übungsaufgaben

> 💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan und den standardisierten chinesischen Testformaten, um den Schülern zu helfen, sich mit den Fragetypen und Lösungsansätzen vertraut zu machen$\{a_n\}$

.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

In einer arithmetischen Folge unda_7 = 15$$a_3 = 7

. Finden Sie$a_{10}$

.

Optionen:

• A. 19
• B. 21
• C. 23
• D. 25

Ausführliche Lösung:

Methode 1: Verwendung der allgemeinen Termformel

1. Aus der allgemeinen Termformel: -$a_3 = a_1 + 2d = 7$

... ① -$a_7 = a_1 + 6d = 15$

... ②

2. ② - ① ergibt:$4d = 8$

, also $d = 2$

3. Einsetzen in ①:$a_1 + 4 = 7$

, also $a_1 = 3$

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

Antwort: B

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

In einer arithmetischen Folge und$\{a_n\}$

S_{10} = 100$$S_5 = 25

. Finden Sie$S_{15}$

.

Optionen:

• A. 175
• B. 200
• C. 225
• D. 250

Ausführliche Lösung:

Methode: Unter Verwendung der Eigenschaft, dass$S_5$

,$S_{10} - S_5$

und$S_{15} - S_{10}$

ebenfalls eine arithmetische Folge bilden:

-$S_5 = 25$

$S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$

• Gemeinsame Differenz:

$75 - 25 = 50$

Daher:

$S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

Antwort: C

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Kann die gemeinsame Differenz Null sein?

Antwort: Mathematisch gesehen ist die Folge bei eine konstante Folge, die$d = 0$

technisch gesehen eine arithmetische Folge ist. In CSCA-Prüfungen bedeutet „arithmetische Folge” jedoch$d \neq 0$

in der Regel , sofern nicht anders angegeben.

❌ Fehler 2: Ist eine arithmetische Folge immer steigend?

Antwort: Nicht unbedingt! -$d > 0$

→ steigende Folge -$d < 0$

→ fallende Folge -$d = 0$

→ konstante Folge

❌ Fehler 3: Verwechslung mit geometrischen Folgen

Wesentlicher Unterschied:

• Arithmetische Folge: Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant ($a_{n+1} - a_n = d$

)

• Geometrische Folge: Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

)

Lerntipps

1. ✅ Beherrsche die Formeln – Allgemeine Terme und Summenformeln sind grundlegend.
2. ✅ Verstehe die allgemeine Differenz – Sie kann positiv, negativ oder null sein.
3. ✅ Übe Eigenschaften – Insbesondere arithmetische Mittelwerte und Indexeigenschaften.
4. ✅ Löse verschiedene Aufgaben – Arithmetische Folgen werden oft mit Funktionen und Ungleichungen kombiniert.
5. ✅ Vergleichen Sie mit geometrischen Folgen – Verstehen Sie die Unterschiede klar

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💡 Prüfungstipp: Arithmetische Folgen sind ein häufig vorkommendes Thema in CSCA-Mathematikprüfungen und machen etwa 60 % der Fragen zu Folgen aus. Üben Sie täglich 2-3 entsprechende Aufgaben, um sicherzustellen, dass Sie das Thema beherrschen.