公差gōngchā

Kernkonzept

Die gemeinsame Differenz ist der Kernparameter einer arithmetischen Folge und stellt die konstante Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern dar. In einer arithmetischen Folge ist ab dem zweiten Glied die Differenz zwischen jedem Glied und seinem Vorgänger gleich dieser festen Konstante.

Mathematische Definition

Für eine arithmetische Folge $\{a_n\}$

ist die$d$

gemeinsame Differenz wie folgt definiert:$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

wobei eine Konstante für$d$

alle Glieder der Folge ist.

Eigenschaften

1. Eindeutigkeit: Eine arithmetische Folge hat nur eine gemeinsame Differenz
2. Kann positiv, negativ oder null sein: -$d > 0$

→ steigende Folge -$d < 0$

→ fallende Folge -$d = 0$

→ konstante Folge

3. Berechnungsformel: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

Anwendungen in der Praxis

Anwendung 1: Temperaturänderungen

Aufgabe: Die täglichen Höchsttemperaturen einer Woche sind: 20 °C, 22 °C, 24 °C, 26 °C, 28 °C, 30 °C, 32 °C. Berechnen Sie die gemeinsame Differenz.

Lösung:

$d = 22 - 20 = 2°C$

Die Temperatur steigt täglich um 2 °C, was einem arithmetischen Wachstum entspricht.

Anwendung 2: Gehaltssteigerung

Aufgabe: Mings Gehalt im ersten Jahr beträgt$5000, increasing by$

500 pro Jahr. Wie groß ist die gemeinsame Differenz?

Lösung: Gemeinsame Differenz$d = 500$

pro Jahr

Dies bildet eine arithmetische Folge mit$a_1 = 5000$

,$d = 500$

.

CSCA-Übungsaufgaben

> 💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan und den standardisierten chinesischen Testformaten, um den Schülern zu helfen, sich mit den Fragetypen und Lösungsansätzen vertraut zu machen.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★☆☆☆☆)

In einer arithmetischen Folge $\{a_n\}$

unda_5 = 11$$a_1 = 3

. Bestimmen Sie die gemeinsame Differenz$d$

.

Optionen:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Detaillierte Lösung:

Verwenden Sie die Formel:

$d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Überprüfung:

$a_2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = 5 + 2 = 7$

$a_4 = 7 + 2 = 9$

-$a_5 = 9 + 2 = 11$

✓

Antwort: B

---

Beispiel 2: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

In einer arithmetischen Folge$\{a_n\}$

mit $d \neq 0$

und$a_1 + a_3 + a_5 = 15$

$a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$

und bestimmt, finde$d$

.

Detaillierte Lösung:

Sei$a_3 = a$

(mittlerer Term), dann gilt:

$a_1 = a - 2d$

-$a_5 = a + 2d$

Bedingung 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Bedingung 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

Antwort: $d = \pm 1$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Die gemeinsame Differenz muss positiv sein.

Korrektur: Die gemeinsame Differenz kann positiv, negativ oder null sein.

Beispiel: Die Folge 10, 8, 6, 4, 2, ... hat$d = -2$

(negativ).

❌ Fehler 2: Zwei beliebige Terme unterscheiden sich um d

Korrektur: Die gemeinsame Differenz ist nur die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Termen.

Für$a_n$

und$a_m$

mit$n > m$

:

$a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ Fehler 3: Verwechslung des ersten Terms mit der gemeinsamen Differenz

Korrektur: Der erste Term$a_1$

ist der Startwert; die gemeinsame Differenz$d$

ist die Änderung zwischen den Termen. Es handelt sich um unterschiedliche Konzepte.

Lerntipps

1. ✅ Das Wesentliche verstehen: Die gemeinsame Differenz beschreibt eine gleichmäßige Änderung.
2. ✅ Vorzeichen beachten: Beachten Sie, ob d positiv oder negativ ist.
3. ✅ Flexible Berechnung: Beherrschen Sie mehrere Methoden, um d zu finden
4. ✅ Erkennen in der Praxis: Identifizieren Sie arithmetische Muster im Alltag

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💡 Prüfungstipp: Die gemeinsame Differenz ist grundlegend für arithmetische Folgen. Fast jede Aufgabe zu arithmetischen Folgen beinhaltet sie. Stellen Sie sicher, dass Sie sie schnell und genau berechnen können.