等比数列děngbǐ shùliè

Kernkonzept

Eine geometrische Folge ist eine Folge, bei der ab dem zweiten Term das Verhältnis jedes Terms zu seinem Vorgängerterm immer derselben Konstante entspricht. Diese Konstante wird als gemeinsames Verhältnis bezeichnet und üblicherweise mit bezeichnet.

Mathematische Definition

Für eine Folge $\{a_n\}$

gilt: Wenn es eine Konstante $q$

gibt$q \neq 0$

,$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

sodass

dann$\{a_n\}$

wird als geometrische Folge mit dem gemeinsamen Verhältnis bezeichnet$q$

.

Allgemeine Termformel

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

wobei:

• der erste$a_1$

Term ist

• die gemeinsame$q$

Verhältniszahl ist

• die$n$

Termnummer ist

Summenformel

**Wenn$q \neq 1$

**:

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

**Wenn$q = 1$

**:

$S_n = n \cdot a_1$

Geometrische vs. arithmetische Folgen

Merkmal	Geometrisch	Arithmetisch
Definition	Verhältnis aufeinanderfolgender Terme ist konstant	Differenz aufeinanderfolgender Terme ist konstant
Notation	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$

|$a_{n+1} - a_n = d$

| | Allgemeiner Term |$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

|$a_n = a_1 + (n-1)d$

| | Mittelwert |$b^2 = ac$

(geometrischer Mittelwert) |$b = \frac{a+c}{2}$

(arithmetischer Mittelwert) |

Anwendungen in der Praxis

Anwendung 1: Zellteilung

Problem: Eine Zelle teilt sich jede Stunde in zwei Zellen. Wie viele Zellen gibt es nach 8 Stunden?

Lösung:

• Erster Term $a_1 = 1$

• Gemeinsames Verhältnis $q = 2$

• Nach 8 Stunden: Zellen$a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

Anwendung 2: Zinseszinsen

Aufgabe: 10.000 $ werden zu einem Jahreszins von 5 % (Zinseszins) angelegt. Wie hoch ist der Gesamtbetrag nach 10 Jahren?

Lösung: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Anwendung 3: Radioaktiver Zerfall

Aufgabe: Eine Substanz zerfällt jährlich um 20 %. Die Anfangsmasse beträgt 100 g. Wie viel ist nach 5 Jahren übrig?

Lösung: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

CSCA-Übungsaufgaben

> 💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan und den standardisierten chinesischen Testformaten, um den Schülern zu helfen, sich mit den Fragetypen und Lösungsansätzen vertraut zu machen.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

In der geometrischen Folge $\{a_n\}$

unda_5 = 48$$a_2 = 6

. Bestimmen Sie die gemeinsame Verhältnismäßigkeit$q$

.

Optionen:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

Ausführliche Lösung:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Antwort: A

---

Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

In der geometrischen Folge und$\{a_n\}$

a_2 + a_3 = 6$$a_1 + a_2 = 3

. Finden Sie$a_5$

.

Ausführliche Lösung:

$a_1(1 + q) = 3$

... ①$a_1 q(1 + q) = 6$

... ②

Teile ②÷①:

$q = 2$

Setze dies in ① ein: $a_1 = 1$

Daher: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Antwort: 16

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Geometrische Folgen nehmen immer zu

Korrektur: Das Wachstum hängt sowohl von$a_1$

als auch von$q$

ab: -$a_1 > 0, q > 1$

→ zunehmend -$a_1 > 0, 0 < q < 1$

→ abnehmend -$q < 0$

→ wechselnde Vorzeichen

❌ Fehler 2: Das gemeinsame Verhältnis kann Null sein

Korrektur:$q \neq 0$

, da sonst alle Terme ab dem zweiten Null wären.

❌ Fehler 3: Verwechslung von geometrischem und arithmetischem Mittelwert

Korrektur:

• Geometrischer Mittelwert: $b^2 = ac$

• Arithmetischer Mittelwert:

$b = \frac{a+c}{2}$

Verwechseln Sie diese nicht!

❌ Fehler 4: Vergessen, bei der Summierung zu klassifizieren

Korrektur: Berücksichtigen Sie bei der Berechnung$q = 1$

von Summen immer und$q \neq 1$

getrennt.

Lerntipps

1. ✅ Vergleichen Sie mit arithmetischen Folgen: Verstehen Sie den Unterschied zwischen „Verhältnis” und „Differenz”.

2. ✅ Beherrschen Sie Formeln: Merken Sie sich allgemeine Terme und Summenformeln.

3. ✅ Fallanalyse: Betrachten Sie verschiedene Fälle für$q$

4. ✅ Reale Anwendungen: Zellteilung, Zinseszinsen und Zerfall sind typische Modelle.

---

💡 Prüfungstipp: Geometrische und arithmetische Folgen sind in CSCA-Prüfungen gleichermaßen wichtig und machen jeweils etwa 50 % der Folgenaufgaben aus. Lernen Sie sie vergleichend!