方差fāngchā

Kernkonzept

Die Varianz einer Zufallsvariablen gibt die Streuung ihrer Werte um den Erwartungswert (Mittelwert) an.

Definition

Für eine Zufallsvariable $X$ mit dem Erwartungswert $\mu = E(X)$ gilt:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Notation

• $\text{Var}(X)$ oder $V(X)$ – Variante von $X$
• $\sigma^2$ (Sigma zum Quadrat) – Gängiges Symbol für die Varianz
• $D(X)$ – Alternative Schreibweise (in chinesischen Lehrbüchern verwendet)

Zwei Formeln

Formel 1: Definition

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Formel 2: Rechnergestützt (praxisorientierter)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Eselsbrücke: „Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts“

Eigenschaften der Varianz

1. Nichtnegativität

$\text{Var}(X) \geq 0$

Die Gleichung gilt nur, wenn $X$ konstant ist.

2. Konstanter Faktor

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Hinweis: Der Faktor wird quadriert.

3. Eine Konstante hinzufügen

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

Das Hinzufügen einer Konstante hat keinen Einfluss auf die Streuung.

4. Kombinierte lineare Transformation

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Summe der unabhängigen Variablen

Wenn $X$ und $Y$ unabhängig sind: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Warnung: Dies gilt NICHT für abhängige Variablen!

6. Varianz einer Konstante

$\text{Var}(c) = 0$

Häufige Verteilungen

Vertrieb	Varianz
Bernoulli ($p$)	$p(1-p)$
Binomial($n, p$)	$np(1-p)$
Uniform ($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem Prüfungslehrplan der CSCA.

Beispiel 1: Grundstufe (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Eine Zufallsvariable $X$ hat folgende Verteilung:

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Suchen Sie nach $\text{Var}(X)$.

Lösung:

Suchen Sie zunächst nach $E(X)$: $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

Finden Sie $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

Formel anwenden: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

Antwort: $\text{Var}(X) = 0.49$

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Beispiel 2: Mittel (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wenn $\text{Var}(X) = 4$, dann suche $\text{Var}(3X + 2)$.

Lösung:

Verwendung der Eigenschaft $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Antwort: $36$

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Beispiel 3: Mittel (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Eine faire Münze wird 100 Mal geworfen. Sei $X$ die Anzahl der Kopfwürfe. Bestimme $\text{Var}(X)$.

Lösung:

$X$ folgt auf Binomial($n=100$, $p=0.5$).

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

Antwort: $\text{Var}(X) = 25$

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Beispiel 4: Fortgeschrittene (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $E(X) = 2$ und $E(X^2) = 8$ vorhanden sind, suche nach $\text{Var}(2X - 3)$.

Lösung:

Suchen Sie zunächst nach „$\text{Var}(X)$“: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Dann: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Antwort: $16$

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Beispiel 5: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★★)

Wenn $X$ und $Y$ unabhängig von $\text{Var}(X) = 2$ und $\text{Var}(Y) = 3$ sind, bestimme $\text{Var}(2X - 3Y + 1)$.

Lösung:

Verwendung von Eigenschaften: $\text{Var}(2X - 3Y + 1) = \text{Var}(2X - 3Y)$ $= \text{Var}(2X) + \text{Var}(-3Y)$ (independence) $= 4\text{Var}(X) + 9\text{Var}(Y)$ $= 4(2) + 9(3) = 8 + 27 = 35$

Antwort: $35$

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Die Standardabweichung hat dieselben Einheiten wie $X$, wodurch sie besser interpretierbar ist.

Varianz vs. Erwartungswert

Eigenschaft	Erwartungswert $E(X)$	Variante $\text{Var}(X)$
Maßnahmen	Zentrum (Standort)	Streuung (Dispersion)
Lineare Transformation	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Summe	Immer additiv	Additiv nur, wenn unabhängig

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Vergessen, den Koeffizienten zu quadrieren

Falsch: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Richtig: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Fehler 2: Hinzufügen von Varianzen abhängiger Variablen

Falsch: Wenn $X$ und $Y$ voneinander abhängig sind, gilt $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Richtig: Dies gilt nur für unabhängige Variablen ✓

❌ Fehler 3: Verwechslung von Varianz und Standardabweichung

Falsch: Die Standardabweichung von Binomial($n,p$) ist $np(1-p)$ ✗

Richtig: Die Varianz lautet $np(1-p)$; die Standardabweichung lautet $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Lerntipps

1. ✅ Berechnungsformel verwenden: $E(X^2) - (E(X))^2$ ist in der Regel einfacher
2. ✅ Denke daran: Der Koeffizient wird quadriert: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Unabhängigkeit prüfen: Die Varianz der Summe addiert sich nur bei unabhängigen Variablen
4. ✅ Varianz des Binomialverteilungsmodells kennen: $np(1-p)$ wird häufig abgefragt

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💡 Prüfungstipp: Bei der Berechnung der Varianz sollten Sie $E(X)$ und $E(X^2)$ immer zuerst separat ermitteln. Die Berechnungsformel ist weniger fehleranfällig als die Definition!