方差fāngchā

Kernkonzept

Die Varianz einer Zufallsvariablen misst die Streuung ihrer Werte um den Erwartungswert (Mittelwert).

Definition

Für eine Zufallsvariable $X$ mit Erwartungswert $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Notation

• $\text{Var}(X)$ oder $V(X)$ - Varianz von $X$
• $\sigma^2$ (Sigma-Quadrat) - Häufiges Symbol für die Varianz
• $D(X)$ - Alternative Notation (in chinesischen Lehrbüchern verwendet)

Zwei Formeln

Formel 1: Definition

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Formel 2: Berechnungsformel (praktischer)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Merkhilfe: „Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts"

Eigenschaften der Varianz

1. Nichtnegativität

$\text{Var}(X) \geq 0$

Gleichheit gilt nur, wenn $X$ konstant ist.

2. Konstanter Faktor

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Hinweis: Der Faktor wird quadriert.

3. Addieren einer Konstante

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

Das Addieren einer Konstante ändert die Streuung nicht.

4. Kombinierte lineare Transformation

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Summe unabhängiger Variablen

Wenn $X$ und $Y$ unabhängig sind: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Warnung: Dies gilt NICHT für abhängige Variablen!

6. Varianz einer Konstante

$\text{Var}(c) = 0$

Häufige Verteilungen

Verteilung	Varianz
Bernoulli($p$)	$p(1-p)$
Binomial($n, p$)	$np(1-p)$
Diskrete Gleichverteilung($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Eine Zufallsvariable $X$ hat die Verteilung:

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Berechnen Sie $\text{Var}(X)$.

Lösung:

Zuerst $E(X)$ berechnen: $E(X) = 0(0{,}3) + 1(0{,}5) + 2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}9$

$E(X^2)$ berechnen: $E(X^2) = 0^2(0{,}3) + 1^2(0{,}5) + 2^2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}8 = 1{,}3$

Formel anwenden: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49$

Antwort: $\text{Var}(X) = 0{,}49$

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wenn $\text{Var}(X) = 4$, berechnen Sie $\text{Var}(3X + 2)$.

Lösung:

Mit der Eigenschaft $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Antwort: $36$

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Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $E(X) = 2$ und $E(X^2) = 8$, berechnen Sie $\text{Var}(2X - 3)$.

Lösung:

Zuerst $\text{Var}(X)$ berechnen: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Dann: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Antwort: $16$

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Die Standardabweichung hat die gleichen Einheiten wie $X$ und ist daher besser interpretierbar.

Varianz vs. Erwartungswert

Eigenschaft	Erwartungswert $E(X)$	Varianz $\text{Var}(X)$
Misst	Zentrum (Lage)	Streuung (Dispersion)
Lineare Transformation	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Summe	Immer additiv	Additiv nur bei Unabhängigkeit

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Vergessen, den Koeffizienten zu quadrieren

Falsch: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Richtig: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Fehler 2: Varianzen abhängiger Variablen addieren

Falsch: Wenn $X$ und $Y$ abhängig sind, $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Richtig: Dies gilt nur für unabhängige Variablen ✓

❌ Fehler 3: Varianz und Standardabweichung verwechseln

Falsch: Die Standardabweichung der Binomialverteilung($n,p$) ist $np(1-p)$ ✗

Richtig: Die Varianz ist $np(1-p)$; die Standardabweichung ist $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Lerntipps

1. ✅ Berechnungsformel verwenden: $E(X^2) - (E(X))^2$ ist meistens einfacher
2. ✅ Koeffizient wird quadriert: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Unabhängigkeit prüfen: Varianz der Summe ist nur bei unabhängigen Variablen additiv
4. ✅ Binomialvarianz kennen: $np(1-p)$ wird häufig geprüft

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💡 Prüfungstipp: Bei der Berechnung der Varianz immer zuerst $E(X)$ und $E(X^2)$ separat berechnen. Die Berechnungsformel ist weniger fehleranfällig als die Definition!