数学期望shùxué qīwàng

Kernkonzept

Der Erwartungswert (oder mathematische Erwartung) einer Zufallsvariablen ist der gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte, wobei die Gewichte den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.

Diskrete Zufallsvariable

Für eine diskrete Zufallsvariable $X$, die die Werte $x_1, x_2, \ldots, x_n$ mit den Wahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, \ldots, p_n$ annimmt:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

Notation

• $E(X)$ – Erwartungswert von $X$
• $\mu$ (mu) – Wird häufig zur Bezeichnung des Erwartungswerts verwendet
• $\overline{X}$ – Stichprobenmittelwert (Schätzwert für $E(X)$)

Auslegung

Der Erwartungswert steht für:

• Der langfristige Durchschnitt zahlreicher unabhängiger Studien
• Der Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Der beizulegende Zeitwert im Glücksspiel- und Finanzkontext

Wichtig: Der erwartete Wert entspricht möglicherweise nicht einem tatsächlich möglichen Ergebnis.

Eigenschaften des Erwartungswerts

1. Linearität

$E(aX + b) = aE(X) + b$

wobei $a$ und $b$ Konstanten sind.

2. Summe von Zufallsvariablen

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Dies gilt auch dann, wenn $X$ und $Y$ NICHT unabhängig voneinander sind.

3. Produkt unabhängiger Variablen

Wenn $X$ und $Y$ unabhängig voneinander sind: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. Erwartungswert einer Konstante

$E(c) = c$

Häufige Verteilungen

Vertrieb	Erwartungswert
Bernoulli ($p$)	$p$
Binomial($n, p$)	$np$
Uniform ($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
Geometrie ($p$)	$\dfrac{1}{p}$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem Prüfungslehrplan der CSCA.

Beispiel 1: Grundstufe (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Eine Zufallsvariable $X$ hat folgende Verteilung:

$X$	1	2	3
$P$	0,2	0,5	0,3

Suchen Sie nach $E(X)$.

Lösung: $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$ $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

Antwort: $E(X) = 2.1$

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wenn $E(X) = 3$, dann suche $E(2X + 5)$.

Lösung:

Anwendung der Linearität: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

Antwort: $11$

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Beispiel 3: Mittel (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Eine faire Münze wird 100 Mal geworfen. Sei $X$ die Anzahl der Kopfwürfe. Bestimme $E(X)$.

Lösung:

$X$ folgt einer Binomialverteilung, ebenso wie $n = 100$ und $p = 0.5$.

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

Antwort: $E(X) = 50$

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Beispiel 4: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Eine Schachtel enthält 3 rote und 2 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Sei $X$ die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Bestimme $E(X)$.

Lösung:

Ermitteln Sie die Verteilung von $X$:

$P(X = 0) = \dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}$ (beide weiß)

$P(X = 1) = \dfrac{C_3^1 \cdot C_2^1}{C_5^2} = \dfrac{6}{10}$ (ein roter, ein weißer)

$P(X = 2) = \dfrac{C_3^2}{C_5^2} = \dfrac{3}{10}$ (beide rot)

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10}$ $= 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2$

Antwort: $E(X) = 1.2$

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Beispiel 5: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★★)

Wenn $E(X) = 2$ und $E(X^2) = 8$ vorhanden sind, suche nach $E((X-1)^2)$.

Lösung:

Erweitern: $E((X-1)^2) = E(X^2 - 2X + 1)$ $= E(X^2) - 2E(X) + 1$ $= 8 - 2(2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$

Antwort: $5$

Anwendungen in der Praxis

1. Faire Spiele

Ein Spiel ist „fair“, wenn $E(\text{profit}) = 0$.

Beispiel: Man zahlt 2 ¥, um eine Münze zu werfen. Kopf: Man gewinnt 4 ¥. Zahl: Man gewinnt nichts. $E(\text{profit}) = 0.5 \times (4-2) + 0.5 \times (0-2) = 1 - 1 = 0$ Das ist ein faires Spiel.

2. Versicherung

Versicherungsgesellschaften legen die Prämien anhand des Erwartungswerts fest.

3. Investitionsanalyse

Die erwartete Rendite hilft beim Vergleich verschiedener Anlageoptionen.

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: E(X) mit dem wahrscheinlichsten Wert verwechseln

Falsch: $E(X)$ ist der Wert, der am häufigsten vorkommt ✗

Richtig: $E(X)$ ist der gewichtete Mittelwert; der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert ✓

❌ Fehler 2: Vergessen, dass die Wahrscheinlichkeiten insgesamt 1 ergeben müssen

Überprüfen Sie vor der Berechnung: $\sum p_i = 1$

❌ Fehler 3: Falsche Anwendung der Linearität

Falsch: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

Richtig: Im Allgemeinen $E(X^2) \neq (E(X))^2$. Der Unterschied liegt in der Abweichung! ✓

Zusammenhang mit der Varianz

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Oder gleichbedeutend: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

Lerntipps

1. ✅ Merken Sie sich die Formel: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ Linearität meistern: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ Gängige Verteilungen kennen: Der Erwartungswert der Binomialverteilung lautet $np$
4. ✅ Nicht mit der Varianz verwechseln: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

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💡 Prüfungs-Tipp: Wenn dir eine Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle vorliegt, überprüfe zunächst, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben, und wende dann die Definition direkt an!