数学期望shùxué qīwàng

Kernkonzept

Der Erwartungswert (oder die mathematische Erwartung) einer Zufallsvariablen ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind.

Diskrete Zufallsvariable

Für eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit den Werten $x_1, x_2, \ldots, x_n$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, \ldots, p_n$:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

Notation

• $E(X)$ - Erwartungswert von $X$
• $\mu$ (mu) - wird häufig zur Bezeichnung des Erwartungswerts verwendet
• $\overline{X}$ - Stichprobenmittelwert (Schätzung von $E(X)$)

Interpretation

Der Erwartungswert stellt dar:

• Den langfristigen Durchschnitt vieler unabhängiger Versuche
• Den Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Den fairen Wert im Kontext von Glücksspiel/Finanzen

Wichtig: Der Erwartungswert muss kein tatsächlich mögliches Ergebnis sein.

Eigenschaften des Erwartungswerts

1. Linearität

$E(aX + b) = aE(X) + b$

wobei $a$ und $b$ Konstanten sind.

2. Summe von Zufallsvariablen

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Dies gilt auch, wenn $X$ und $Y$ NICHT unabhängig sind.

3. Produkt unabhängiger Variablen

Wenn $X$ und $Y$ unabhängig sind: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. Erwartungswert einer Konstante

$E(c) = c$

Häufige Verteilungen

Verteilung	Erwartungswert
Bernoulli($p$)	$p$
Binomial($n, p$)	$np$
Gleichverteilung($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
Geometrisch($p$)	$\dfrac{1}{p}$

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben sind auf den Lehrplan der CSCA-Prüfung abgestimmt.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Eine Zufallsvariable $X$ hat die folgende Verteilung:

$X$	1	2	3
$P$	0,2	0,5	0,3

Berechnen Sie $E(X)$.

Lösung: $E(X) = 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3$ $= 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$

Antwort: $E(X) = 2{,}1$

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wenn $E(X) = 3$, berechnen Sie $E(2X + 5)$.

Lösung:

Mit der Linearitätseigenschaft: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

Antwort: $11$

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Beispiel 3: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Eine faire Münze wird 100 Mal geworfen. Sei $X$ die Anzahl der Ergebnisse „Kopf". Berechnen Sie $E(X)$.

Lösung:

$X$ folgt einer Binomialverteilung mit $n = 100$, $p = 0{,}5$.

$E(X) = np = 100 \times 0{,}5 = 50$

Antwort: $E(X) = 50$

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: E(X) mit dem wahrscheinlichsten Wert verwechseln

Falsch: $E(X)$ ist der am häufigsten auftretende Wert ✗

Richtig: $E(X)$ ist der gewichtete Durchschnitt; der Modus ist der häufigste Wert ✓

❌ Fehler 2: Vergessen, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt

Überprüfen Sie vor der Berechnung: $\sum p_i = 1$

❌ Fehler 3: Falsche Anwendung der Linearität

Falsch: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

Richtig: Im Allgemeinen gilt $E(X^2) \neq (E(X))^2$. Die Differenz ist die Varianz! ✓

Beziehung zur Varianz

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Oder gleichwertig: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

Lerntipps

1. ✅ Formel merken: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ Linearität beherrschen: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ Häufige Verteilungen kennen: Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist $np$
4. ✅ Nicht mit der Varianz verwechseln: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

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💡 Prüfungstipp: Wenn eine Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle gegeben ist, überprüfen Sie zunächst, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt, und wenden Sie dann die Definition direkt an!