指数函数zhǐshù hánshù

Kernkonzept

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form:

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

Dabei gilt:

• $a$ ist die Basis (muss positiv und ungleich 1 sein)
• $x$ ist der Exponent (Variable)

Wichtiger Unterschied zur Potenzfunktion: Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten; bei Potenzfunktionen $x^n$ steht die Variable in der Basis.

Definitionsbereich und Wertebereich

• Definitionsbereich: $\mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen)
• Wertebereich: $(0, +\infty)$ (alle positiven reellen Zahlen)

Hinweis: $a^x > 0$ fuer alle reellen $x$, wenn $a > 0$.

Grundlegende Eigenschaften

1. Verlaeuft durch (0, 1)

$f(0) = a^0 = 1 \quad \text{fuer alle } a > 0$

Jede Exponentialfunktion verlaeuft durch den Punkt $(0, 1)$.

2. Immer positiv

$a^x > 0 \quad \text{fuer alle } x \in \mathbb{R}$

3. Monotonie

• Wenn $a > 1$: $f(x) = a^x$ ist streng monoton steigend
• Wenn $0 < a < 1$: $f(x) = a^x$ ist streng monoton fallend

4. Potenzgesetze

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(a^x)^y = a^{xy}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$

Graphische Eigenschaften

Wenn $a > 1$ (z.B. $y = 2^x$)

• Steigt von links nach rechts
• Naehert sich 0 fuer $x \to -\infty$
• Waechst unbegrenzt fuer $x \to +\infty$
• Horizontale Asymptote: $y = 0$

Wenn $0 < a < 1$ (z.B. $y = (1/2)^x$)

• Faellt von links nach rechts
• Waechst unbegrenzt fuer $x \to -\infty$
• Naehert sich 0 fuer $x \to +\infty$
• Horizontale Asymptote: $y = 0$

Vergleich von Werten

Fuer $a > 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2$

Fuer $0 < a < 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2$

Merkhilfe: "Basis > 1: groesserer Exponent, groesserer Wert; Basis < 1: groesserer Exponent, kleinerer Wert"

CSCA-Uebungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Uebungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Pruefungslehrplan.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Vergleichen Sie die Werte: $2^{0.5}$, $2^{0.3}$, $2^{-0.1}$.

Loesung: Da die Basis $2 > 1$, ist $y = 2^x$ steigend.

Da $0.5 > 0.3 > -0.1$: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

Antwort: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Vergleichen Sie: $0.5^{-0.1}$, $0.5^{0.1}$, $1.5^{0.1}$.

Loesung:

Fuer $0.5^{-0.1}$ und $0.5^{0.1}$: Da $0 < 0.5 < 1$, ist $y = 0.5^x$ fallend. Also $0.5^{-0.1} > 0.5^{0.1}$.

Fuer $0.5^{0.1}$: $(1/2)^{0.1} = \dfrac{1}{2^{0.1}} < 1$.

Fuer $1.5^{0.1}$: Da $1.5 > 1$ und $0.1 > 0$, gilt $1.5^{0.1} > 1^{0.1} = 1$.

Fuer $0.5^{-0.1}$: Das ist gleich $2^{0.1} > 1$.

Vergleich von $2^{0.1}$ und $1.5^{0.1}$: Da $2 > 1.5$ und der Exponent positiv ist: $2^{0.1} > 1.5^{0.1}$

Antwort: $0.5^{-0.1} > 1.5^{0.1} > 0.5^{0.1}$

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Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Bestimmen Sie den Wertebereich von $f(x) = 4^x - 2^{x+1} + 2$, $x \in [-1, 2]$.

Loesung:

Setze $t = 2^x$. Da $x \in [-1, 2]$: $t \in [2^{-1}, 2^2] = [\dfrac{1}{2}, 4]$

Es gilt $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ und $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$.

Also: $f = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$

Fuer $t \in [\dfrac{1}{2}, 4]$:

• Minimum bei $t = 1$: $f = 0 + 1 = 1$
• Endpunkte pruefen:
  • Bei $t = \dfrac{1}{2}$: $f = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 = \dfrac{5}{4}$
  • Bei $t = 4$: $f = 16 - 8 + 2 = 10$

Wertebereich: $[1, 10]$

Spezielle Exponentialfunktionen

Natuerliche Exponentialfunktion

$f(x) = e^x \quad \text{wobei } e \approx 2.71828$

Dies ist die wichtigste Exponentialfunktion in der Analysis, da $(e^x)' = e^x$.

Haeufige Fehler

❌ Fehler 1: Verwechslung mit Potenzfunktionen

Falsch: $x^2$ ist eine Exponentialfunktion ✗

Richtig: $2^x$ ist eine Exponentialfunktion (Variable im Exponenten), $x^2$ ist eine Potenzfunktion ✓

❌ Fehler 2: Falsche Ungleichungsrichtung

Falsch: Da $0.5 < 1$, gilt $0.5^2 < 0.5^3$ ✗

Richtig: Fuer $0 < a < 1$ gilt: groesserer Exponent ergibt kleineren Wert: $0.5^2 = 0.25 > 0.125 = 0.5^3$ ✓

❌ Fehler 3: Vergessen, dass $a^x > 0$

Falsch: Die Gleichung $2^x = -1$ hat eine Loesung ✗

Richtig: Fuer alle $x$ gilt $2^x > 0$, daher hat die Gleichung keine Loesung. ✓

Lerntipps

1. ✅ Zwei Faelle beherrschen: $a > 1$ (steigend) vs. $0 < a < 1$ (fallend)
2. ✅ Substitution verwenden: $t = a^x$ setzen, um in algebraische Gleichungen umzuwandeln
3. ✅ Asymptote merken: $y = 0$ ist immer die horizontale Asymptote
4. ✅ Variable im Exponenten pruefen: Das unterscheidet von Potenzfunktionen

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💡 Pruefungstipp: Beim Loesen von Exponentialgleichungen die Substitution $t = a^x$ verwenden, um in algebraische Gleichungen umzuwandeln. Denken Sie daran: $t > 0$!