奇偶性qī'ǒuxìng

Kernkonzept

Die Parität beschreibt die Symmetrieeigenschaften einer Funktion. Eine Funktion kann gerade, ungerade oder keines von beiden sein.

Voraussetzung: Damit eine Funktion eine Parität besitzt, muss ihr Definitionsbereich symmetrisch zum Ursprung sein (wenn $x$ im Definitionsbereich liegt, muss auch $-x$ im Definitionsbereich liegen).

Definitionen

Gerade Funktion (偶函数)

Eine Funktion $f$ ist gerade, wenn: $f(-x) = f(x) \quad \text{für alle } x \text{ im Definitionsbereich}$

Graphische Eigenschaft: Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

Ungerade Funktion (奇函数)

Eine Funktion $f$ ist ungerade, wenn: $f(-x) = -f(x) \quad \text{für alle } x \text{ im Definitionsbereich}$

Graphische Eigenschaft: Der Graph ist symmetrisch zum Ursprung.

Besondere Eigenschaft ungerader Funktionen

Wenn $f$ ungerade ist und $0$ im Definitionsbereich liegt, dann gilt $f(0) = 0$.

Beweis: $f(0) = f(-0) = -f(0)$, also $2f(0) = 0$, somit $f(0) = 0$.

Häufige Funktionen und ihre Parität

Funktion	Parität	Überprüfung
$y = x^n$ ($n$ gerade)	Gerade	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ ungerade)	Ungerade	$(-x)^n = -x^n$
$y =	x	$
$y = \sin x$	Ungerade	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Gerade	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Ungerade	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Weder noch	$a^{-x} \neq a^x$ und $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Weder noch	Definitionsbereich nicht symmetrisch

Methoden zur Bestimmung der Parität

Schrittweises Vorgehen

1. Symmetrie des Definitionsbereichs prüfen: Liegt $-x$ im Definitionsbereich, wenn $x$ darin liegt?
2. $f(-x)$ berechnen: $-x$ in die Funktion einsetzen
3. Mit $f(x)$ und $-f(x)$ vergleichen:
   • Wenn $f(-x) = f(x)$ → Gerade
   • Wenn $f(-x) = -f(x)$ → Ungerade
   • Sonst → Weder gerade noch ungerade

Beispiel 1: Gerade Funktion

Bestimme die Parität von $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Schritt 1: Definitionsbereich ist $\mathbb{R}$, symmetrisch zum Ursprung. ✓

Schritt 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Ergebnis: $f$ ist gerade.

Beispiel 2: Ungerade Funktion

Bestimme die Parität von $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Schritt 1: Definitionsbereich ist $\mathbb{R}$, symmetrisch zum Ursprung. ✓

Schritt 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Ergebnis: $f$ ist ungerade.

Beispiel 3: Weder noch

Bestimme die Parität von $f(x) = x + 1$.

Schritt 1: Definitionsbereich ist $\mathbb{R}$, symmetrisch. ✓

Schritt 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Da $f(-x) \neq f(x)$ und $f(-x) \neq -f(x)$:

Ergebnis: $f$ ist weder gerade noch ungerade.

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem CSCA-Prüfungslehrplan.

Beispiel 1: Grundlegend (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Bestimme die Parität von $f(x) = x^3 - x$.

Lösung: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Antwort: Ungerade Funktion

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wenn $f(x)$ eine ungerade Funktion ist und $f(2) = 3$, finde $f(-2) + f(0)$.

Lösung:

Da $f$ ungerade ist:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (Eigenschaft ungerader Funktionen)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Antwort: $-3$

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Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ eine ungerade Funktion ist, finde die Werte von $b$ und $d$.

Lösung:

Für ungerade Funktionen: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Vergleich: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Dies erfordert: $bx^2 = -bx^2$ und $d = -d$

Daher: $b = 0$ und $d = 0$

Antwort: $b = 0$, $d = 0$

Parität und Rechenoperationen

Summe von Funktionen

$f$	$g$	$f + g$
Gerade	Gerade	Gerade
Ungerade	Ungerade	Ungerade
Gerade	Ungerade	Weder noch (im Allgemeinen)

Produkt von Funktionen

$f$	$g$	$f \cdot g$
Gerade	Gerade	Gerade
Ungerade	Ungerade	Gerade
Gerade	Ungerade	Ungerade

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Symmetrie des Definitionsbereichs ignorieren

Falsch: $f(x) = \sqrt{x}$ ist gerade, weil $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Richtig: Der Definitionsbereich $[0, +\infty)$ ist nicht symmetrisch zum Ursprung, daher ist die Parität nicht definiert. ✓

❌ Fehler 2: $f(0) = 0$ bei ungeraden Funktionen vergessen

Wenn $f$ ungerade ist und bei $x = 0$ definiert ist, dann gilt $f(0) = 0$.

❌ Fehler 3: Nur einen Wert überprüfen

Falsch: $f(1) = f(-1)$, also ist $f$ gerade. ✗

Richtig: Es muss $f(-x) = f(x)$ für ALLE $x$ im Definitionsbereich gelten. ✓

Lerntipps

1. ✅ Definitionsbereich zuerst prüfen: Symmetrie zum Ursprung ist erforderlich
2. ✅ Algebraische Überprüfung verwenden: Nicht nur auf Graphen verlassen
3. ✅ Besondere Eigenschaft merken: Ungerade Funktionen gehen durch den Ursprung
4. ✅ Produktregeln kennen: ungerade × ungerade = gerade

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💡 Prüfungstipp: Bei Polynomen haben ungerade Funktionen nur Terme mit ungeradem Grad und gerade Funktionen nur Terme mit geradem Grad!