奇偶性qī'ǒuxìng

Kernkonzept

Parität beschreibt die Symmetrieeigenschaften einer Funktion. Eine Funktion kann gerade, ungerade oder weder das eine noch das andere sein.

Voraussetzung: Damit eine Funktion Parität besitzt, muss ihr Definitionsbereich um den Ursprung symmetrisch sein (wenn $x$ im Definitionsbereich liegt, muss auch $-x$ im Definitionsbereich liegen).

Begriffsbestimmungen

Gerade Funktion (偶関数)

Eine Funktion $f$ ist gerade, wenn: $f(-x) = f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

Grafische Eigenschaft: Die Kurve ist symmetrisch zur y-Achse.

Ungerade Funktion (奇函数)

Eine Funktion $f$ ist ungerade, wenn: $f(-x) = -f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

Grafische Eigenschaft: Die Kurve ist symmetrisch zum Ursprung.

Besondere Eigenschaft ungerader Funktionen

Wenn $f$ eine ungerade Zahl ist und $0$ zur Domäne gehört, dann gehört auch $f(0) = 0$ zur Domäne.

Beweis: $f(0) = f(-0) = -f(0)$, also $2f(0) = 0$, folglich $f(0) = 0$.

Häufige Funktionen und ihre Parität

Funktion	Parität	Überprüfung
$y = x^n$ (sogar $n$)	Sogar	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ ungerade)	Seltsam	$(-x)^n = -x^n$
$y = \lvert x \rvert$	Sogar	$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$
$y = \sin x$	Seltsam	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Sogar	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Seltsam	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Weder noch	$a^{-x} \neq a^x$ und $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Weder noch	Domäne nicht symmetrisch

Methoden zur Bestimmung der Parität

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Domänensymmetrie prüfen: Befindet sich $-x$ immer dann in der Domäne, wenn sich $x$ dort befindet?
2. $f(-x)$ berechnen: Setze $-x$ in die Funktion ein
3. Vergleich mit $f(x)$ und $-f(x)$:
   • Wenn $f(-x) = f(x)$ → gerade
   • Wenn $f(-x) = -f(x)$ → Ungerade
   • Andernfalls → Weder noch

Beispiel 1: Gerade Funktion

Bestimmen Sie die Parität von $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Schritt 1: Der Definitionsbereich ist $\mathbb{R}$ und symmetrisch zum Ursprung. ✓

Schritt 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Fazit: $f$ ist ausgeglichen.

Beispiel 2: Ungerade Funktion

Bestimmen Sie die Parität von $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Schritt 1: Der Definitionsbereich ist $\mathbb{R}$ und symmetrisch zum Ursprung. ✓

Schritt 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Fazit: $f$ ist seltsam.

Beispiel 3: Weder noch

Bestimmen Sie die Parität von $f(x) = x + 1$.

Schritt 1: Die Domäne lautet $\mathbb{R}$, symmetrisch. ✓

Schritt 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Seit den Modellen $f(-x) \neq f(x)$ und $f(-x) \neq -f(x)$:

Fazit: $f$ ist weder gerade noch ungerade.

CSCA-Übungsaufgaben

💡 Hinweis: Die folgenden Übungsaufgaben basieren auf dem Prüfungslehrplan der CSCA.

Beispiel 1: Grundstufe (Schwierigkeitsgrad ★★☆☆☆)

Bestimmen Sie die Parität von $f(x) = x^3 - x$.

Lösung: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Antwort: Ungerade Funktion

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Beispiel 2: Mittelstufe (Schwierigkeitsgrad ★★★☆☆)

Wenn $f(x)$ eine ungerade Funktion ist und $f(2) = 3$ gilt, bestimme $f(-2) + f(0)$.

Lösung:

Da $f$ eine ungerade Zahl ist:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (Eigenschaft ungerader Funktionen)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Antwort: $-3$

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Beispiel 3: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ eine ungerade Funktion ist, bestimme die Werte von $b$ und $d$.

Lösung:

Für ungerade Funktionen: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Vergleich: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Dazu werden folgende Teile benötigt: $bx^2 = -bx^2$ und $d = -d$

Daher: $b = 0$ und $d = 0$

Antwort: $b = 0$, $d = 0$

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Beispiel 4: Fortgeschritten (Schwierigkeitsgrad ★★★★☆)

Wenn $f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)$ gilt, dann beweisen Sie, dass $f(x)$ ungerade ist.

Lösung:

$f(-x) = \ln\left(\sqrt{(-x)^2+1} + (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

Berechnen Sie nun $f(x) + f(-x)$: $f(x) + f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right) + \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

$= \ln\left[\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\right]$

$= \ln\left[(x^2+1) - x^2\right] = \ln(1) = 0$

Daher: $f(-x) = -f(x)$

Fazit: $f(x)$ ist seltsam.

Parität und Operationen

Summe von Funktionen

$f$	$g$	$f + g$
Sogar	Sogar	Sogar
Seltsam	Seltsam	Seltsam
Sogar	Seltsam	Weder noch (im Allgemeinen)

Funktionsprodukt

$f$	$g$	$f \cdot g$
Sogar	Sogar	Sogar
Seltsam	Seltsam	Sogar
Sogar	Seltsam	Seltsam

Häufige Fehler

❌ Fehler 1: Die Symmetrie der Domänen ignorieren

Falsch: $f(x) = \sqrt{x}$ ist gerade, weil $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Richtig: Die Domäne $[0, +\infty)$ ist nicht symmetrisch zum Ursprung, daher ist die Parität undefiniert. ✓

❌ Fehler 2: $f(0) = 0$ bei ungeraden Funktionen vergessen

Wenn $f$ ungerade ist und bei $x = 0$ definiert ist, dann gilt $f(0) = 0$.

❌ Fehler 3: Nur einen Wert überprüfen

Falsch: $f(1) = f(-1)$, also ist $f$ gerade. ✗

Richtig: $f(-x) = f(x)$ muss für ALLE $x$ in der Domäne überprüft werden. ✓

Lerntipps

1. ✅ Zuerst die Domain prüfen: Symmetrie bezüglich des Ursprungs ist erforderlich
2. ✅ Algebraische Überprüfung anwenden: Verlassen Sie sich nicht allein auf Grafiken
3. ✅ Besondere Eigenschaft beachten: Ungerade Funktionen gehen durch den Ursprung
4. ✅ Produktregeln kennen: ungerade × ungerade = gerade

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💡 Prüfungs-Tipp: Bei Polynomen enthalten ungerade Funktionen ausschließlich Terme mit ungeradem Grad, gerade Funktionen hingegen ausschließlich Terme mit geradem Grad!