函数hánshù

核心理念

函数***是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的关系。简单地说，函数是一种 "输入-输出 "机制：给定一个输入值，根据特定规则，我们得到一个唯一确定的输出值。

数学定义

设 $A$ 和 $B$ 是两个非空的数集。如果根据对应规则$f$，对于集合$A$中的每个元素$x$，在集合$B$中都有一个唯一确定的**个元素$y$，那么$f$被称为从$A$到$B$的函数，写成：

$y = f(x), \quad x \in A$

其中

• $x$是自变量
• $y$是自变量
• $A$是域
• $f(x)$的所有值的集合称为范围

函数的三个要素

一个函数由三个元素唯一地决定：

1. 域 - 所有可能输入值的集合
2. 规则/公式 - 输入到输出的对应关系
3. 范围 - 所有可能输出值的集合

重要：当且仅当两个函数的域和对应规则相同时，它们才是相等的。

常见函数类型

1.线性函数

$f(x) = kx + b \quad (k \neq 0)$ 图形：直线

2.二次函数

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$ 图形：抛物线

3.指数函数

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$ 特征：快速增长或衰减

4.对数函数

$f(x) = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1)$ 特点：指数函数的逆函数

5.三角函数

$f(x) = \sin x, \cos x, \tan x, \text{etc.}$ 特点：周期性

实际应用

应用 1：速度与时间

汽车以 60 km/h 的速度行驶。时间$t$（小时）与距离$s$（千米）之间的关系？

$s = f(t) = 60t$_

应用 2：利润计算

产品成本 $50, sells for$80.数量$x$与利润$P$之间的关系？

$P = f(x) = 30x$。

应用 3：温度换算

将摄氏温度$C$转换为华氏温度$F$：

$F = f(C) = \frac{9}{5}C + 32$_

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试的形式设计的，以帮助学生熟悉题型和解题方法。

例题 1：基础题（难度★★☆☆☆)

给定函数 $f(x) = 2x + 1$, 求 $f(3)$.

解： $f(3) = 2(3) + 1 = 7$

答案：7

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示例 2：中级（难度★★★☆☆)

已知$f(x + 1) = x^2 + 2x$，求$f(x)$。

解：

设$t = x + 1$，则$x = t - 1$。

$f(t) = (t-1)^2 + 2(t-1) = t^2 - 1$_

因此$f(x) = x^2 - 1$

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例 3：高级（难度 ★★★★☆)

已知$f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = 3x$，求$f(x)$。

解：

由等式得$f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = 3x$ ......①。

用 $\frac{1}{x}$ 代替 $x$：$f(\frac{1}{x}) + 2f(x) = \frac{3}{x}$ ... ②

解①×2 - ②: $3f(\frac{1}{x}) = 6x - \frac{3}{x}$ $f(\frac{1}{x}) = 2x - \frac{1}{x}$

用$\frac{1}{x}$代替$x$： $f(x) = -x + \frac{2}{x}$_

常见错误

❌ 错误 1：函数只是一个公式

更正：函数是一种对应关系，不一定用公式表示。它可以用表格、图形或描述来表示。

错误 2：一个 x 可以对应多个 y 值

纠正：函数要求 ** 一个输入正好对应一个输出**。如果一个 $x$ 给出多个 $y$ 值，它就不是函数。

例如$x^2 + y^2 = 1$（圆方程）不是函数。

❌ 错误 3：域可以是任意的

更正：域必须满足

• 分母 ≠ 0
• 偶数根 ≥ 0
• 对数参数 > 0
• 现实世界的限制

学习提示

1.✅ 理解本质：函数是关系，而不仅仅是公式 2.✅ 三要素：域、规则和范围都至关重要 3.✅ 类型分类：了解常见函数的特点 4.✅ 分析性质：单调性、奇偶性、周期性是关键 5.✅ 实际应用：确定生活中的函数关系

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💡 考试提示：函数是 CSCA 考试的核心内容，约有 20% 的试题直接或间接涉及函数。请彻底掌握它们！