35．已知 $a , b \in \mathrm { R }$ ，复数 $z = a + 2 b \mathrm { i }$（其中 i 为虚数单位）满足 $z \cdot \bar { z } = 4$ ，给出下列结论：（1）
$a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 的取值范围是 $[ 1,4 ]$ ；（2）$\sqrt { ( a - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + \sqrt { ( a + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 4$ ；（3）$\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ 的取值范围
是 $( - \infty , - 1 ] \cup [ 1 , + \infty )$ ；（4）$\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } }$ 的最小值为 2 ；其中正确结论的个数是（ ）
- A. A. 1
- B. B. 2
- C. C. 3
- D. D. 4
Answer: C
Solution: 由 ${ } ^ { Z \cdot \bar { z } } = 4 \Rightarrow ( a + 2 b \mathrm { i } ) ( a - 2 b \mathrm { i } ) = a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } = \left. z \right| ^ { 2 } = 4 \Rightarrow \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } = 1$ ，则点 $( a , b ) _ { \text {的轨迹 } }$
是以 $( - \sqrt { 3 } , 0 ) , ( \sqrt { 3 } , 0 )$ 为焦点，$a ^ { \prime } = 2$ 为长半轴长，$b ^ { \prime } = 1$ 为短半轴长，$c ^ { \prime } = \sqrt { 3 }$ 为半焦距的椭圆．
由椭圆定义可知，（2）正确；
$a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 表示椭圆上的点到原点的距离的平方，易知椭圆短轴上的端点到原点的距离最小，长轴上的端点到原点的距离最大，分别为 1 和 2 ，故 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 的取值范围是 ${ } ^ { [ 1,4 ] }$ ，（1）正确； $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ 表示椭圆上的点 $( a , b )$ 与点 $( 0 , \sqrt { 5 } )$ 连线的斜率，设直线 $l : b = k a + \sqrt { 5 }$ 与椭圆相切，联立直线与椭圆方程并化简得： $\left( \frac { 1 } { 4 } + k ^ { 2 } \right) a ^ { 2 } + 2 \sqrt { 5 } k a + 4 = 0$ ，
$\Delta = 20 k ^ { 2 } - 4 \left( 1 + 4 k ^ { 2 } \right) = 0 \Rightarrow k = \pm 1$ ，根据点与椭圆的位置关系可知，$\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ 的取值范围是 $( - \infty , - 1 ] \cup [ 1 , + \infty )$ ，（3）正确 ；
根据题意,$\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = \frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 4 } \geq 2 \sqrt { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \times \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } } + \frac { 5 } { 4 } = \frac { 9 } { 4 }$ ，当且仅当 $\frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } \Rightarrow a ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 }$ 时取＂$=$＂，（4）错误．