值域zhíyù

核心概念

函数 $f$ 的值域是函数所有可能输出值（y值）的集合。

数学定义

$\text{值域}(f) = \{y \mid y = f(x) \text{ 对某个 } x \in \text{定义域}(f)\}$

值域也称为函数的像。

定义域与值域

概念	符号	描述
定义域	$D_f$	所有有效输入值（x）的集合
值域	$R_f$	所有输出值（y）的集合

关键关系：值域既取决于函数的对应法则，也取决于定义域。

求值域的方法

方法一：观察法

对于简单函数，直接分析其行为。

例：$f(x) = x^2$，$x \in \mathbb{R}$

由于对所有实数 $x$，$x^2 \geq 0$，且 $x^2$ 可以任意大：

值域：$[0, +\infty)$

方法二：反函数法

1. 设 $y = f(x)$
2. 将 $x$ 用 $y$ 表示
3. 找出使 $x$ 有定义的 $y$ 的取值范围

例：$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$，$x \neq 1$

设 $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

解出 $x$： $y(x - 1) = 2x + 1$ $xy - y = 2x + 1$ $xy - 2x = y + 1$ $x(y - 2) = y + 1$ $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$

为使 $x$ 存在，需 $y \neq 2$。

值域：$\{y \mid y \neq 2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

方法三：单调性法

利用函数的单调性从定义域求值域。

例：$f(x) = 2^x$，$x \in [-1, 2]$

由于 $f(x) = 2^x$ 严格递增：

• 最小值：$f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
• 最大值：$f(2) = 2^2 = 4$

值域：$[\dfrac{1}{2}, 4]$

方法四：配方法

对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$。

例：$f(x) = x^2 - 4x + 5$，$x \in \mathbb{R}$

配方： $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

由于 $(x - 2)^2 \geq 0$，最小值为 1（在 $x = 2$ 处）。

值域：$[1, +\infty)$

方法五：换元法

例：$f(x) = x + \sqrt{x - 1}$，$x \geq 1$

设 $t = \sqrt{x - 1}$，其中 $t \geq 0$

则 $x = t^2 + 1$，所以： $f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1 = (t + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

由于 $t \geq 0$，最小值在 $t = 0$ 处： $f_{\min} = 0 + 0 + 1 = 1$

值域：$[1, +\infty)$

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

求 $f(x) = 3x - 2$（$x \in [0, 4]$）的值域。

解法： 一次函数严格递增。

• 当 $x = 0$：$f(0) = -2$
• 当 $x = 4$：$f(4) = 10$

答案：$[-2, 10]$

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

求 $f(x) = x^2 - 2x + 3$（$x \in [-1, 2]$）的值域。

解法：

配方： $f(x) = (x - 1)^2 + 2$

顶点在 $x = 1$（在定义域内），最小值 = 2

检验端点：

• $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$
• $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$

答案：$[2, 6]$

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

求 $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$（$x \in \mathbb{R}$）的值域。

解法：

设 $y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$

交叉相乘：$y(x^2 + 2) = x^2 + 1$

$yx^2 + 2y = x^2 + 1$

$x^2(y - 1) = 1 - 2y$

$x^2 = \dfrac{1 - 2y}{y - 1}$

为使 $x$ 为实数，需 $x^2 \geq 0$： $\dfrac{1 - 2y}{y - 1} \geq 0$

要求 $(1 - 2y)$ 和 $(y - 1)$ 同号。

• 情形1：均为正：$y < \dfrac{1}{2}$ 且 $y > 1$ → 不可能
• 情形2：均为负：$y > \dfrac{1}{2}$ 且 $y < 1$ → $\dfrac{1}{2} < y < 1$

另外，当 $x^2 \to +\infty$ 时，$y \to 1$（但不等于 1）。 当 $x = 0$ 时：$y = \dfrac{1}{2}$（可取到）。

答案：$[\dfrac{1}{2}, 1)$

常见错误

❌ 错误1：忽略定义域限制

错误：$f(x) = \sqrt{x}$ 的值域是 $\mathbb{R}$ ✗

正确：$f(x) = \sqrt{x}$ 的值域是 $[0, +\infty)$ ✓

❌ 错误2：有界定义域用错方法

错误：对于 $f(x) = x^2$，$x \in [1, 3]$，值域是 $[0, 9]$ ✗

正确：值域是 $[1, 9]$（最小值在 $x = 1$，不是 $x = 0$）✓

❌ 错误3：忘记检验端点

务必验证定义域边界处的函数值。

学习要点

1. ✅ 先判断函数类型：一次、二次、分式等
2. ✅ 检查定义域是否有界：有界则用单调性
3. ✅ 二次函数找顶点：顶点是否在定义域内？
4. ✅ 分式函数用反函数法：把 $x$ 用 $y$ 表示

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💡 考试要点：对于有界定义域，务必检查顶点（二次函数）和端点两处的值！