单调性dāndiàoxìng

核心概念

单调性描述函数在某区间上是一直增大还是一直减小。如果一个函数在某区间上始终递增或始终递减，则称该函数在该区间上是单调的。

定义

递增函数

函数 $f$ 在区间 $I$ 上递增，若： $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

等价表述：输入越大 → 输出越大。

递减函数

函数 $f$ 在区间 $I$ 上递减，若： $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

等价表述：输入越大 → 输出越小。

非严格单调

• 非减函数：$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
• 非增函数：$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

判断单调性的方法

方法一：定义法

1. 在区间内任取 $x_1, x_2$，设 $x_1 < x_2$
2. 计算 $f(x_1) - f(x_2)$
3. 判断差的符号：
   • 若恒为负 → 递增
   • 若恒为正 → 递减

例：证明 $f(x) = x^2$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增。

对于 $0 < x_1 < x_2$： $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

因为 $x_1 < x_2$：$(x_1 - x_2) < 0$ 因为 $x_1, x_2 > 0$：$(x_1 + x_2) > 0$

所以：$f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$。

结论：$f(x) = x^2$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增。

方法二：导数法

对于可导函数：

• $f'(x) > 0$ 在区间 $I$ 上 → $f$ 在 $I$ 上递增
• $f'(x) < 0$ 在区间 $I$ 上 → $f$ 在 $I$ 上递减

例：求 $f(x) = x^3 - 3x$ 的单调区间。

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

• $f'(x) > 0$：当 $x < -1$ 或 $x > 1$
• $f'(x) < 0$：当 $-1 < x < 1$

单调区间：

• 递增区间：$(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$
• 递减区间：$(-1, 1)$

常见函数的单调性

函数	递增区间	递减区间
$y = kx + b$ ($k > 0$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = kx + b$ ($k < 0$)	—	$(-\infty, +\infty)$
$y = x^2$	$[0, +\infty)$	$(-\infty, 0]$
$y = \dfrac{1}{x}$	—	$(-\infty, 0)$, $(0, +\infty)$
$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($a > 1$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($0 < a < 1$)	—	$(-\infty, +\infty)$

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

求 $f(x) = -x^2 + 4x$ 的单调区间。

解法：

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

这是开口向下的抛物线，顶点在 $x = 2$。

• 递增区间：$(-\infty, 2]$
• 递减区间：$[2, +\infty)$

答案：在 $(-\infty, 2]$ 上递增，在 $[2, +\infty)$ 上递减

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

证明 $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ 在 $(-1, +\infty)$ 上递增。

解法：

设 $-1 < x_1 < x_2$。

$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1+1} - \dfrac{x_2}{x_2+1}$

$= \dfrac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

因为 $x_1 < x_2$：分子 $< 0$ 因为 $x_1, x_2 > -1$：$(x_1+1)(x_2+1) > 0$

所以：$f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$。

结论：$f(x)$ 在 $(-1, +\infty)$ 上递增。

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ 在 $[1, +\infty)$ 上递增，求 $a$ 的取值范围。

解法：

$f(x) = (x - a)^2 + 1 - a^2$

顶点在 $x = a$。

要使 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上递增，顶点必须在 $x = 1$ 处或其左侧。

因此：$a \leq 1$

答案：$a \leq 1$，即 $(-\infty, 1]$

单调函数的性质

1. 复合法则

$f$	$g$	$f \circ g$
递增	递增	递增
递增	递减	递减
递减	递增	递减
递减	递减	递增

记忆口诀："同增异减"

2. 反函数

若 $f$ 严格单调，则 $f^{-1}$ 存在且与 $f$ 具有相同的单调性。

常见错误

❌ 错误1：混淆单调区间与定义域

错误：$y = \dfrac{1}{x}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上递减 ✗

正确：$y = \dfrac{1}{x}$ 分别在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上递减 ✓

❌ 错误2：合并不连通的区间

错误：$y = \dfrac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ 上递减 ✗

正确：分别表述：在 $(-\infty, 0)$ 上递减，在 $(0, +\infty)$ 上递减 ✓

❌ 错误3：证明时忽略边界条件

证明单调性时，确保 $x_1 < x_2$ 都在指定区间内。

学习要点

1. ✅ 掌握定义：$x_1 < x_2$ 意味着 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 如何比较？
2. ✅ 熟记常见函数：背诵标准函数的单调性
3. ✅ 适时使用导数：复杂函数用导数更快
4. ✅ 不要合并不连通的区间：分开列出每个区间

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💡 考试要点：对于二次函数，务必先求顶点。单调性在顶点处改变！