定义域dìngyì yù

核心概念

函数的定义域是指自变量可能取的所有值的集合。简而言之，就是"函数能够接受的输入值范围"。

数学定义

对于函数$y = f(x)$

，其定义域是函数被定义的所有$x$

值的集合，记作$D_f$

或$\text{dom}(f)$

：

$D_f = \{x \mid f(x) \text{ is defined}\}$

求定义域原则

1. 有理函数：分母 ≠ 0

$f(x) = \frac{1}{x-2}$

定义域：$x - 2 \neq 0$

，故$x \neq 2$

$D_f = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

2. 偶次根式：被开方式 ≥ 0

$f(x) = \sqrt{x - 1}$

定义域：$x - 1 \geq 0$

，故$x \geq 1$

$D_f = [1, +\infty)$

3. 对数函数：自变量 > 0

$f(x) = \log_2(x + 3)$

定义域：$x + 3 > 0$

，故$x > -3$

$D_f = (-3, +\infty)$

4. 零次幂：底数 ≠ 0

$f(x) = (x-1)^0$

定义域：$x - 1 \neq 0$

，故 $x \neq 1$

5. 实际应用题：有效值要求

面积、长度、时间必须为正值。

CSCA 练习题

> 💡 注意：以下练习题依据 CSCA 考试大纲及中国标准化考试形式设计，旨在帮助学生熟悉题型与解题思路。

例题 1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

求函数$f(x) = \sqrt{x+2}$

的定义域。

选项：

• A. $x > -2$

• B. $x \geq -2$

• C. $x > 0$

• D.$x \geq 0$

解法：

求偶数根需满足被开方数≥0：

** $x + 2 \geq 0$ $x \geq -2$

答案：B**

---

例题2：中级（难度★★★☆☆）

求函数$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$

的定义域。

解法：

需满足： 1.$4 - x^2 > 0$

（分母≠0且被开方式>0） 2. 解方程：$x^2 < 4$

，故

**$-2 < x < 2$

答案**：

---$(-2, 2)$

例题3：进阶（难度 ★★★★☆）

求函数的$f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\log_2(3-x)}$

定义域。

解法：

需满足： 1.$x - 1 \geq 0$

→ $x \geq 1$

2.$3 - x > 0$

→ $x < 3$

3.$\log_2(3-x) \neq 0$

→

$x \neq 2$

综合条件：

$x \in [1, 2) \cup (2, 3)$

常见错误

❌ 错误1：

**$\sqrt{x^2} = x$

修正**：$\sqrt{x^2} = |x|$

应为 ，而非$x$

！

❌ 错误2：忽略分母≠0

当$f(x) = \frac{x}{x-1}$

时，必须确保$x \neq 1$

。

❌ 错误3：对数自变量>0而非≥0

当$f(x) = \ln(x)$

时，定义域为$x > 0$

，而非$x \geq 0$

！

学习要点

1. ✅ 系统性检查：有理式、根式、对数式条件
2. ✅ 求交集：多重条件 → 取交集
3. ✅ 区间表示：使用规范区间符号
4. ✅ 实际意义：应用题中需考虑实际限制条件

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💡 考试技巧：定义域是函数题的核心。几乎所有函数题都涉及此概念。务必掌握所有类型！