定义域dìngyì yù

核心理念

函数的域是自变量所有可能取值的集合。简单地说，就是 "函数可以接受的输入"。

数学定义

对于函数 $y = f(x)$ 来说，域是函数所定义的所有 $x$ 值的集合，用 $D_f$ 或 $\text{dom}(f)$ 表示：

$D_f = \{x \mid f(x) \text{ is defined}\}$

求域的原则

1.有理函数：分母≠0

$f(x) = \frac{1}{x-2}$

域：$x - 2 \neq 0$, 所以 $x \neq 2$

$D_f = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

2.偶数根：半径 ≥ 0

$f(x) = \sqrt{x - 1}$

域：$x - 1 \geq 0$, 所以 $x \geq 1$

$D_f = [1, +\infty)$

3.对数：参数 > 0

$f(x) = \log_2(x + 3)$

域：$x + 3 > 0$, 所以 $x > -3$

$D_f = (-3, +\infty)$

4.零指数：基数≠0

$f(x) = (x-1)^0$

域：$x - 1 \neq 0$, 所以 $x \neq 1$

5.现实世界的问题：有意义的值

面积、长度、时间必须是正值。

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试的形式设计的，目的是帮助学生熟悉题型和解题方法。

例题 1：基础题（难度★★☆☆☆)

求 $f(x) = \sqrt{x+2}$ 的域。

选项：

• a. $x > -2$
• b. $x \geq -2$
• D. $x \geq 0$

解：

偶数根要求半径≥ 0： $x + 2 \geq 0$ $x \geq -2$

答案：B

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示例 2：中级（难度★★★☆☆)

求 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ 的域。

解：

必须满足 1.$4 - x^2 > 0$（分母≠0且半径大于0） 2.解$x^2 < 4$，所以 $-2 < x < 2$

答案：$(-2, 2)$_

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例 3：高级（难度 ★★★★☆)

求 $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\log_2(3-x)}$ 的域。

解：

必须满足 1.$x - 1 \geq 0$ → $x \geq 1$ 2.$3 - x > 0$ → $x < 3$ 3.$\log_2(3-x) \neq 0$ → $x \neq 2$

合并：$x \in [1, 2) \cup (2, 3)$

常见错误

❌ 错误 1: $\sqrt{x^2} = x$

更正：是$\sqrt{x^2} = |x|$，而不是$x$！

❌ 错误 2：忘记分母≠0

对于 $f(x) = \frac{x}{x-1}$ 必须确保 $x \neq 1$.

❌ 错误 3：对数参数 > 0，而不是 ≥ 0

对于 $f(x) = \ln(x)$, 域是 $x > 0$, 而不是 $x \geq 0$！

学习提示

1.✅ 系统检查：有理数、根式、对数条件 2.✅ 查找交集：多个条件 → 取交点 3.✅ 区间符号：使用正确的区间符号 4.✅ 实际意义：考虑文字问题中的实际限制

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💡 考试提示：域是函数问题的基础。几乎每道函数题都涉及域。掌握所有类型！