集合jíhé

核心理念

集合*是数学中最基本的概念之一，指的是具有某些属性的不同对象的集合。集合中的每个对象称为元素**。

基本概念

• 元素*：集合中的每个对象
• 成员：元素 $a$ 在集合 $A$ 中，写为 $a \in A$
• 非成员：元素 $a$ 不在集合 $A$ 中，写为 $a \notin A$

集合符号

1.名册法： $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

2.集合生成器符号： $B = \{x \mid x \text{ is a positive integer less than 10}\}$

3.维恩图：用圆直观表示

特殊集合

• ** 空集**：不含任何元素，表示$\emptyset$或$\{\}$。
• 自然数：表示$\emptyset$或$\{\}$。
• ** 整数**：$\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$_
• 有理数：$\mathbb{Q}$。
• Real numbers：_$\mathbb{R}$

集合关系

子集

如果$A$中的每个元素也在$B$中，那么$A$是$B$的子集，写作$A \subseteq B$。

正确子集：$A \subseteq B$和$A \neq B$，写作$A \subset B$。

###等式

当且仅当 $A \subseteq B$ 和 $B \subseteq A$ 时，$A = B$。

集合运算

1.联合

$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ or } x \in B\}$

2.相交

$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \in B\}$

3.互补

在普遍集 $U$ 中： $\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ and } x \notin A\}$_

4.差分

$A - B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \notin B\}$

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试的形式设计的，以帮助学生熟悉题型和解题方法。

###例题 1：基础题（难度 ★☆☆☆☆）

已知$A = \{1, 2, 3\}$和$B = \{2, 3, 4\}$，求$A \cup B$。

解：

联盟包含$A$中的所有元素 或$B$： $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$

答案**：$\{1, 2, 3, 4\}$_

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例 2：中级 (难度 ★★★☆)

已知普遍集$U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$和$A = \{1, 3, 5\}$，求$\complement_U A$。

解：

补码包含$U$中的元素，但不包含$A$中的元素： _$\complement_U A = \{2, 4\}$

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例 3: 高级 (难度 ★★★★☆)

已知$A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$和$B = \{x \mid x < 3\}$，求$A \cap B$。

解：

解$x^2 - 3x + 2 = 0$： $x = 1 \text{ or } x = 2$。

于是$A = \{1, 2\}$

$A \cap B = \{1, 2\} \cap (-\infty, 3) = \{1, 2\}$

常见错误

❌ 错误 1: $\{0\} = \emptyset$

更正：$\{0\}$包含一个元素 (零)，而不是空元素！空集是 $\emptyset$ 或 $\{\}$.

❌ 错误 2：集合有顺序

更正：集合是无序的，$\{1, 2, 3\} = \{3, 2, 1\}$。

❌ 错误 3：集合可以有重复的数

更正：集合元素是不同的，$\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$。

学习提示

1.✅ 理解概念：集合是不同对象的无序集合 2.✅ 掌握符号：名册和集合生成器符号 3.✅ 实践操作：并集、交集、补集是基本运算 4.✅ 使用图表：维恩图有助于直观显示各种关系

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💡 考试提示：集合是高中数学的基础。CSCA 中的集合问题相对简单，但概念必须牢固！