并集bìngjí

核心概念

两个集合 A 和 B 的并集，记作 A ∪ B，是由所有属于 A 或属于 B 或同时属于两者的元素组成的集合。

数学定义

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ 或 } x \in B\}$

一个元素属于并集，只要它至少属于其中一个集合。

图形表示

在韦恩图中，并集是两个圆覆盖的整个区域。

    A         B
  (###[###]###)

整个阴影区域表示 A ∪ B。

基本性质

1. 交换律

$A \cup B = B \cup A$

2. 结合律

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. 同一律

$A \cup \emptyset = A$

4. 幂等律

$A \cup A = A$

5. 与全集的并集

$A \cup U = U$（其中 U 是全集）

6. 分配律

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

7. 德摩根定律

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

例题详解

例1：有限集合

已知：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}

求：A ∪ B

解：两个集合的所有元素（不重复）

答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

例2：区间的并集

已知：A = [1, 4]，B = [3, 7]

求：A ∪ B

解：合并覆盖范围为 [1, 7]

答案：A ∪ B = [1, 7]

例3：不相交区间

已知：A = [1, 2]，B = [4, 5]

求：A ∪ B

解：无重叠，并集为两个区间

答案：A ∪ B = [1, 2] ∪ [4, 5]（不能简化）

例4：描述法表示

已知：A = {x | x ≤ 3}，B = {x | x ≥ 1}

求：A ∪ B

解：≤ 3 或 ≥ 1 的元素覆盖所有实数

答案：A ∪ B = ℝ（全体实数）

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★☆☆☆☆）

若 A = {1, 3, 5}，B = {2, 3, 4}，求 A ∪ B。

选项：

• A. {3}
• B. {1, 2, 3, 4, 5}
• C. {1, 5}
• D. {2, 4}

解法： 合并所有元素：1, 2, 3, 4, 5

答案：B

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

已知 A = {x | -1 ≤ x < 3}，B = {x | 2 < x ≤ 5}，求 A ∪ B。

解法：

A = [-1, 3)，B = (2, 5]

由于 2 < 3，区间重叠： $A \cup B = [-1, 3) \cup (2, 5] = [-1, 5]$

答案：[-1, 5]

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若 A ∪ B = A，则集合 A 与 B 有什么关系？

解法：

若 A ∪ B = A，则 B 的所有元素都必须在 A 中。

这意味着 B ⊆ A（B 是 A 的子集）。

答案：B ⊆ A

与交集的关系

计数公式

对于有限集合： $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

例：若 |A| = 10，|B| = 8，|A ∩ B| = 3，则： $|A \cup B| = 10 + 8 - 3 = 15$

德摩根定律

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

常见错误

❌ 错误1：元素重复计数

错误：若 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则 |A ∪ B| = 6 ✗

正确：|A ∪ B| = 3 + 3 - 2 = 4 ✓

❌ 错误2：混淆并集与交集

错误：A ∪ B 只包含公共元素 ✗

正确：A ∪ B 包含两个集合的所有元素 ✓

❌ 错误3：简化不相交区间

错误：[1, 2] ∪ [4, 5] = [1, 5] ✗

正确：[1, 2] ∪ [4, 5] 不能简化（(2, 4) 处有间隙）✓

学习要点

1. ✅ "或"的思维：并集意味着"或"——元素满足任一条件即可
2. ✅ 使用计数公式：对于有限集合，记住要减去交集
3. ✅ 检查间隙：区间并集若有间隙则不能简化
4. ✅ 掌握德摩根定律：解补集问题的关键

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💡 考试要点：并集问题常与计数结合。对于有限集合，务必使用 |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|！