补集bǔjí

核心概念

集合 A 的补集，记作 $\complement_U A$ 或 $\overline{A}$ 或 $A^c$，是由全集 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合。

数学定义

$\complement_U A = \{x | x \in U \text{ 且 } x \notin A\}$

补集恰好包含那些属于全集但不属于 A 的元素。

符号变体

• $\complement_U A$ - 强调全集的标准记法
• $\overline{A}$ - 上划线记法
• $A^c$ 或 $A'$ - 上标记法
• $U - A$ - 差集记法

图形表示

在韦恩图中，补集是集合 A 之外、全集之内的区域。

  U: [#############]
     [####]  A  [  ]

阴影区域 [####] 表示 $\complement_U A$。

基本性质

1. 补集的补集

$\complement_U(\complement_U A) = A$

2. 全集的补集

$\complement_U U = \emptyset$

3. 空集的补集

$\complement_U \emptyset = U$

4. 与补集的并集

$A \cup \complement_U A = U$

5. 与补集的交集

$A \cap \complement_U A = \emptyset$

6. 德摩根定律

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$ $\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

例题详解

例1：有限集合

已知：U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A = {2, 4, 6}

求：$\complement_U A$

解：U 中不属于 A 的元素：1, 3, 5

答案：$\complement_U A$ = {1, 3, 5}

例2：实数集合

已知：U = ℝ，A = {x | x ≥ 2}

求：$\complement_U A$

解：不满足 ≥ 2 的实数，即 < 2

答案：$\complement_U A$ = {x | x < 2} = (-∞, 2)

例3：区间的补集

已知：U = ℝ，A = (-1, 3]

求：$\complement_U A$

解：(-1, 3] 之外的所有实数

答案：$\complement_U A$ = (-∞, -1] ∪ (3, +∞)

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

若 U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 3, 5}，求 $\complement_U A$。

选项：

• A. {1, 3, 5}
• B. {2, 4}
• C. {1, 2, 3, 4, 5}
• D. ∅

解法： U 中不属于 A 的元素：2, 4

答案：B

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

已知 U = ℝ，A = {x | x² - 4 ≤ 0}，求 $\complement_U A$。

解法：

首先解不等式： $x² - 4 ≤ 0$ $(x-2)(x+2) ≤ 0$ $A = [-2, 2]$

补集是该区间之外的所有实数： $\complement_U A = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

答案：$(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若 U = ℝ，A = {x | x > 1}，B = {x | x > 2}，求 $\complement_U A \cup B$。

解法：

$\complement_U A$ = {x | x ≤ 1} = (-∞, 1] B = {x | x > 2} = (2, +∞)

$\complement_U A \cup B = (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

答案：$(-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

德摩根定律详解

定律1：并集的补集

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$

例：若 A = {1, 2}，B = {2, 3}，U = {1, 2, 3, 4}

• A ∪ B = {1, 2, 3}
• $\complement_U(A \cup B)$ = {4}
• $\complement_U A$ = {3, 4}，$\complement_U B$ = {1, 4}
• $\complement_U A \cap \complement_U B$ = {4} ✓

定律2：交集的补集

$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

常见错误

❌ 错误1：忽略全集

错误：$\complement A$ = {所有不属于 A 的元素} ✗

正确：$\complement_U A$ = {U 中不属于 A 的元素} ✓

❌ 错误2：区间端点错误

错误：若 A = [1, 3]，则 $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1] ∪ [3, +∞) ✗

正确：$\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1) ∪ (3, +∞) ✓

❌ 错误3：德摩根定律符号错误

错误：$\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cup \complement B$ ✗

正确：$\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cap \complement B$ ✓

学习要点

1. ✅ 首先确定全集：全集决定了补集
2. ✅ 区间端点翻转：取补集时开↔闭
3. ✅ 掌握德摩根定律："打破横线，改变符号"
4. ✅ 双重补集还原：$\complement(\complement A) = A$

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💡 考试要点：对区间取补集时，记住：闭端点变开，开端点变闭！