区间（interval notation）- CSCA 数学术语

核心概念

区间是两个端点之间的实数集合。区间记号提供了一种简洁的方式来表示实数的连续子集。

四种有界区间

类型	记号	集合表示	描述
闭区间	$[a, b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	包含两个端点
开区间	$(a, b)$	$\{x \mid a < x < b\}$	不包含两个端点
左开右闭	$(a, b]$	$\{x \mid a < x \leq b\}$	不含左端点，含右端点
左闭右开	$[a, b)$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	含左端点，不含右端点

无界区间

记号	集合表示	描述
$[a, +\infty)$	$\{x \mid x \geq a\}$	所有 ≥ a 的数
$(a, +\infty)$	$\{x \mid x > a\}$	所有 > a 的数
$(-\infty, b]$	$\{x \mid x \leq b\}$	所有 ≤ b 的数
$(-\infty, b)$	$\{x \mid x < b\}$	所有 < b 的数
$(-\infty, +\infty)$	$\mathbb{R}$	全体实数

重要：无穷符号始终使用圆括号（不用方括号），因为 ±∞ 不是实数。

括号规则

方括号 [ ]：端点包含在内（≤ 或 ≥）
圆括号 ( )：端点不包含（< 或 >）
无穷：始终使用圆括号

区间运算

区间的交集

$[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$

取重叠区域：

左端点：max(1, 3) = 3
右端点：min(5, 8) = 5

区间的并集

$[1, 4] \cup [3, 7] = [1, 7]$

若区间重叠，则合并。

$[1, 2] \cup [4, 5]$ 不能简化（不相交区间）

区间的补集

若 $A = [2, 5]$ 且 $U = \mathbb{R}$ ： $\complement_{\mathbb{R}} A = (-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$

注意：闭端点 → 开，开端点 → 闭。

例题详解

例1：不等式转区间

已知： $-3 < x \leq 7$

答案： $(-3, 7]$

例2：区间转不等式

已知： $[-2, 4)$

答案： $-2 \leq x < 4$

例3：区间交集

已知： $A = [-1, 4]$ ， $B = (2, 6)$

求： $A \cap B$

解：

左端点：max(-1, 2) = 2，括号：( （开，来自 B）
右端点：min(4, 6) = 4，括号：] （闭，来自 A）

答案： $(2, 4]$

例4：区间并集

已知： $A = (-\infty, 3)$ ， $B = [1, +\infty)$

求： $A \cup B$

解：由于 1 < 3，区间重叠，覆盖所有实数。

答案： $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★☆☆☆☆）

将不等式 $2 \leq x < 6$ 用区间记号表示。

选项：

A. $(2, 6]$
B. $[2, 6)$
C. $(2, 6)$
D. $[2, 6]$

解法：

$x \geq 2$ ：用 [
$x < 6$ ：用 )

答案：B

例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

求 $[-3, 2] \cap (0, 5]$ 。

解法：

左端点：max(-3, 0) = 0，括号：( （来自 B，开）
右端点：min(2, 5) = 2，括号：] （来自 A，闭）

答案： $(0, 2]$

例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若 $A = \{x \mid x^2 - 5x + 4 \leq 0\}$ ，用区间记号表示 A。

解法：

因式分解： $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \leq 0$

抛物线开口向上，不等式在两根之间成立： $1 \leq x \leq 4$

答案： $[1, 4]$

区间的长度

对于有界区间 $[a, b]$ ： $\text{长度} = b - a$

例： $[-2, 5]$ 的长度是 $5 - (-2) = 7$

常见错误

❌ 错误1：无穷使用方括号

错误： $[2, +\infty]$ ✗

正确： $[2, +\infty)$ ✓

❌ 错误2：交集端点错误

错误： $[1, 5] \cap [3, 8] = [1, 8]$ ✗

正确： $[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$ ✓

❌ 错误3：补集括号类型未变

错误： $[a, b]$ 的补集是 $(-\infty, a] \cup [b, +\infty)$ ✗

正确： $[a, b]$ 的补集是 $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$ ✓

❌ 错误4：误判空交集

只有当两个区间完全不重叠时，交集才为空。

$[1, 3] \cap [3, 5] = \{3\}$ （单点集，非空！）

学习要点

✅ 记住括号含义：[ ] 包含，( ) 不包含
✅ ∞ 永远用 ( )：无穷不用方括号
✅ 交集 = 重叠：取公共区域
✅ 补集翻转括号：[ ↔ ) 且 ] ↔ (

💡 考试要点：解二次不等式时，务必画出抛物线图来正确确定解的区间！

区间qūjiān