不等式bùděngshì

核心理念

不等式**是使用不等号（>、<、≥、≤）来表达两个数或表达式之间关系的数学语句。

基本不等式符号

• $a > b$：$a$大于 $b$。
• $a < b$：$a$ 小于 $b$
• $a \geq b$：$a$ 大于或等于 $b$
• $a \leq b$：$a$小于或等于$b$。
• $a \neq b$：$a$ 不等于 $b$

不等式的性质

1.转折性

$a > b, b > c \Rightarrow a > c$

2.加法性质

$a > b \Rightarrow a + c > b + c$

3.乘法性质

• 当$c > 0$：$a > b \Rightarrow ac > bc$时
• 当$c < 0$时：$a > b \Rightarrow ac < bc$ （不等式反转！） $a > b \Rightarrow ac < bc$

常见的不等式类型

线性不等式

$2x + 3 > 7 \Rightarrow x > 2$

二次不等式

$x^2 - 5x + 6 < 0 \Rightarrow 2 < x < 3$

有理不等式

$\frac{x-1}{x+2} > 0 \Rightarrow x < -2 \text{ or } x > 1$

绝对值不等式

数学公式 5

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试的形式设计的，以帮助学生熟悉题型和解题方法。

例题 1：基础题（难度★★☆☆☆)

求解不等式：$3x - 5 < 7$

解： $3x < 12$_ $x < 4$

答案**：$x < 4$或 $(-\infty, 4)$_。

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###例 2：中级（难度★★★☆☆)

解不等式：$x^2 - 3x - 4 \leq 0$

解：

第 1 步：因式 $x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$_

第 2步找出临界点 $x = -1$ 或 $x = 4$

第 3 步**：数线法

• 当$x < -1$：当$x < -1$:$(x-4)(x+1) > 0$时
• 当 $-1 \leq x \leq 4$：$(x-4)(x+1) \leq 0$ ✓
• 当 $x > 4$：当 $x > 4$: $(x-4)(x+1) > 0$ 时

答案：$-1 \leq x \leq 4$或 $[-1, 4]$_。

常见错误

❌ 错误 1：乘负数时忘记倒转

错误：$-2x > 4$，两边除以$-2$，得到$x > -2$ ✗

正确：$-2x > 4$，两边除以$-2$得到$x < -2$ ✓

❌ 错误 2：绝对值不等式错误

错误：$|x| > 2$ 有解 $-2 < x < 2$ ✗

正确：$|x| > 2$有解法$x < -2$或$x > 2$ ✓

学习提示

1.✅ 掌握性质，特别是乘除负数时的逆运算 2.✅ 使用数线法计算二次不等式 3.✅ 将有理不等式转换为多项式形式 4.✅ 对绝对值不等式使用案例分析法

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💡 考试提示：不等式是 CSCA 的基本内容，约占代数问题的 25%。掌握所有类型！