导数与微积分

Question 1

Question 1: 1 ．函数 $y = \sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }$ 的导数是

1 ．函数 $y = \sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }$ 的导数是

A. A. $\frac { 1 } { 5 } x ^ { 3 }$
B. B. $\frac { 2 } { 5 } x ^ { 3 }$
C. C. $\frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$
D. D. $- \frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$

Answer

Answer: C

Solution: 试题分析：由求导公式 $y ^ { \prime } = \frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$ 故选C．考点：指数幂的求导公式．

Question 2

Question 2: 2．若 $f ( x ) = \cos x$ ，则 $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right)$ 的值为（）

2．若 $f ( x ) = \cos x$ ，则 $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right)$ 的值为（）

A. A. 0
B. B. 1
C. C. - 1
D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: C

Solution: 因为 $f ( x ) = \cos x$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) = - \sin x$ ，所以 $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) = - 1$

Question 3

Question 3: 5．已知函数 $f ( x ) = \frac { 2 } { x } - a x$ 的图象在点 $( - 1 , f ( - 1 ) )$ 处的切线斜率是 ${ } _ { 1 }$ ，则此切线方程...

5．已知函数 $f ( x ) = \frac { 2 } { x } - a x$ 的图象在点 $( - 1 , f ( - 1 ) )$ 处的切线斜率是 ${ } _ { 1 }$ ，则此切线方程是

A. A. $x - y - 4 = 0$
B. B. $x - y - 6 = 0$
C. C. $x + y - 4 = 0$
D. D. $x + y - 5 = 0$

Answer

Answer: A

Solution: $f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - a , f ^ { \prime } ( 1 ) = - 2 - a = 1 , a = - 3$ ，所以 $f ( x ) = \frac { 2 } { x } + 3 x , f ( - 1 ) = - 2 - 3 = - 5$ ，所以切线方程为 $y + 5 = x + 1 , x - y - 4 = 0$ ．

Question 4

Question 4: 6 ．若函数 $f ( x ) = \sin x$ ，则 $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \left( \frac { \...

6 ．若函数 $f ( x ) = \sin x$ ，则 $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = ( )$

A. A. $- \sqrt { 2 }$
B. B. $\sqrt { 2 }$
C. C. 1
D. D. 0

Answer

Answer: B

Solution: 根据题意，$f ^ { \prime } ( x ) = \cos x$ ，则 $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = \sin \frac { \pi } { 4 } + \cos \frac { \pi } { 4 } = \sqrt { 2 }$故选：B．

Question 5

Question 5: 7．＂$a \leq 0$＂是＂函数 $f ( x ) = a x + \ln x$ 存在极值＂的不充分也不必要条件

7．＂$a \leq 0$＂是＂函数 $f ( x ) = a x + \ln x$ 存在极值＂的不充分也不必要条件

A. A. 充分不必要条件
B. B. 必要不充分条件
C. C. 充要条件
D. D. 既

Answer

Answer: B

Solution: 依题意，函数 $f ( x )$ 有极值，即其导函数有正有负．$f ^ { \prime } ( x ) = a + \frac { 1 } { x } ( x > 0 )$ ，要导函数有正有负，则需 $a < 0$ ，故 $a \leq 0$ 是其必要不充分条件．点睛：本题主要考查了两个知识点，一个是导数与极值的求法，一个是充要条件的判断．极值的定义是左增右减极大值，左减右增极小值，故需要函数的导数有正有负．本题中函数的导函数有 $\frac { 1 } { x } \Rightarrow a + \frac { 1 } { x }$ ，也就是要对 $\frac { 1 } { x }$ 向上，或者向下平移，根据极值的需要，必须向下平移，故 $a < 0$ ．由于 $a \leq 0$ 的范围比较大，大范围是小范围的必要不充分条件．

Question 6

Question 6: 8．下列各式正确的是

8．下列各式正确的是

A. A. $[ \ln ( 2 x + 1 ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 x + 1 }$
B. B. $\left( x \cdot 2 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 2 ^ { x } ( 1 + x \ln 2 )$
C. C. $\left( \frac { \cos x } { x } \right) ^ { \prime } = \frac { x \sin x + \cos x } { x ^ { 2 } }$
D. D. $( \sqrt { x } ) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$

Answer

Answer: B

Solution: A 选项： $[ \ln ( 2 x + 1 ) ] ^ { \prime } = \frac { 2 } { 2 x + 1 }$ ，A 选项错误； B 选项： $\left( x \cdot 2 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 1 \cdot 2 ^ { x } + x \cdot 2 ^ { x } \ln 2 = 2 ^ { x } ( 1 + x \ln 2 )$ ，B 选项正确； C 选项： $\left( \frac { \cos x } { x } \right) ^ { \prime } = \frac { - \sin x \cdot x - \cos x } { x ^ { 2 } } = - \frac { x \sin x + \cos x } { x ^ { 2 } }$ ，C 选项错误； D 选项： $( \sqrt { x } ) ^ { \prime } = \left( x ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$ ，D 选项错误；

Question 7

Question 7: 9．已知函数 $y = f ( x )$ 在 $x = x _ { 0 }$ 处的导数 $f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 1$ ，则 $\lim...

9．已知函数 $y = f ( x )$ 在 $x = x _ { 0 }$ 处的导数 $f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 1$ ，则 $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { \Delta x } =$ $\_\_\_\_$ ．

A. A. - 1
B. B. 1
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. - 2

Answer

Answer: D

Solution: 根据题意，函数 $y = f ( x )$ 在 ${ } ^ { x = x _ { 0 } }$ 处的导数为 $f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 1$ ，而 $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { \Delta x } = 2 \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { 2 \Delta x } = 2 f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 2$ ，

Question 8

Question 8: 10．已知函数 $f ( x )$ 在 $x = 1$ 处的导数为 1 ，则 $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x )...

10．已知函数 $f ( x )$ 在 $x = 1$ 处的导数为 1 ，则 $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { 3 \Delta x } =$

A. A. $- \frac { 1 } { 3 }$
B. B. 3
C. C. $\frac { 1 } { 3 }$
D. D. $- \frac { 3 } { 2 }$

Answer

Answer: C

Solution: $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { 3 \Delta x } = \frac { 1 } { 3 } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } = \frac { 1 } { 3 } f ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { 1 } { 3 }$ ，

Question 9

Question 9: 11．已知 $f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } }$ 的导函数为 $f ^ { \prime } ( x )$ ，则 $f ^ { \prime } ( ...

11．已知 $f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } }$ 的导函数为 $f ^ { \prime } ( x )$ ，则 $f ^ { \prime } ( i ) = ( i$ 为虚数单位 $)$

A. A. $- 1 - 2 i$
B. B. $- 2 - 2 i$
C. C. $- 2 + 2 i$
D. D. $2 - 2 i$

Answer

Answer: D

Solution: $\because f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 2 x ^ { 2 } - 2 x ( 2 x + 1 ) } { x ^ { 4 } } = \frac { - 2 x ^ { 2 } - 2 x } { x ^ { 4 } } \quad \therefore f ^ { \prime } ( i ) = 2 - 2 i$ ，故选 D

Question 10

Question 10: 12． $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x =$

12． $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x =$

A. A. 9
B. B. 12
C. C. 21
D. D. 25

Answer

Answer: C

Solution: $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x = \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + 4 x \right) \right| _ { 0 } ^ { 3 } = \frac { 1 } { 3 } \times 3 ^ { 3 } + 4 \times 3 - \frac { 1 } { 3 } \times 0 ^ { 3 } + 4 \times 0 = 21$

Question 11

Question 11: 13．若函数 $y = f ( x )$ 在 R 上可导，且满足 $x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) > 0$恒成立，常数 ${ } ^ { a }$ ， $b$ $\...

13．若函数 $y = f ( x )$ 在 R 上可导，且满足 $x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) > 0$恒成立，常数 ${ } ^ { a }$ ， $b$ $\_\_\_\_$ $a$ ），则下列不等式一定成立的是

A. A. $\quad a f ( a ) > b f ( b )$
B. B. $a f ( b ) > b f ( a )$
C. C. $a f ( a ) < b f ( b )$
D. D. $a f ( b ) < b f ( a )$

Answer

Answer: A

Solution: 试题分析：令 $g ( x ) = x f ( x ) , \therefore g ^ { \prime } ( x ) = x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) > 0$ 恒成立，$\therefore g ( x )$ 在 $R$ 上单调递增． $\because a > b , \therefore g ( a ) > g ( b )$ 。即 $a f ( a ) > b f ( b )$ 。故 A 正确。考点：用导数研究函数的单调性．

Question 12

Question 12: 14．已知函数 $f ( x )$ 为偶函数，定义域为 R ，当 $x > 0$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ，则不等式 $f \left( x ^ { 2 } - x ...

14．已知函数 $f ( x )$ 为偶函数，定义域为 R ，当 $x > 0$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ，则不等式 $f \left( x ^ { 2 } - x \right) - f ( x ) > 0$ 的解集为

A. A. $( 0,1 )$
B. B. $( 0,2 )$
C. C. $( - 1,1 )$
D. D. $( - 2,2 )$

Answer

Answer: B

Solution: 因为当 $x > 0$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ，故偶函数 ${ } ^ { f ( x ) }$ 在 $^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调递减，故 $f \left( x ^ { 2 } - x \right) - f ( x ) > 0$ 变形为：$f \left( \left| x ^ { 2 } - x \right| \right) > f ( | x | )$ ，所以 $\left| x ^ { 2 } - x \right| < | x |$ ，显然 $x = 0$ 不满足不等式，解得： $| x - 1 | < 1$ ，故 $x \in ( 0,2 )$ ．

Question 13

Question 13: 15．如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度 $h$ 随时间 $t$ 变化的函数为 $h = f ( t )$ ，定义域为 $D$...

15．如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度 $h$ 随时间 $t$ 变化的函数为 $h = f ( t )$ ，定义域为 $D$ ，设 $t _ { 0 } \in D , t _ { 0 } \pm \Delta t \in D , k _ { 1 } , k _ { 2 }$ 分别表示 $^ { f ( t ) }$ 在区间 $^ { \left[ t _ { 0 } - \Delta t , t _ { 0 } \right] , \left[ t _ { 0 } , t _ { 0 } + \Delta t \right] ( \Delta t > 0 ) }$ 上的平均变化率，则 ![](/images/questions/calculus/image-001.jpg) 大小关系

A. A. $k _ { 1 } > k _ { 2 }$
B. B. $k _ { 1 } < k _ { 2 }$
C. C. $k _ { 1 } = k _ { 2 }$
D. D. 无法确定 ${ } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } }$ 的

Answer

Answer: A

Solution: 由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度 $h$ 的变化率小于 0 ，所以 ${ } ^ { f ( t ) }$ 在区间 $\left[ t _ { 0 } - \Delta t , t _ { 0 } \right] , \left[ t _ { 0 } , t _ { 0 } + \Delta t \right] ( \Delta t > 0 )$ 上的平均变化率由大变小，即 $k _ { 1 } > k _ { 2 }$

Question 14

Question 14: 16．过曲线 $y = \frac { 1 } { x }$ 上一点 $P$ 的切线的斜率为 - 4 ，则点 $P$ 的坐标为

16．过曲线 $y = \frac { 1 } { x }$ 上一点 $P$ 的切线的斜率为 - 4 ，则点 $P$ 的坐标为

A. A. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$
B. B. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$ 或 $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$
C. C. $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$
D. D. $\left( \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$

Answer

Answer: B

Solution: $\because$ 曲线 $\mathrm { y } = \frac { 1 } { x } , \therefore \mathrm { y } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ ，设 $\mathrm { P } \left( \mathrm { x } _ { 0 } , \frac { 1 } { x _ { 0 } } \right)$ ， $\because$ 在点 P 处的切线斜率为 $- 4 , \therefore - \frac { 1 } { x _ { 0 } { } ^ { 2 } } = - 4$ ，解得 $x _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 }$ 或 $x _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 }$ ， $\therefore$ 点 P 的坐标是 $\left( \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$ 或 $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$ ．

Question 15

Question 15: 17．函数 $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$ 的单调递减区间为（）

17．函数 $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$ 的单调递减区间为（）

A. A. $( - 1,1 ]$
B. B. $( 0,1 ]$
C. C. $[ 1 , + \infty )$
D. D. $[ 0 , + \infty )$

Answer

Answer: B

Solution: 函数的定义域为 $( 0 , + \infty )$ ，由 $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$ ，得 $y ^ { \prime } = x - \frac { 1 } { x } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x }$ ，由 $y ^ { \prime } = x - \frac { 1 } { x } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x } < 0$ ，得 $x \left( x ^ { 2 } - 1 \right) < 0$ ，因为 $x > 0$ ，所以解得 $0 < x < 1$ ，所以函数的单调递减区间为 $( 0,1 ]$ ．

Question 16

Question 16: 18．函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$ ，其中 $a 、 b 、 c$ 为实数，当 $a ^ { 2 } - 3 b < 0$ 时，$f...

18．函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$ ，其中 $a 、 b 、 c$ 为实数，当 $a ^ { 2 } - 3 b < 0$ 时，$f ( x )$ 在 R 上是

A. A. 增函数
B. B. 减函数
C. C. 常数
D. D. 无法确定函数的单调性

Answer

Answer: A

Solution: 解：因为 $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } + 2 a x + b$ ，则 $\Delta = 4 a ^ { 2 } - 12 b = 4 \left( a ^ { 2 } - 3 b \right) < 0$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ 在 R 上恒成立，所以 $f ( x )$ 在 R 上是增函数；

Question 17

Question 17: 19．若函数 $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ 在区间 ${ } ^ { ( - 1,1 ) }$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是（）

19．若函数 $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ 在区间 ${ } ^ { ( - 1,1 ) }$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A. A. $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { 2 } , + \infty \right)$
B. B. $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$
C. C. $\left[ - \mathrm { e } ^ { 2 } , + \infty \right)$
D. D. $\left[ - \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$

Answer

Answer: B

Solution: 函数 $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ ，则 $f ^ { \prime } ( x ) = k + 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ ，因函数 $f ^ { ( x ) }$ 在区间 $^ { ( - 1,1 ) }$ 上单调递增，则 $f ^ { \prime } ( x ) \geq 0$ 在区间 $( - 1,1 )$ 上恒成立，即 $k \geq - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ 在区间 $( - 1,1 )$ 上恒成立，因 $y = - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ 在区间 $( - 1,1 )$ 上单调递减，则 $y < - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 }$ ，故 $k \geq - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 }$ ，即实数 $k$ 的取值范围是 $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$ ．

Question 18

Question 18: 20．若函数 $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$ 在区间 $^ { ( 1,2 ) }$ 内单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

20．若函数 $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$ 在区间 $^ { ( 1,2 ) }$ 内单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A. A. $\left( - \infty , \frac { 3 } { 8 } \right]$
B. B. $\left( \frac { 3 } { 8 } , \frac { 1 } { 2 } \right)$
C. C. $\left( \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$
D. D. $\left[ \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$

Answer

Answer: D

Solution: 由函数 $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$ 可得 $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x } + 2 a x - 2$ ，若 ${ } ^ { f ( x ) }$ 在区间 $^ { ( 1,2 ) }$ 内单调递增，则 $f ^ { \prime } ( x ) \geq 0$ 在 $x \in { } ^ { ( 1,2 ) }$ 恒成立，即 $a \geq \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } }$ 在 $x \in ( 1,2 )$ 恒成立，令 $g ( x ) = \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { x } - 1 \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 }$ ，由 $\frac { 1 } { x } \in \left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$ ， $\therefore g ( x ) < g ( 1 ) = \frac { 1 } { 2 }$, 故 $a \geq \frac { 1 } { 2 }$ ，即实数 $a$ 的取值范围是 $\left[ \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$ ．

Question 19

Question 19: 21 ．在高台跳水运动中，某运动员在 $t$（单位：秒）时的重心相对于水面的高度 $h$（单位：米）满足关系式 ${ } ^ { h ( t ) = a t ^ { 2 } + 5 t + 11 ...

21 ．在高台跳水运动中，某运动员在 $t$（单位：秒）时的重心相对于水面的高度 $h$（单位：米）满足关系式 ${ } ^ { h ( t ) = a t ^ { 2 } + 5 t + 11 }$ ，当 $1 \leq t \leq 2$ 时，$h$ 的平均变化率是 - 10 米／秒，则当 $t = 3$时 $h$ 的瞬时变化率是（）

A. A. - 15 米／秒
B. B. 15 米／秒
C. C. - 25 米／秒
D. D. 25 米／秒

Answer

Answer: C

Solution: 由题意可得 $\frac { h ( 2 ) - h ( 1 ) } { 2 - 1 } = 3 a + 5 = - 10$ ，解得 $a = - 5$ ，则 $h ( t ) = - 5 t ^ { 2 } + 5 t + 11$ ，从而 $h ^ { \prime } ( t ) = - 10 t + 5$ ，故 $h ^ { \prime } ( 3 ) = - 10 \times 3 + 5 = - 25$ 。

Question 20

Question 20: 23．抛物线 ${ } ^ { 2 } = 4 y$ 的准线与 ${ } ^ { y }$ 轴交点为 ${ } ^ { M }$ ，过点 ${ } ^ { M }$ 与抛物线相切的直线方程为（）

23．抛物线 ${ } ^ { 2 } = 4 y$ 的准线与 ${ } ^ { y }$ 轴交点为 ${ } ^ { M }$ ，过点 ${ } ^ { M }$ 与抛物线相切的直线方程为（）

A. A. $y = 2 x - 1$ 或 $y = - 2 x - 1$
B. B. $y = 3 x - 1$ 或 $y = - 3 x - 1$
C. C. $y = 4 x - 1$ 或 $y = - 4 x - 1$
D. D. $y = x - 1$ 或 $y = - x - 1$

Answer

Answer: D

Solution: 解：由题意，抛物线 $x ^ { 2 } = 4 y$ 的准线为 $y = - 1$ ，则 $M ( 0 , - 1 )$ ，由 $x ^ { 2 } = 4 y$ 得 $y = \frac { x ^ { 2 } } { 4 }$ ，求导得 $y ^ { \prime } = \frac { x } { 2 }$ ，设切点坐标为 $\left( x _ { 0 } , \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \right)$ ，则 $\frac { \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } + 1 } { x _ { 0 } } = \frac { x _ { 0 } } { 2 }$ ，解得 $x _ { 0 } = \pm 2$ ， $\therefore$ 切线斜率为 $k = \pm 1$ ， $\therefore$ 切线方程为 $y + 1 = \pm x$ ，即 $y = x - 1$ 或 $y = - x - 1$ ，

Question 21

Question 21: 24．已知 $f ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x f ^ { \prime } ( 2019 ) - 2019 \ln x$ ，则 $f ^ {...

24．已知 $f ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x f ^ { \prime } ( 2019 ) - 2019 \ln x$ ，则 $f ^ { \prime } ( 1 ) =$

A. A. 2017
B. B. 2018
C. C. 2019
D. D. 2020

Answer

Answer: D

Solution: $f ^ { \prime } ( x ) = - x + 2 f ^ { \prime } ( 2019 ) - \frac { 2019 } { x }$ 令 $\mathrm { x } = 2019$ ，得 $f ^ { \prime } ( 2019 ) = 2020$ ，则 $f ^ { \prime } ( 1 ) = - 1 + 4040 - 2019 = 2020$

Question 22

Question 22: 25．已知函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$ ，若 $f ( 1 ) > f \left( \log _ { 2 } x \...

25．已知函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$ ，若 $f ( 1 ) > f \left( \log _ { 2 } x \right)$ ，则实数 ${ } _ { x }$ 的取值范围是（）

A. A. $( 0,2 )$
B. B. $( 0,1 )$
C. C. $( 2 , + \infty )$
D. D. $( 1 , + \infty )$

Answer

Answer: A

Solution: 因为 $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) = x ^ { 2 } + 1 - \sin x > 0$ ，所以函数 $y = f ( x )$ 在 R 上单调递增，所以 $f ( 1 ) > f \left( \log _ { 2 } x \right)$ ，等价于 $\left\{ \begin{array} { l } \log _ { 2 } x < 1 \\ x > 0 \end{array} \right.$ ，解得 $0 < x < 2$ ．

Question 23

Question 23: 26．已知函数 $f ( x ) = e ^ { x } + f ^ { \prime } ( 0 ) x ^ { 2 } + 3 x + 2$ ，则 $f ^ { \prime } ( 1 ) = ...

26．已知函数 $f ( x ) = e ^ { x } + f ^ { \prime } ( 0 ) x ^ { 2 } + 3 x + 2$ ，则 $f ^ { \prime } ( 1 ) = ( )$

A. A. $e + 5$
B. B. $e + 8$
C. C. $e + 11$
D. D. $e + 12$

Answer

Answer: C

Solution: 由题意 $f ^ { \prime } ( x ) = e ^ { x } + 2 f ^ { \prime } ( 0 ) x + 3$ ，所以 $f ^ { \prime } ( 0 ) = e ^ { 0 } + 0 + 3 = 4$ ， $f ^ { \prime } ( 1 ) = e + 2 \times 4 + 3 = e + 11$

Question 24

Question 24: 27．已知函数 $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$ 的图象与 $x$ 轴切于坐标原点，则 $a$ 、 $b$ 的值分别为（）

27．已知函数 $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$ 的图象与 $x$ 轴切于坐标原点，则 $a$ 、 $b$ 的值分别为（）

A. A. $a = - 1 , b = 1$
B. B. $a = 1 , b = - 1$
C. C. $a = - 1 , b = 0$
D. D. $a = 0 , b = - 1$

Answer

Answer: B

Solution: 因为 $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$ ，则 $f ^ { \prime } ( x ) = a e ^ { x } + b$ ，由已知条件可得 $\left\{ \begin{array} { l } f ( 0 ) = a - 1 = 0 \\ f ^ { \prime } ( 0 ) = a + b = 0 \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 \\ b = - 1 \end{array} \right.$ ．

Question 25

Question 25: 28．已知 $x = \ln 3$ 是函数 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$ 的极小值点，则 $a =$（）

28．已知 $x = \ln 3$ 是函数 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$ 的极小值点，则 $a =$（）

A. A. $\ln 3$
B. B. $- \ln 3$
C. C. 3
D. D. - 3

Answer

Answer: D

Solution: 因为 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a$ ，因为 $x = \ln 3$ 是 $f ( x )$ 的极小值点，所以 $f ^ { \prime } ( \ln 3 ) = 3 + a = 0$ ，解得 $a = - 3$ ，当 $a = - 3$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - 3$ ，当 $x > \ln 3$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) > 0 , f ( x )$ 单调递增；当 $x < \ln 3$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) < 0 , f ( x )$ 单调递减，所以 $a = - 3$ 时，$x = \ln 3$ 是 $f ( x )$ 的极小值点，故 $a = - 3$ ，

Question 26

Question 26: 29．已知函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$ ，则 $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x...

29．已知函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$ ，则 $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } = ( )$

A. A. - 1
B. B. 1
C. C. $- \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
D. D. $\frac { 1 } { x ^ { 2 } }$

Answer

Answer: A

Solution: 因为 $f ( 1 + \Delta x ) = \frac { 1 } { 1 + \Delta x } , f ( 1 ) = \frac { 1 } { 1 } = 1$ ，则 $f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) = \frac { 1 } { 1 + \Delta x } - 1 = \frac { - \Delta x } { 1 + \Delta x }$ ，所以 $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { - 1 } { 1 + \Delta x } = - 1$ ．

Question 27

Question 27: 31．下列求导运算正确的是

31．下列求导运算正确的是

A. A. $\left( x + \frac { 1 } { x } \right) ^ { \prime } = 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
B. B. $\left( \log _ { 2 } x \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x \ln 2 }$
C. C. $\left( 3 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 3 ^ { x } \cdot \log _ { 3 } \mathrm { e }$
D. D. $\left( \frac { x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } } \right) ^ { \prime } = \frac { 2 x + x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } }$

Answer

Answer: B

Solution: A． $\left( x + \frac { 1 } { x } \right) ^ { \prime } = 1 - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ ，A 错误；B． $\left( \log _ { 2 } x \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x \ln 2 }$ ，B 正确； C． $\left( 3 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 3 ^ { x } \cdot \ln 3 = 3 ^ { x } \cdot \frac { 1 } { \log _ { 3 } \mathrm { e } }$ ，C 错误；D． $\left( \frac { x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } } \right) ^ { \prime } = \frac { 2 x - x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } }$ ，故 D 错误。

Question 28

Question 28: 32．如果函数 $y = f ( x )$ 的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称 ${ } ^ { y = f ( x ) }$ 具有 $T$ 性质．下列函数中具有 $T$ ...

32．如果函数 $y = f ( x )$ 的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称 ${ } ^ { y = f ( x ) }$ 具有 $T$ 性质．下列函数中具有 $T$ 性质的是

A. A. $y = \cos x$
B. B. $y = \ln x$
C. C. $y = \mathrm { e } ^ { x }$
D. D. $y = x ^ { 3 }$

Answer

Answer: A

Solution: 由题意知 ${ } ^ { y = f ( x ) }$ 具有 $T$ 性质，即存在 ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ ，使得 $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ ；对于 $\mathrm { A } , ~ y ^ { \prime } = - \sin x$ ，存在 $x _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } , ~ x _ { 2 } = - \frac { \pi } { 2 }$ ，使得 $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = \left( - \sin \frac { \pi } { 2 } \right) \left[ - \sin \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) \right] = - 1$ ， A正确；对于 B，$y = \ln x$ 定义域为 $( 0 , + \infty ) , y ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } > 0$ ，故不存在 ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ ，使得 $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ ，B 错误；对于 C，$y ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { x } > 0$ ，故不存在 ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ ，使得 $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ ，C 错误；对于 D，$y ^ { \prime } = 3 x ^ { 2 } \geq 0$ ，故不存在 ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ ，使得 $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ ，D 错误；

Question 29

Question 29: 33．设函数 $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$ 在 $( 1 , + \infty )$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是

33．设函数 $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$ 在 $( 1 , + \infty )$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是

A. A. $( 0,1 ]$
B. B. $[ 1 , + \infty )$
C. C. $( 0,1 )$
D. D. $( 0 , + \infty )$

Answer

Answer: B

Solution: 因为 $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$ ，则 $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x } - a x ^ { 2 }$ ，由题意可知 $f ^ { \prime } ( x ) \leq 0$ 对任意的 $x > 1$ 恒成立，则 $a \geq \frac { 1 } { x ^ { 3 } }$ 对任意的 $x > 1$ 恒成立，当 $x > 1$ 时，$\frac { 1 } { x ^ { 3 } } \in ( 0,1 ) , \therefore a \geq 1$ ．

Question 30

Question 30: 34．由直线 $x = - 2 , x = 2 , y = 0$ 及曲线 $y = x ^ { 2 } - x$ 所围成的平面图形的面积为（）

34．由直线 $x = - 2 , x = 2 , y = 0$ 及曲线 $y = x ^ { 2 } - x$ 所围成的平面图形的面积为（）

A. A. $\frac { 16 } { 3 }$
B. B. $\frac { 17 } { 3 }$
C. C. $\frac { 8 } { 3 }$
D. D. $\frac { 5 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: 分析：作出函数 $y = x ^ { 2 } - x$ 的图象及直线 $x = - 2 , x = 2$ ，确定积分的上下限．详解：如图， ![](/images/questions/calculus/image-002.jpg) $S = \int _ { - 2 } ^ { 0 } \left( x ^ { 2 } - x \right) d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( - x ^ { 2 } + x \right) d x + \int _ { 1 } ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - x \right) d x$ $= \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { - 2 } ^ { 0 } + \left. \left( - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { 0 } ^ { 1 } + \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 17 } { 3 }$.

Question 31

Question 31: 35．函数 $f ( x ) = \sin 2 x - k \sin x + x$ 在区间 $\left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ 上单调递减，则 $k$ 的...

35．函数 $f ( x ) = \sin 2 x - k \sin x + x$ 在区间 $\left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ 上单调递减，则 $k$ 的取值范围是（）

A. A. $[ - 3 , + \infty )$
B. B. $[ 3 , + \infty )$
C. C. $[ 0 , + \infty )$
D. D. $[ - 3,3 ]$

Answer

Answer: B

Question 32

Question 32: 36．已知函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x$ ，则不等式 $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ 的解集是（）

36．已知函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x$ ，则不等式 $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ 的解集是（）

A. A. $\left( - 1 , \frac { 1 } { 5 } \right)$
B. B. $\left( - \frac { 1 } { 5 } , 1 \right)$
C. C. $( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 1 } { 5 } , + \infty \right)$
D. D. $\left( - \infty , - \frac { 1 } { 5 } \right) \cup ( 1 , + \infty )$

Answer

Answer: C

Solution: 因为函数 $y = f ( x )$ 的定义域为 $R , f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + 2 \cos ( - x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x = f ( x )$ ，所以函数 $y = f ( x )$ 为偶函数，当 $x \geq 0$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) = 2 x - 2 \sin x = g ( x ) , g ^ { \prime } ( x ) = 2 - 2 \cos x \geq 0$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x - 2 \sin x$ 在 $[ 0 , + \infty )$ 单调递增，所以 $f ^ { \prime } ( x ) \geq f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$ ，所以函数 $y = f ( x )$ 在 $[ 0 , + \infty )$ 单调递增，由 $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ ，可得 $f ( | 2 x - 1 | ) < f ( | 3 x | )$ ，则 $| 2 x - 1 | < | 3 x |$ ，不等式两边平方得 $9 x ^ { 2 } > ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }$ ，可得 $( x + 1 ) ( 5 x - 1 ) > 0$ ，解得 $x < - 1$ 或 $x > \frac { 1 } { 5 }$ ．因此，不等式 $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ 的解集为 $( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 1 } { 5 } , + \infty \right)$ ．

Question 33

Question 33: 37．已知抛物线 $C : x ^ { 2 } = 4 y$ ，过点 $M ( 0,4 )$ 的直线与 $C$ 交于 $A , B$ 两点，$C _ { \text {在 } } A , B$ 两点处...

37．已知抛物线 $C : x ^ { 2 } = 4 y$ ，过点 $M ( 0,4 )$ 的直线与 $C$ 交于 $A , B$ 两点，$C _ { \text {在 } } A , B$ 两点处的切线相交于点 $N$ 。下列四个点中，可以为线段 $M N$ 中点的是（）

A. A. $( 0,1 )$
B. B. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$
C. C. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$
D. D. $\left( 1 , - \frac { 1 } { 2 } \right)$

Answer

Answer: B

Solution: 不妨设 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , N \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ ，由 $x ^ { 2 } = 4 y$ 可得 $y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$ ，则 $y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } x$ ，于是抛物线在点 $A$ 处的切线方程为 $y - y _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } \left( x - x _ { 1 } \right)$ ，因 $x _ { 1 } ^ { 2 } = 4 y _ { 1 }$ ，化简方程得：$x _ { 1 } x = 2 \left( y + y _ { 1 } \right)$ ，同理可得抛物线在点 ${ } ^ { B }$ 处的切线方程为 $x _ { 2 } x = 2 \left( y + y _ { 2 } \right)$ ，又两切线交于点 $N \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ ，故得 $\left\{ \begin{array} { l } x _ { 1 } x _ { 0 } = 2 \left( y _ { 0 } + y _ { 1 } \right) \\ x _ { 2 } x _ { 0 } = 2 \left( y _ { 0 } + y _ { 2 } \right) \end{array} \right.$ ，即点 $A , B$ 都在直线 $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$ 上，也即直线 $A B$ 的方程为 $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$ ，因点 $M ( 0,4 )$ 在直线 $A B$ 上，代入解得 $y _ { 0 } = - 4$ ，即得 $N \left( x _ { 0 } , - 4 \right)$ ，故线段 $M N$ 的中点为 $N \left( \frac { x _ { 0 } } { 2 } , 0 \right)$ ，故选项中可以为线段 $M N$ 中点的是 $\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$ ． ![](/images/questions/calculus/image-003.jpg)

Question 34

Question 34: 38．已知函数 $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$ 在 R 上单调递增，则 $a$ 的最大值是（）

38．已知函数 $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$ 在 R 上单调递增，则 $a$ 的最大值是（）

A. A. 0
B. B. $\frac { 1 } { 6 }$
C. C. e
D. D. 3

Answer

Answer: A

Solution: 由函数 $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$ ，可得 $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x - a$ ，因为 $f ( x )$ 在 R 上单调递增，所以 $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x - a \geq 0$ 恒成立，即 $a \leq 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x$ 恒成立，设 $g ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x$ ，则 $g ^ { \prime } ( x ) = ( 2 x + 2 ) \mathrm { e } ^ { x } - 2$ ，当 $x < 0$ 时，$g ^ { \prime } ( x ) < 0$ ；当 $x > 0$ 时，$g ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，则 $g ^ { ( x ) }$ 在 $^ { ( - \infty , 0 ) }$ 上单调递减，在 $( 0 , + \infty )$ 上单调递增，所以 $g ( x ) _ { \text {min } } = g ( 0 ) = 0$ ，即 $a \leq 0$ ，所以实数 $a$ 的最大值为 0 。

Question 35

Question 35: 39．已知直线 $y = a x + b$ 与曲线 $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } { \mathrm { x } }$ 相切，则 $2 a ...

39．已知直线 $y = a x + b$ 与曲线 $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } { \mathrm { x } }$ 相切，则 $2 a + b$ 的最大值为（）

A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
B. B. 2
C. C. $\frac { 5 } { 2 }$
D. D. 5

Answer

Answer: C

Solution: 设切点横坐标为 $m ( m \neq 0 )$ ，求导： $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } { \mathrm { x } }$ 得 $y ^ { \prime } = 1 - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ ，由题意可得 $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \\ a m + b = m + \frac { 1 } { m } \end{array} \right.$ 解得： $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \\ b = \frac { 2 } { m } \end{array} \right.$ ，所以 $2 a + b = - \frac { 2 } { m ^ { 2 } } + \frac { 2 } { m } + 2 = - 2 \left( \frac { 1 } { m } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 }$ ，所以 $m = 2$ 时， $2 a + b$ 的最大值为 $\frac { 5 } { 2 }$ ．

Question 36

Question 36: 40．已知函数 $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) ( \omega > 0 )$ 在 $( 1,2 )$ 上单...

40．已知函数 $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) ( \omega > 0 )$ 在 $( 1,2 )$ 上单调递减，在 $( 2,3 )$ 上单调递增，且圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( r > 0 )$ 内恰好包含 $f ( x )$ 的三个极值对应的点，则 $r$ 的取值范围是（）《2025年10月29日高中数学作业》

A. A. $[ 2 , \sqrt { 5 } )$
B. B. $\left( \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 29 } } { 2 } \right]$
C. C. $( \sqrt { 5 } , 3 ]$
D. D. $\left[ \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 53 } } { 2 } \right]$

Answer

Answer: B

Solution: 由已知 $f ( x )$ 在 $x = 2$ 处取得最小值， $\therefore \sin \left( 2 \omega + \frac { \pi } { 6 } \right) = - 1 , \therefore 2 \omega + \frac { \pi } { 6 } = 2 k \pi - \frac { \pi } { 2 } ( k \in \mathbf { Z } )$ ，解得 $\omega = k \pi - \frac { \pi } { 3 } ( k \in \mathbf { Z } )$ ， $\because$ 函数 ${ } ^ { f ( x ) }$ 在 $^ { ( 1,2 ) }$ 上单调递减， $\therefore \frac { T } { 2 } \geq 1$ ，即 $\frac { \pi } { \omega } \geq 1 , ~ \therefore 0 < \omega \leq \pi$ ，当 ${ } _ { k = 1 }$ 时，$\omega = \frac { 2 \pi } { 3 } , ~ T = 3$ ，符合条件， $\therefore f ( x ) = \sin \left( \frac { 2 \pi } { 3 } x + \frac { \pi } { 6 } \right)$ ．由图像知 ${ } ^ { y }$ 轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点， ![](/images/questions/calculus/image-004.jpg)的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点 $( 2 , - 1 ) _ { \text {到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点 } } \left( - \frac { 5 } { 2 } , 1 \right)$ 到原点的距离，即 $r \in \left( \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 29 } } { 2 } \right]$,

导数与微积分

知识点概述

重点内容

学习建议

会做单题 ≠ 会考试

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