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不等式 - Practice Questions (38)

Question 1: 1 ．已知二次函数 $y = a x ^ { 2 } + b x + c$ 的图像如图所示，则不等式 $a x ^ { 2 } + b x + c > 0$ 的解集是（ ） ![](/images/q...

1 ．已知二次函数 $y = a x ^ { 2 } + b x + c$ 的图像如图所示，则不等式 $a x ^ { 2 } + b x + c > 0$ 的解集是（ ） ![](/images/questions/inequality/image-001.jpg)

  • A. A. $( - 2,1 )$
  • B. B. $( - \infty , - 2 ) \cup ( 1 , + \infty )$
  • C. C. $[ - 2,1 ]$
  • D. D. $( - \infty , - 2 ] \cup [ 1 , + \infty )$

Answer: A

Solution: 结合图像易知， 不等式 $a x ^ { 2 } + b x + c > 0$ 的解集 ${ } ^ { ( - 2,1 ) }$ ，

Question 2: 2 ．＂$x ( x - 2 ) < 0$＂是＂ $| x - 1 | < 2$＂的（ ）条件

2 ．＂$x ( x - 2 ) < 0$＂是＂ $| x - 1 | < 2$＂的（ ）条件

  • A. A. 必要非充分
  • B. B. 充分非必要
  • C. C. 充要
  • D. D. 既非充分也非必要

Answer: B

Solution: 由 $x ( x - 2 ) < 0$ ，得 $0 < x < 2$ ， $| x - 1 | < 2$ ，得 $- 1 < x < 3$ ， $\because ( 0,2 ) \square ^ { ( - 1,3 ) }$, $\therefore$＂$x ( x - 2 ) < 0$＂是＂ $| x - 1 | < 2$＂的充分不必要条件．

Question 3: 3．若集合 $A = \left\{ x \mid y = \log _ { 2 } ( x - 1 ) \right\} , B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - x - 6...

3．若集合 $A = \left\{ x \mid y = \log _ { 2 } ( x - 1 ) \right\} , B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - x - 6 \leq 0 \right\}$ ，则 $\left( \partial _ { R } A \right) \cap B = ( )$

  • A. A. $( - 2,1 ]$
  • B. B. $[ 1,3 ]$
  • C. C. $[ - 2,1 )$
  • D. D. $[ - 2,1 ]$

Answer: D

Solution: 由 由 $^ { y = \log _ { 2 } ( x - 1 ) }$ 的定义域得 ：$x > 1$ ， 所以 $A = \{ x \mid x > 1 \} , ~ \Phi _ { k } A = \{ x \mid x \leq 1 \}$ ， 由 $x ^ { 2 } - x - 6 \leq 0$ 得：$- 2 \leq x \leq 3$ ， 所以 $B = \{ x \mid - 2 \leq x \leq 3 \}$ ， 所以 $\left( \tilde { 0 } _ { R } A \right) \mid B = [ - 2,1 ]$ ，

Question 4: 4．已知 $a > b > 0 , c > d$ ，则下列结论正确的是

4．已知 $a > b > 0 , c > d$ ，则下列结论正确的是

  • A. A. $a c > b d$
  • B. B. $a + c > b + d$
  • C. C. $a c > b c$
  • D. D. $a - c > b - d$

Answer: B

Solution: $\because a > b , c > d , \therefore a + c > b + d$ 。

Question 5: 5 ．若 $a < b$ ，则下列不等关系一定成立的是（ ）

5 ．若 $a < b$ ，则下列不等关系一定成立的是（ ）

  • A. A. $| a | < | b |$
  • B. B. $\frac { 1 } { a } < \frac { 1 } { b }$
  • C. C. $a < 2 b$
  • D. D. $2 a < 2 b$

Answer: D

Solution: A 选项，当 $a = - 1 , b = 0$ 时，满足 $a < b$ ，但不满足 $| a | < | b | , \mathrm { A }$ 错误； B 选项，当 $a = - 2 , b = - 1$ 时，满足 $a < b$ ，但不满足 $\frac { 1 } { a } < \frac { 1 } { b }$ ，B 错误； C 选项，当 ${ } ^ { a = - 2 , b = - 1 }$ 时，满足 $^ { a < b }$ ，但此时 ${ } ^ { a = 2 b }$ ，C 错误； D选项，因为 $a < b$ ，由不等式性质可得 $2 a < 2 b$ ，D正确．

Question 6: 6．已知集合 $A = \{ x \mid x = 3 k - 1 , k \in \mathbf { N } \}$ ，集合 $B = \left\{ x \mid - x ^ { 2 } + 2 ...

6．已知集合 $A = \{ x \mid x = 3 k - 1 , k \in \mathbf { N } \}$ ，集合 $B = \left\{ x \mid - x ^ { 2 } + 2 x + 24 \geq 0 \right\}$ ，则 $A \cap B =$（）

  • A. A. $\{ - 4 , - 1,2,5 \}$
  • B. B. $\{ - 1,2,5 \}$
  • C. C. $\{ 2,5 \}$
  • D. D. $\{ - 4 , - 1,2 \}$

Answer: B

Solution: 由 $A = \{ x \mid x = 3 k - 1 , k \in \mathbf { N } \} , B = \left\{ x \mid - x ^ { 2 } + 2 x + 24 \geq 0 \right\} = \{ x \mid - 4 \leq x \leq 6 \}$ ， 所以 $A \cap B = \{ - 1,2,5 \}$ ，

Question 7: 8．已知集合 $A = \left\{ * x ^ { 2 } - 2 x - 3 < 0 \right\} , B = \left\{ * x ^ { 2 } - 4 x < 0 , x \in \...

8．已知集合 $A = \left\{ * x ^ { 2 } - 2 x - 3 < 0 \right\} , B = \left\{ * x ^ { 2 } - 4 x < 0 , x \in \mathbf { Z } \right\}$ ，则 $A \cap B =$

  • A. A. $\{ 2,3,4 \}$
  • B. B. $\{ 1,2 \}$
  • C. C. $\{ 0,1,2 \}$
  • D. D. $\{ 1,2,3 \}$

Answer: B

Solution: $A = \left\{ * x ^ { 2 } - 2 x - 3 < 0 \right\} = \{ * - 1 < x < 3 \} , B = \left\{ * x ^ { 2 } - 4 x < 0 , x \in \mathbf { Z } \right\} = \{ 1,2,3 \}$ ，所以 $A \cap B = \{ 1,2 \}$ ．

Question 8: 9．已知集合 $M = \{ - 5 , - 2,0,3 \} , N = \left\{ x \mid x ^ { 2 } + 2 x - 8 < 0 \right\}$ ，则 $M \cap N ...

9．已知集合 $M = \{ - 5 , - 2,0,3 \} , N = \left\{ x \mid x ^ { 2 } + 2 x - 8 < 0 \right\}$ ，则 $M \cap N =$

  • A. A. $\{ - 5 , - 2 \}$
  • B. B. $\{ - 2,0 \}$
  • C. C. $\{ 0,3 \}$
  • D. D. $\{ - 2,3 \}$

Answer: B

Solution: $\because N = \{ x \mid ( x + 4 ) ( x - 2 ) < 0 \} = \{ x \mid - 4 < x < 2 \} , \therefore M \cap N = \{ - 2,0 \}$ ．

Question 9: 10．已知集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - 4 < 0 \right\} , B = \{ x \mid x + 1 > 0 \}$ ，则 $A \cup B =$

10．已知集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - 4 < 0 \right\} , B = \{ x \mid x + 1 > 0 \}$ ，则 $A \cup B =$

  • A. A. $( - 2 , + \infty )$
  • B. B. $( - 1,2 )$
  • C. C. $( - 2,2 )$
  • D. D. （ $- 2 , - 1$ ）

Answer: A

Solution:

Question 10: 11．已知集合 $A = \left\{ x \in N \quad x ^ { 2 } - 2 x - 3 \leq 0 \right\}$ ，则集合 $A$ 的真子集的个数为

11．已知集合 $A = \left\{ x \in N \quad x ^ { 2 } - 2 x - 3 \leq 0 \right\}$ ，则集合 $A$ 的真子集的个数为

  • A. A. 32
  • B. B. 31
  • C. C. 16
  • D. D. 15

Answer: D

Solution: 解 ：由题意得 $A = \left\{ x \in N \quad x ^ { 2 } - 2 x - 3 \leq 0 \right\} = \{ x \in N - 1 \leq x \leq 3 \} = \{ 0,1,2,3 \}$ ，其真子集有 $2 ^ { 4 } - 1 = 15$ 个。

Question 11: 12．已知集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - x - 6 < 0 \right\} , B = \{ x \mid x > 0 \}$ ，则 $A \cap B =$

12．已知集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - x - 6 < 0 \right\} , B = \{ x \mid x > 0 \}$ ，则 $A \cap B =$

  • A. A. $\{ x \mid - 2 < x < 3 \}$
  • B. B. $\{ x \mid 0 < x < 3 \}$
  • C. C. $\{ x \mid - 3 < x < 2 \}$
  • D. D. $\{ x \mid 0 < x < 2 \}$

Answer: B

Solution: 因为 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - x - 6 < 0 \right\} = \{ x \mid - 2 < x < 3 \} , B = \{ x \mid x > 0 \}$ ，所以 $A \cap B = \{ x \mid 0 < x < 3 \}$ ，

Question 12: 13．下列不等式中，解集是 $R$ 的是

13．下列不等式中，解集是 $R$ 的是

  • A. A. $x ^ { 2 } + 4 x + 4 > 0$
  • B. B. $\sqrt { x ^ { 2 } } > 0$
  • C. C. $\left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x } + 1 > 0$
  • D. D. $- x ^ { 2 } + 2 x - 1 > 0$

Answer: C

Solution: 由 $x ^ { 2 } + 4 x + 4 = ( x + 2 ) ^ { 2 } > 0$ ，则解集为 $\{ x \mid x \neq - 2 \}$ ，故 A 不正确； 由 $\sqrt { x ^ { 2 } } = x \mid > 0$ ，则解集为 $\{ x \mid x \neq 0 \}$ ，故 B 不正确； 由 $\left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x } > 0$ ，则 $\left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x } + 1 > 1 > 0$ 在 $x \in \mathrm { R }$ 上恒成立，故 C 正确； 由 $- x ^ { 2 } + 2 x - 1 = - ( x - 1 ) ^ { 2 } > 0$ ，无解，故 D 不正确。

Question 13: 14．函数 $f ( x )$ 的图象如图所示，设 $f ( x )$ 的导函数为 $f ^ { \prime } ( x )$ ，则 $\frac { f ^ { \prime } ( x ) } ...

14．函数 $f ( x )$ 的图象如图所示，设 $f ( x )$ 的导函数为 $f ^ { \prime } ( x )$ ，则 $\frac { f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } > 0$ 的解集为 ![](/images/questions/inequality/image-002.jpg)

  • A. A. $( 1,6 )$
  • B. B. $( 1,4 )$
  • C. C. $( - \infty , 1 )$
  • D. D. $( 1,4 ) \cup ( 6 , + \infty )$

Answer: D

Solution: 由 $\frac { f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } > 0$ 得 $f ^ { \prime } ( x ) , f ( x )$ 同号． 由图得当 $x \in ( - \infty , 4 )$ 时，$f ( x )$ 单调递增，$f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ；当 $x \in ( 4 , + \infty )$ ，时，$f ( x )$ 单调递减， $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ 故当 $x \in ( 1,4 )$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) > 0 , f ( x ) > 0 , \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } > 0$ ； 当 $x \in ( 6 , + \infty )$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) < 0 , f ( x ) < 0 , \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } > 0$ ． 综上，$\frac { f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } > 0$ 的解集为 $( 1,4 ) \cup ( 6 , + \infty )$ 。

Question 14: 15．已知 ${ } _ { a } , b , c \in \mathbf { R }$ 且 $a \neq 0$ ，那么关于 ${ } _ { x }$ 的不等式 $\log _ { \frac ...

15．已知 ${ } _ { a } , b , c \in \mathbf { R }$ 且 $a \neq 0$ ，那么关于 ${ } _ { x }$ 的不等式 $\log _ { \frac { 1 } { 2 } } \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right) > 0$ ，其解集不可能是（ ）

  • A. A. R
  • B. B. $( - 2 , - 1 ) \cup ( 2,3 )$
  • C. C. $( - 2 , - 1 )$
  • D. D. $\theta$

Answer: A

Solution: $a , b , c \in \mathbf { R }$ 且 $a \neq 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $\log _ { \frac { 1 } { 2 } } \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < a x ^ { 2 } + b x + c < 1$（1），当 $a = 1 , b = c = 3$ 时，不等式（1）的解集为 ${ } ^ { ( - 2 , - 1 ) }$ ，排除 C ； 当 $a = \frac { 1 } { 4 } , ~ b = - \frac { 1 } { 4 } , ~ c = - \frac { 1 } { 2 }$ 时，不等式（1）的解集为 $( - 2 , - 1 ) \cup ( 2,3 )$ ，排除 B ； 当 $a = - 1 , ~ b = 3 , ~ c = - 3$ 时，$a x ^ { 2 } + b x + c < 0$ 恒成立，不等式（1）的解集为 $\oslash$ ，排除 D．

Question 15: 16．已知集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - 2 x - 3 \leq 0 \right\} , B = \{ x \mid 0 < x \leq 4 \}$ ，则 ...

16．已知集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - 2 x - 3 \leq 0 \right\} , B = \{ x \mid 0 < x \leq 4 \}$ ，则 $A \cup B = ( )$

  • A. A. $[ - 1,4 ]$
  • B. B. $( 0,3 ]$
  • C. C. $( - 1,0 ] \cup ( 1,4 ]$
  • D. D. $( - 1,0 ) \cup ( 1,4 ]$

Answer: A

Solution: 解：由 $x ^ { 2 } - 2 x - 3 \leq 0$ ，得 $( x + 1 ) ( x - 3 ) \leq 0 , - 1 \leq x \leq 3$ ，所以 $A = \{ x \mid - 1 \leq x \leq 3 \}$ ，因为 $B = \{ x \mid 0 < x \leq 4 \}$ ，所以 $A \cup B = \{ x \mid - 1 \leq x \leq 4 \}$ ，

Question 16: 17．如图，已知 $R$ 是实数集，集合 $A = \{ x \mid 1 < x < 2 \} , ~ B = \left\{ x \left\lvert \, \frac { 2 x - 3 } ...

17．如图，已知 $R$ 是实数集，集合 $A = \{ x \mid 1 < x < 2 \} , ~ B = \left\{ x \left\lvert \, \frac { 2 x - 3 } { x } < 0 \right. \right\}$ ，则阴影部分表示的集合是（ ） ![](/images/questions/inequality/image-003.jpg)

  • A. A. $[ 0,1 ]$
  • B. B. $( 0,1 ]$
  • C. C. $( 0,1 )$
  • D. D. $[ 0,1 )$

Answer: B

Solution: 由 $\frac { 2 x - 3 } { x } < 0$ ，解得： $0 < x < \frac { 3 } { 2 }$ ，即 $B = \left\{ x \left\lvert \, 0 < x < \frac { 3 } { 2 } \right. \right\}$ ． Venn 图中阴影部分表示的是 $\left( \mathrm { x } _ { \mathrm { R } } A \right) \cap B = \{ x \mid 0 < x \leq 1 \}$ 。

Question 17: 18．关于 $x$ 的不等式 $a x - b > 0$ 的解集是 $\{ x \mid x > 1 \}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $( a x - b ) ( x - 3 ) < 0$ 的解集...

18．关于 $x$ 的不等式 $a x - b > 0$ 的解集是 $\{ x \mid x > 1 \}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $( a x - b ) ( x - 3 ) < 0$ 的解集是（ ）

  • A. A. $\left\{ x \mid x < - 1 _ { \text {或 } } x > 3 \right\}$
  • B. B. $\{ x \mid - 1 < x < 3 \}$
  • C. C. $\{ x \mid 1 < x < 3 \}$
  • D. D. $\left\{ x \mid x < 1 \right.$ 或 $\left. ^ { x > 3 } \right\}$

Answer: B

Solution: 因为不等式 $a x - b > 0$ 的解集是 $\{ x \mid x > 1 \}$ ，所以 ${ } _ { a > 0 } , ~ \frac { b } { a } = 1$ ，所以关于 $x$ 的不等式 $( a x + b ) ( x - 3 ) < 0$ 可转化为 $a \left( x + \frac { b } { a } \right) ( x - 3 ) < 0$ ，即 $( x + 1 ) ( x - 3 ) < 0$ ，解得 $- 1 < x < 3$ ，故不等式 $( a x - b ) ( x - 3 ) < 0$ 的解集是 $\{ x \mid - 1 < x < 3 \}$ 。

Question 18: 19．已知集合 $A = \left\{ x \mid \log _ { 2 } x < 1 \right\} , B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } \geq x \right...

19．已知集合 $A = \left\{ x \mid \log _ { 2 } x < 1 \right\} , B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } \geq x \right\}$ ，则 $A \cap B =$

  • A. A. $( 0,2 )$
  • B. B. $( 1,2 )$
  • C. C. $[ 1,2 )$
  • D. D. $[ 1 , + \infty )$

Answer: C

Solution: 因为 $A = \left\{ x \mid \log _ { 2 } x < 1 \right\} = ( 0,2 ) , B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } \geq x \right\} = ( - \infty , 0 ] \cup [ 1 , + \infty )$ ，因此，$A \cap B = [ 1,2 )$ 。

Question 19: 20．若 $0 < a < b , m > 0$ ，则下列不等关系正确的是

20．若 $0 < a < b , m > 0$ ，则下列不等关系正确的是

  • A. A. $\frac { a } { b } < \frac { a + m } { b + m }$
  • B. B. $\frac { a } { b } < \frac { a - m } { b - m }$
  • C. C. $\frac { a } { b } > \frac { a + m } { b + m }$
  • D. D. $\frac { a } { b } > \frac { a - m } { b - m }$

Answer: A

Solution: 对于 AC ，由 $0 < a < b , m > 0$ ，得 $\frac { a } { b } - \frac { a + m } { b + m } = \frac { a ( b + m ) - b ( a + m ) } { b ( b + m ) } = \frac { ( a - b ) m } { b ( b + m ) } < 0$ ，因此 $\frac { a } { b } < \frac { a + m } { b + m }$ ，A 正确，C 错误 ； 对于 B，当 ${ } _ { b = m }$ 时，无意义；若 ${ } _ { b \neq m }$ ，取 ${ } _ { a = m }$ ，则 $\frac { a } { b } > 0 = \frac { a - m } { b - m } , ~ \mathrm {~B}$ 错误； 对于 D，当 $b = m$ 时，无意义；若 $b \neq m$ ，取 $a = 1 , b = 2 , m = 3$ ，则 $\frac { a } { b } = \frac { 1 } { 2 } < 2 = \frac { a - m } { b - m }$ ，D 错误。故选：A

Question 20: 21．若＂$\exists x \in R , x ^ { 2 } + a x + a \leq 0$＂是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是

21．若＂$\exists x \in R , x ^ { 2 } + a x + a \leq 0$＂是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是

  • A. A. $\left[ \begin{array} { l l } 0 & 4 \end{array} \right]$
  • B. B. $( - \infty , 0 ] \cup [ 4 , + \infty )$
  • C. C. $( - 40 )$
  • D. D. $( - \infty , 0 ) \cup ( 4 , + \infty )$

Answer: B

Solution: ＂$\exists x \in R , x ^ { 2 } + a x + a \leq 0$＂是真命题，则 对应的一元二次函数和 $x$ 轴有交点即可， $\Delta = a ^ { 2 } - 4 a \geq 0$ ，解得 $a \leq 0$ 或 $a \geq 4$ ，

Question 21: 22．设集合 $A = \left\{ x \left\lvert \, \frac { x + 1 } { x - 1 } \leq 0 \right. \right\} , B = \left\{...

22．设集合 $A = \left\{ x \left\lvert \, \frac { x + 1 } { x - 1 } \leq 0 \right. \right\} , B = \left\{ y \mid y = 2 ^ { x } , x \in A \right\}$ ，则 $A \cap B =$

  • A. A. $( 0,1 )$
  • B. B. （ $- 1,2$ ）
  • C. C. $( 1 , + \infty )$
  • D. D. $\left[ \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$

Answer: D

Solution: $\because$ 集合 $A = \left\{ x \left\lvert \, \frac { x + 1 } { x - 1 } \leq 0 \right. \right\} , \therefore$ 集合 $A = \{ x \mid - 1 \leq x < 1 \}$ ， $\therefore B = \left\{ y \mid y = 2 ^ { x } , x \in A \right\} = \left\{ y \left\lvert \, \frac { 1 } { 2 } \leq y < 2 \right. \right\} , \therefore A \cap B = \left[ \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$.

Question 22: 23．已知集合 $A = ( 2,5 ] , B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - 11 x + 10 < 0 \right\}$ ，则 $\left( \AA _ { \ma...

23．已知集合 $A = ( 2,5 ] , B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - 11 x + 10 < 0 \right\}$ ，则 $\left( \AA _ { \mathrm { R } } A \right) \mid B =$

  • A. A. $[ 5,10 )$
  • B. B. $( 1,2 ] \cup ( 5,10 )$
  • C. C. $( - \infty , 2 ] \cup ( 5 , + \infty )$
  • D. D. $( 1,2 ) \cup ( 5,10 )$

Answer: B

Solution: 因为 $B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - 11 x + 10 < 0 \right\} = ( 1,10 ) , \overrightarrow { \mathrm { c } } _ { \mathrm { k } } A = ( - \infty , 2 ] \cup ( 5 , + \infty )$ ， 因此， $\left( { \underset { \mathbf { q } } { \mathbf { q } } } _ { \mathbf { k } } A \right) \cap B = ( 1,2 ] \cup ( 5,10 )$ 。

Question 23: 24．若不等式 $m x ^ { 2 } + n x + 3 > 0$ 的解集是 $\{ x \mid - 1 < x < 3 \}$ ，则不等式 $n x ^ { 2 } - m x - 1 < 0...

24．若不等式 $m x ^ { 2 } + n x + 3 > 0$ 的解集是 $\{ x \mid - 1 < x < 3 \}$ ，则不等式 $n x ^ { 2 } - m x - 1 < 0$ 的解集是

  • A. A. $\{ x \mid - 1 < x < 3 \}$
  • B. B. $\{ x \mid - 3 < x < 2 \}$
  • C. C. $\left\{ x \left\lvert \, - 1 < x < \frac { 1 } { 2 } \right. \right\}$
  • D. D. $\{ x \mid - 3 < x < 1 \}$

Answer: C

Solution: 因为不等式 $m x ^ { 2 } + n x + 3 > 0$ 的解集为 $\{ x \mid - 1 < x < 3 \}$ ， 所以方程 $m x ^ { 2 } + n x + 3 = 0$ 的两根分别为 - 1 和 3 所以 $\left\{ \begin{array} { l } - 1 + 3 = - \frac { n } { m } \\ - 1 \times 3 = \frac { 3 } { m } \\ m < 0 \end{array} \right.$ ，解得 ： $\left\{ \begin{array} { l } m = - 1 \\ n = 2 \end{array} \right.$ ， 代入不等式 $n x ^ { 2 } - m x - 1 < 0$ ， 即 $2 x ^ { 2 } + x - 1 < 0$ ，即 $( 2 x - 1 ) ( x + 1 ) < 0$ 解得：$- 1 < x < \frac { 1 } { 2 }$ ， 所以不等式的解集为 $\left\{ x \left\lvert \, - 1 < x < \frac { 1 } { 2 } \right. \right\}$ 。

Question 24: 25．已知集合 $A = \left\{ * x ^ { 2 } - x - 2 < 0 \right\} , B = \left\{ * y = x ^ { 2 } , x \in A \right...

25．已知集合 $A = \left\{ * x ^ { 2 } - x - 2 < 0 \right\} , B = \left\{ * y = x ^ { 2 } , x \in A \right\}$ ，则 $A \cap B =$

  • A. A. $( 0,2 )$
  • B. B. $[ 0,2 )$
  • C. C. $( 1,4 )$
  • D. D. $[ 1,4 )$

Answer: B

Solution: 因为 $x ^ { 2 } - x - 2 < 0$ ，所以 $( x + 1 ) ( x - 2 ) < 0$ ，即 $- 1 < x < 2$ ， 所以 $A = \{ * - 1 < x < 2 \}$ ， 因为 $y = x ^ { 2 } , x \in A$ ，所以当 $x = 0 , y _ { \text {min } } = 0$ ， 当 $x = 2 , y = 4$ ，所以 $0 \leq y < 4$ ， $\therefore B = \{ \psi 0 \leq y < 4 \} , \therefore A \cap B = [ 0,2 )$

Question 25: 26．已知集合 $A = \{ x \mid \geq 0 \} , B = \{ x \mid ( x + 1 ) ( x - 5 ) < 0 \}$ 则 $A \cap B =$ 5）

26．已知集合 $A = \{ x \mid \geq 0 \} , B = \{ x \mid ( x + 1 ) ( x - 5 ) < 0 \}$ 则 $A \cap B =$ 5）

  • A. A. $[ - 1,4 )$
  • B. B. $[ 0,5 )$
  • C. C. $[ 1,4 ]$
  • D. D. $[ - 4 , - 1 ) \cup [ 4$ ，

Answer: B

Solution: 由题意得 $B = \{ x \mid - 1 < x < 5 \}$ ，故 $A \cap B = \{ x \mid \geq 0 \} \cap \{ x \mid - 1 < x < 5 \} = [ 0,5 )$ ． 选B．

Question 26: 27．若不等式 $x ^ { 2 } + p x + q < 0$ 的解集为 $\left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } \right)$ 则不等式...

27．若不等式 $x ^ { 2 } + p x + q < 0$ 的解集为 $\left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } \right)$ 则不等式 $q x ^ { 2 } + p x + 1 > 0$ 的解集为（ ）

  • A. A. $( - 3,2 )$
  • B. B. （－ 2,3 ）
  • C. C. $\left( - \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } \right)$
  • D. D. $\mathbf { R }$

Answer: B

Solution: 由题意可知：$- \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 }$ 是方程 $x ^ { 2 } + p x + q = 0$ 的两个实根， 则 $\left\{ \begin{array} { l } - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } = - p \\ \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 3 } = q \end{array} \right.$ ，解得 $p = \frac { 1 } { 6 } , q = - \frac { 1 } { 6 }$ ， 则不等式 $q x ^ { 2 } + p x + 1 > 0$ ，即为 $- \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } x + 1 > 0$ ， 即为 $x ^ { 2 } - x - 6 < 0$ ，解得 $- 2 < x < 3$ ， 所以不等式 $q x ^ { 2 } + p x + 1 > 0$ 的解集为 $( - 2,3 )$ 。

Question 27: 28．已知集合 $U = \mathrm { R }$ ，集合 $A = \{ x \mid \sqrt { x + 3 } > 2 \} , B = \left\{ y \mid y = x ^ {...

28．已知集合 $U = \mathrm { R }$ ，集合 $A = \{ x \mid \sqrt { x + 3 } > 2 \} , B = \left\{ y \mid y = x ^ { 2 } + 2 \right\}$ ，则 $A \cap ($ $B )$ 等于

  • A. A. R
  • B. B. $( 1,2 ]$
  • C. C. $( 1,2 )$
  • D. D. $[ 2 , + \infty )$

Answer: C

Solution: 解不等式 $\sqrt { x + 3 } > 2$ 得：$x > 1$ ，即 $A = ( 1 , + \infty ) , x \in \mathrm { R } , y = x ^ { 2 } + 2 \geq 2$ ，即 $B = [ 2 , + \infty )$ ， 于是得 $\Phi _ { J } B = ( - \infty , 2 )$ ，所以 $A \cap \left( \Phi _ { U } B \right) = ( 1,2 )$ ．

Question 28: 29．下列命题中 $q$ 是 $p$ 的必要条件的是（ ）

29．下列命题中 $q$ 是 $p$ 的必要条件的是（ ）

  • A. A. $p : A \cap B = A , q : A \subseteq B$
  • B. B. $p : x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 , q : x = - 1$
  • C. C. $p : | x | < 1 , q : x < 0$
  • D. D. $p : x ^ { 2 } > 2 , q : x > 2$

Answer: A

Solution: 对于 $\mathrm { A } , p : A \cap B = A \Rightarrow q : A \subseteq B$ ，故 A 正确 ； 对于 B，$p : x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 _ { \text {或 } } x = 3$ ，故 B 错误； 对于 C，$p : | x | < 1 \Leftrightarrow - 1 < x < 1$ ，故 C 错误 ； 对于 D，$p : x ^ { 2 } > 2 \Leftrightarrow x > \sqrt { 2 }$ 或 $^ { x } < - \sqrt { 2 }$ ，故 D 错误。

Question 29: 30 ．设 ${ } _ { x \in \mathbf { R } }$ ，则＂ $0 < x < 1$＂是＂$\frac { 1 } { x } > 1$＂，成立的什么条件

30 ．设 ${ } _ { x \in \mathbf { R } }$ ，则＂ $0 < x < 1$＂是＂$\frac { 1 } { x } > 1$＂，成立的什么条件

  • A. A. 充分不必要
  • B. B. 必要不充分
  • C. C. 充要
  • D. D. 既不充分也不必要

Answer: C

Solution: 因为当 $0 < x < 1$ 时，$\frac { 1 } { x } > 1$ 成立， 当 $\frac { 1 } { x } > 1$ 时，$\frac { 1 - x } { x } > 0$ ，所以 $0 < x < 1$ ， 则＂ $0 < x < 1$＂是＂$\frac { 1 } { x } > 1$＂成立的充要条件，

Question 30: 31．函数 $f ( x ) = \log _ { \pi } \left( \frac { 2 x + 3 } { x - 1 } - 1 \right)$ 的定义域为（ ）

31．函数 $f ( x ) = \log _ { \pi } \left( \frac { 2 x + 3 } { x - 1 } - 1 \right)$ 的定义域为（ ）

  • A. A. $\left\{ x | x \rangle 1 _ { \text {或 } } x < - 4 \right\}$
  • B. B. $\{ x - 4 < x < 1 \}$
  • C. C. $\{ * x \neq 1 \}$
  • D. D. $\{ * x > - 4$ 且 $x \neq 1 \}$

Answer: A

Solution: 由题知 $\frac { 2 x + 3 } { x - 1 } - 1 > 0$ ，解得 $x > 1$ 或 $x < - 4$ ， 即函数 $f ( x )$ 的定义域为 $\{ * x > 1$ 或 $x < - 4 \}$ 。

Question 31: 32．设集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } \leq x \right\} , B = \left\{ x \left\lvert \, \frac { 1 } { x ...

32．设集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } \leq x \right\} , B = \left\{ x \left\lvert \, \frac { 1 } { x } \geq 1 \right. \right\}$ ，则 $A \cap B = ( \quad )$

  • A. A. $( 0,1 ]$
  • B. B. $[ 0,1 ]$
  • C. C. $( - \infty , 1 ]$
  • D. D. $( - \infty , 0 ) \cup ( 0,1 ]$

Answer: A

Solution: 求解不等式 $x ^ { 2 } \leq x$ 可得 ：$A = \{ x \mid 0 \leq x \leq 1 \}$ ， 求解不等式 $\frac { 1 } { x } \geq 1$ 可得 $B = \{ x \mid 0 < x \leq 1 \}$ ， 结合交集的定义可知 $A \cap B = ( 0,1 ]$ 。

Question 32: 33．若两个正实数 $x , y$ 满足 $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 }$ ，给出下列不等式：（1）$y < x < 1$ ；（2） $1...

33．若两个正实数 $x , y$ 满足 $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 }$ ，给出下列不等式：（1）$y < x < 1$ ；（2） $1 < x < y$ ； （3） $1 < y < x$ ；（4）$y < 1 < x$ ．其中可能成立的个数为（ ）

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. 2
  • D. D. 3

Answer: C

Solution: $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 } \Rightarrow y \mathrm { e } ^ { y - 1 } = ( 1 + \ln x ) \mathrm { e } ^ { 1 + \ln x - 1 }$, 构造函数 $f ( y ) = y \mathrm { e } ^ { y } ( y > 0 ) \Rightarrow f ^ { \prime } ( y ) = ( y + 1 ) \mathrm { e } ^ { y } > 0$ ，所以函数 $f ( y )$ 在正实数集上为增函数， 因为 $x$ 是正实数，所以由 $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 } \Rightarrow 1 + \ln x > 0$ ， 因此由 ${ } ^ { y \mathrm { e } ^ { y - 1 } } = ( 1 + \ln x ) \mathrm { e } ^ { 1 + \ln x - 1 } \Rightarrow f ( y ) = f ( 1 + \ln x ) \Rightarrow y = 1 + \ln x$ ， 令 $g ( y ) = 1 + \ln y - y \Rightarrow g ^ { \prime } ( y ) = \frac { 1 - y } { y }$ ，当 $y > 1$ 时，$g ^ { \prime } ( y ) < 0 , g ( y )$ 单调递减，当 $0 < y < 1 _ { \text {时 } , ~ } g ^ { \prime } ( y ) > 0 , g ( y )$ 单调递增，所以 $g ( y ) _ { \text {max } } = g ( 1 ) = 0$ ，于是有 $1 + \ln y - y \leq 0 \Rightarrow \ln y + 1 \leq y$ ，而 $y = 1 + \ln x$ ，所以 $y \leq x$ ，当且仅当 $y = x = 1$ 时取等号，当 $x \neq 1$ 时，$y = 1 + \ln x < x$ ，由上可知，$y < x < 1$ ，或 $1 < y < x$ ，故选：C 【点睛】关键点睛 ：对等式进行变形构造函数，利用导数的性质是解题的关键。 34 ．D 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】化不等式为 $( x - a ) ( x - 1 ) < 0$ ，分 $a > 1$ 和 $a < 1$ 两种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意和集合的表示方法，即可求解． 【详解】由题意，不等式 $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ ，可化为 $( x - a ) ( x - 1 ) < 0$ ，当 $a > 1$ 时，不等式 $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) _ { x + a < 0 }$ 解集为 $( 1 , a )$要使得不等式 $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ 的解集中恰有 3 个整数，则 $4 < a \leq 5$ ；当 $a < 1$ 时，不等式 $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ 的解集为 $( a , 1 )$要使得不等式 $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ 的解集中恰有 3 个整数，则 $- 3 \leq a < - 2$ ，综上可得，实数 ${ } ^ { a }$ 的取值范围是 $[ - 3 , - 2 ) \cup ( 4,5 ]$ ．故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合元素与集合的关系求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力。

Question 33: 34．若关于 $x$ 的不等式 $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ 的解集中恰有 3 个整数，则实数 ${ } ^ { a }$ 的取值范围是

34．若关于 $x$ 的不等式 $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ 的解集中恰有 3 个整数，则实数 ${ } ^ { a }$ 的取值范围是

  • A. A. $( 4,5 )$
  • B. B. $( - 3 , - 2 ) \cup ( 4,5 )$
  • C. C. $( 4,5 ]$
  • D. D. $[ - 3 , - 2 ) \cup ( 4,5 ]$

Answer: D

Solution:

Question 34: 35．若过点 $P ( 1 , - 1 )$ 的直线 $l$ 与直线 $y = - 2 x + 3$ 的交点位于第一象限，则直线 $l$ 斜率的范围是

35．若过点 $P ( 1 , - 1 )$ 的直线 $l$ 与直线 $y = - 2 x + 3$ 的交点位于第一象限，则直线 $l$ 斜率的范围是

  • A. A. $( - 4,2 )$
  • B. B. $( - \infty , - 4 ] \cup [ 2 , + \infty )$
  • C. C. $( - \infty , - 4 ) \cup ( 2 , + \infty )$
  • D. D. $( - \infty , - 2 ) \cup ( 2 , + \infty )$

Answer: C

Solution: 由题直线 $l$ 斜率存在，则设直线 $l$ 斜率为 $k$ ，则 $l$ 方程为：$y + 1 = k ( x - 1 )$ ． 将其与 $y = - 2 x + 3$ 联立得 ： $\left\{ \begin{array} { l } y - k x = - ( k + 1 ) \\ y + 2 x = 3 \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l } x = \frac { k + 4 } { k + 2 } \\ y = \frac { k - 2 } { k + 2 } \end{array} \right.$ ， 故交点坐标为 $\left( \frac { k + 4 } { k + 2 } , \frac { k - 2 } { k + 2 } \right)$ ．因其在第一象限，则 $\left\{ \begin{array} { l } \frac { k + 4 } { k + 2 } > 0 \\ \frac { k - 2 } { k + 2 } > 0 \end{array} \right.$ ， 解得 $k \in ( - \infty , - 4 ) \cup ( 2 , + \infty )$ ．

Question 35: 36．函数 $f ( x )$ 的定义域为 $D$ ，若满足：（1）$f ( x )$ 在 $D$ 内是单调函数；（2）存在 $[ a , b ] \subseteq D ( a < b )$ ，使得...

36．函数 $f ( x )$ 的定义域为 $D$ ，若满足：（1）$f ( x )$ 在 $D$ 内是单调函数；（2）存在 $[ a , b ] \subseteq D ( a < b )$ ，使得 $f ( x )$ 在 ${ } ^ { [ a , b ] }$ 上的值域也是 ${ } ^ { [ a , b ] }$ ，则称 ${ } ^ { y = f ( x ) }$ 为高斯函数．若 $f ( x ) = k + \sqrt { x - 3 }$ 是高斯函数，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）

  • A. A. $\left[ \frac { 11 } { 4 } , 3 \right]$
  • B. B. $\left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 11 } { 4 } \right)$
  • C. C. $\left( \frac { 11 } { 4 } , + \infty \right)$
  • D. D. $\left( \frac { 11 } { 4 } , 3 \right]$

Answer: D

Solution: 因为 $f ( x ) = k + \sqrt { x - 3 }$ 在 $x \in [ 3 , + \infty )$ 上单调递增， 由题意知 $\left\{ \begin{array} { l } f ( a ) = k + \sqrt { a - 3 } = a \\ f ( b ) = k + \sqrt { b - 3 } = b \end{array} \right.$ ， 所以 $a , b _ { \text {是方程 } } k + \sqrt { x - 3 } = x _ { \text {在 } } x \in [ 3 , + \infty )$ 上的两个不等实根， 令 $t = \sqrt { x - 3 } ( t \geq 0 )$ ，则 $x = t ^ { 2 } + 3 ( t \geq 0 )$ ， 所以 $t ^ { 2 } - t + 3 - k = 0 _ { \text {在 } } t \in [ 0 , + \infty )$ 上有两个不等实根， 令 $g ( t ) = t ^ { 2 } - t + 3 - k$ ，对称轴 $t = \frac { 1 } { 2 }$ ， 则 $\left\{ \begin{array} { l } g ( 0 ) \geq 0 \\ \Delta = 1 - 4 \times ( 3 - k ) > 0 \end{array} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{array} { l } 3 - k \geq 0 \\ 4 k - 11 > 0 \end{array} \right.$ ，解得 $\frac { 11 } { 4 } < k \leq 3$ ， 所以实数 $k$ 的取值范围是 $\left( \frac { 11 } { 4 } , 3 \right]$ ．

Question 36: 38．不等式 ${ } ^ { 2 x ^ { 2 } - a x y + y ^ { 2 } \geq 0 }$ ，对于任意 $1 \leq x \leq 2$ 及 $1 \leq y \leq 3...

38．不等式 ${ } ^ { 2 x ^ { 2 } - a x y + y ^ { 2 } \geq 0 }$ ，对于任意 $1 \leq x \leq 2$ 及 $1 \leq y \leq 3$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围 是

  • A. A. $\{ a \mid a \leq 2 \sqrt { 2 } \}$
  • B. B. $\{ a \mid a \geq 2 \sqrt { 2 } \}$
  • C. C. $\left\{ a \left\lvert \, a \leq \frac { 1 } { 3 } \right. \right\}$
  • D. D. $\left\{ a \left\lvert \, a \leq \frac { 9 } { 2 } \right. \right\}$

Answer: A

Solution: 由 $y \in [ 1,3 ]$ ，则不等式 $2 x ^ { 2 } - a x y + y ^ { 2 } \geq 0$ 两边同时乘以 $\frac { 1 } { y ^ { 2 } }$ 不等式可化为： $2 \frac { \partial \ddot { q } } { \partial y } - a \frac { \partial \ddot { \dot { y } } } { \dot { \bar { t } } } 1 ^ { 3 } 0$, 令 $t = \frac { x } { y }$ ，则不等式转化为： $2 t ^ { 2 } - a t + 1 \geq 0$ ，在 $t \in \left[ \frac { 1 } { 3 } , 2 \right]$ 上恒成立，由 $2 t ^ { 2 } - a t + 1 \geq 0$ 可得 ![](/images/questions/inequality/image-004.jpg) 又 $2 t + \frac { 1 } { t } \geq 2 \sqrt { 2 t \times \frac { 1 } { t } } = 2 \sqrt { 2 }$ ，当且仅当 $t = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ 时取等号，所以当 $t = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ 时， $2 t + \frac { 1 } { t }$ 取得最小值 $2 \sqrt { 2 }$ ， 故可得 $a \leq 2 \sqrt { 2 }$ ．

Question 37: 39．若实数 $a , b , c$ 满足 $| a - c | < | b |$ ，则下列不等式一定成立的是

39．若实数 $a , b , c$ 满足 $| a - c | < | b |$ ，则下列不等式一定成立的是

  • A. A. $| a | > | b | - | c |$
  • B. B. $| a | < | b | + | c |$
  • C. C. $a > c - b$
  • D. D. $a < b + c$

Answer: B

Solution: 取 $a = 1 , b = 10 , c = 2$ ，满足 $| a - c | < | b |$ ，而 $| a | < | b | - | c |$ ，选项 $A$ 错误 ； 取 $a = - 2 , b = - 10 , c = - 4$ ，满足 $| a - c | < | b |$ ，而 $a < c - b$ ，选项 $C$ 错误 ； 取 $a = - 2 , b = - 10 , c = - 4$ ，满足 $| a - c | < | b |$ ，而 $a > b + c$ ，选项 $D$ 错误 ； 对于选项 $B$ ，由绝对值不等式的性质可知 $| a - c | \geq | a | - | c |$ ， 由题意可知 $| a - c | < | b |$ ， 由不等式的传递性可知 $| a | - | c | < | b |$ ，即 $| a | < | b | + | c |$ ，选项 $B$ 的说法正确。 本题选择 $B$ 选项． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． $40 . \mathrm { D }$ 【知识点】已知模求数量积、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先由条件根据向量模的公式可计算出 $a \cdot b = - \frac { 3 } { 2 }$ ，然后再将不等式恒成立转化为 $36 t ^ { 2 } - 6 k t + 4 k ^ { 2 } - 1 > 0$ 对任意实数 $t$ 恒成立，根据一元二次不等式恒成立的判定条件列出不等式求解即可。 【详解】因为 $| a - b | = 4$ ，所以 $| a - b | ^ { 2 } = ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a \cdot b = | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } - 2 a \cdot b = 16$ ， 即 $4 + 9 - 2 a \cdot b = 16$ ，所以 $a \cdot b = - \frac { 3 } { 2 }$ ， 所以 $| k a + 2 t b | ^ { 2 } = k ^ { 2 } a ^ { 2 } + 4 t ^ { 2 } b ^ { 2 } + 4 k t a \cdot b = k ^ { 2 } | a | ^ { 2 } + 4 t ^ { 2 } | b | ^ { 2 } + 4 k t a \cdot b = 4 k ^ { 2 } + 36 t ^ { 2 } - 6 k t$ 因为对任意实数 $t , | k a + 2 t b | > 1 ( k > 0 )$ 恒成立， 所以 $36 t ^ { 2 } - 6 k t + 4 k ^ { 2 } - 1 > 0$ 对任意实数 $t$ 恒成立， 所以只需 $\Delta = 36 k ^ { 2 } - 144 \left( 4 k ^ { 2 } - 1 \right) < 0$ ，因为 $k > 0$ ，所以解得 $k > \frac { 2 \sqrt { 15 } } { 15 }$ ．

Question 38: 40．已知 $| a | = 2 , | b | = 3 , | a - b | = 4$ ，若对任意实数 $t , | k a + 2 t b | > 1 ( k > 0 )$ 恒成立，则 $k$ ...

40．已知 $| a | = 2 , | b | = 3 , | a - b | = 4$ ，若对任意实数 $t , | k a + 2 t b | > 1 ( k > 0 )$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是（ ） 《2025年10月29日高中数学作业》

  • A. A. $( 0 , \sqrt { 3 } )$
  • B. B. $\left( 0 , \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \right)$
  • C. C. $[ \sqrt { 3 } , + \infty )$
  • D. D. $\left( \frac { 2 \sqrt { 15 } } { 15 } , + \infty \right)$

Answer: D

Solution:
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不等式

38 练习题

知识点概述

不等式是数学中比较数值大小关系的核心内容，在CSCA考试中常与函数、集合、绝对值等知识点结合考查。题目通常要求求解不等式解集、判断条件关系或分析函数图像对应的不等式范围。掌握基本解法并理解数形结合思想是应对这类问题的关键。

题目数量:38

重点内容

  • 1一元二次不等式的解集与二次函数图像的关系
  • 2绝对值不等式的解法与几何意义
  • 3不等式与集合运算的交汇（如交集、补集）
  • 4利用不等式判断条件之间的充分必要性

学习建议

建议结合函数图像理解不等式解集，并通过分类讨论法系统练习含绝对值或参数的不等式。

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