基本初等函数

Question 1

Question 1: 1．已知角 $2 \alpha$ 的终边在 $x$ 轴上方，那么角 $\alpha$ 的范围是（）

1．已知角 $2 \alpha$ 的终边在 $x$ 轴上方，那么角 $\alpha$ 的范围是（）

A. A. 第一象限角的集合
B. B. 第一或第二象限角的集合
C. C. 第一或第三象限角的集合
D. D. 第一或第四象限角的集合

Answer

Answer: C

Solution: 由题意， $2 k \pi < 2 \alpha < ( 2 k + 1 ) \pi$ 且 $_ { k \in \mathrm { Z } }$ ，则 $k \pi < \alpha < k \pi + \frac { \pi } { 2 }$ ， $\therefore$ 角 $\alpha$ 的范围是第一或第三象限角的集合．

Question 2

Question 2: 2 ．将函数 $f ( x )$ 图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍，得到函数 $g ( x ) = \cos 2 x$ 的图象，则 $f ( x )$ 是

2 ．将函数 $f ( x )$ 图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍，得到函数 $g ( x ) = \cos 2 x$ 的图象，则 $f ( x )$ 是

A. A. 周期为 $2 \pi$ 的偶函数
B. B. 周期为 $2 \pi$ 的奇函数
C. C. 周期为 $\frac { \pi } { 2 }$ 的偶函数
D. D. 周期为 $\frac { \pi } { 2 }$ 的奇函数

Answer

Answer: C

Solution: 将函数 $f ( x )$ 图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍，得到函数 $g ( x ) = \cos 2 x$ 的图象，则 $f ( x ) = \cos 4 x$ ，故它是周期为 $\frac { 2 \pi } { 4 } = \frac { \pi } { 2 }$ 的偶函数．

Question 3

Question 3: 3．将函数 $y = \sin \left( x + \frac { \pi } { 3 } \right)$ 的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度后，所得图象对应的...

3．将函数 $y = \sin \left( x + \frac { \pi } { 3 } \right)$ 的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为

A. A. $y = \sin \left( x + \frac { \pi } { 6 } \right)$
B. B. $y = \sin \left( x - \frac { \pi } { 6 } \right)$
C. C. $y = \cos x$
D. D. $y = - \cos x$

Answer

Answer: A

Solution: 将函数 $y = \sin \left( x + \frac { \pi } { 3 } \right)$ 的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为 $y = \sin \left[ \left( x - \frac { \pi } { 6 } \right) + \frac { \pi } { 3 } \right]$ ，即 $y = \sin \left( x + \frac { \pi } { 6 } \right)$ ．

Question 4

Question 4: 6．若 ${ } ^ { f ( x ) }$ 为幂函数，且 ${ } ^ { f ( x ) }$ 在 $^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调递减，则 ${ } ^ { f ( x...

6．若 ${ } ^ { f ( x ) }$ 为幂函数，且 ${ } ^ { f ( x ) }$ 在 $^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调递减，则 ${ } ^ { f ( x ) }$ 的解析式可以是

A. A. $f ( x ) = - x ^ { 2 }$
B. B. $f ( x ) = \frac { 2 } { x }$
C. C. $f ( x ) = x ^ { 3 }$
D. D. $f ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$

Answer

Answer: D

Solution: 因为幂函数的图象都经过点 ${ } ^ { ( 1,1 ) }$ ，显然选项 A ，B 都不满足，即 A，B 都不是幂函数；而函数 $f ( x ) = x ^ { 3 }$ 是幂函数，但在 $( 0 , + \infty )$ 上单调递增，C 不符合要求； $f ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = x ^ { - 2 }$ 是幂函数，且在 $( 0 , + \infty )$ 上单调递减，D满足。

Question 5

Question 5: 7．函数 $y = 3 ^ { x }$ 的值域为（）

7．函数 $y = 3 ^ { x }$ 的值域为（）

A. A. $( 0 , + \infty )$
B. B. $[ 1 , + \infty )$
C. C. $( 0,1 ]$
D. D. $( 0,3 ]$

Answer

Answer: A

Solution: 解：$\because$ 由于 $3 ^ { x } > 0$ ， $\therefore$ 函数 $y = 3 ^ { x }$ 的值域为 $( 0 , + \infty )$ ，

Question 6

Question 6: 8．已知 ${ } _ { \pi < \alpha < 2 \pi } , \sin \alpha + \cos \alpha = \frac { 1 } { 5 }$ ，则 ${ } _ { \t...

8．已知 ${ } _ { \pi < \alpha < 2 \pi } , \sin \alpha + \cos \alpha = \frac { 1 } { 5 }$ ，则 ${ } _ { \tan \alpha }$ 等于（）

A. A. $- \frac { 3 } { 4 }$
B. B. $- \frac { 3 } { 4 }$ 或 $- \frac { 4 } { 3 }$
C. C. $\frac { 3 } { 4 }$ 或 $\frac { 4 } { 3 }$
D. D. $\frac { 3 } { 5 }$

Answer

Answer: A

Solution: 解：$\because _ { \pi < \alpha < 2 \pi } , \sin \alpha + \cos \alpha = \frac { 1 } { 5 }$ ， $\therefore$ 平方可得 $1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac { 1 } { 25 }$ ，即 $\sin \alpha \cos \alpha = - \frac { 12 } { 25 } < 0$ ， $\therefore \begin{array} { l l } \sin \alpha < 0 & , \cos \alpha > 0 \end{array}$ ， $\because \sin ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \alpha = 1$ 可得： $\left( \frac { 1 } { 5 } - \cos \alpha \right) ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \alpha = 1$ ，解得： $\cos \alpha = \frac { 4 } { 5 }$ ，或 $- \frac { 3 } { 5 }$（舍去）， $\therefore \sin \alpha = \frac { 1 } { 5 } - \frac { 4 } { 5 } = - \frac { 3 } { 5 }$ ，可得： $\tan \alpha = - \frac { 3 } { 4 }$ ．

Question 7

Question 7: 9．已知 $\sin \left( \frac { \pi } { 6 } + \alpha \right) = - \frac { 4 } { 5 }$ ，则 $\cos \left( \frac ...

9．已知 $\sin \left( \frac { \pi } { 6 } + \alpha \right) = - \frac { 4 } { 5 }$ ，则 $\cos \left( \frac { \pi } { 3 } - \alpha \right) =$ ．

A. A. $\frac { 4 } { 5 }$
B. B. $\frac { 3 } { 5 }$
C. C. $- \frac { 4 } { 5 }$
D. D. $- \frac { 3 } { 5 }$

Answer

Answer: C

Solution: 解：$\because \sin \left( \frac { \pi } { 6 } + \alpha \right) = - \frac { 4 } { 5 }$ ， $\therefore \cos \left( \frac { \pi } { 3 } - \alpha \right) = \cos \left[ \frac { \pi } { 2 } - \left( \frac { \pi } { 6 } + \alpha \right) \right] = \sin \left( \frac { \pi } { 6 } + \alpha \right) = - \frac { 4 } { 5 }$,

Question 8

Question 8: 10．已知 $\sqrt [ 3 ] { a ^ { 4 } } \cdot a ^ { \frac { 1 } { 4 } } \cdot a ^ { \frac { 5 } { 12 } } = ...

10．已知 $\sqrt [ 3 ] { a ^ { 4 } } \cdot a ^ { \frac { 1 } { 4 } } \cdot a ^ { \frac { 5 } { 12 } } = 4$ ，则 $a =$

A. A. 2
B. B. - 2
C. C. 4
D. D. 2 或－2

Answer

Answer: A

Solution: 因为 $\sqrt [ 3 ] { a ^ { 4 } } \cdot a ^ { \frac { 1 } { 4 } } \cdot a ^ { \frac { 5 } { 12 } } = a ^ { \frac { 4 } { 3 } } \cdot a ^ { \frac { 1 } { 4 } } \cdot a ^ { \frac { 5 } { 12 } } = a ^ { 2 }$ ，所以 $a ^ { 2 } = 4$ ，解得 $a = \pm 2$ ；要使得等式有意义，则 $a > 0$ ，所以 $a = 2$ ；

Question 9

Question 9: 11．下列各角中与 $985 ^ { \circ }$ 终边相同的角为

11．下列各角中与 $985 ^ { \circ }$ 终边相同的角为

A. A. $165 ^ { \circ }$
B. B. $265 ^ { \circ }$
C. C. ${ } ^ { 85 ^ { \circ } }$
D. D. $- 105 ^ { \circ }$

Answer

Answer: B

Solution: 运用终点相同的角概念知道，与 $985 ^ { \circ }$ 终边相同的角为 $985 ^ { \circ } + k 360 ^ { \circ } ( k \in Z )$ 则当 $k = 2,985 ^ { \circ } - 360 ^ { \circ } \times 2 = 265 ^ { \circ }$ 。

Question 10

Question 10: 12．若一扇形的圆心角为 $108 ^ { \circ }$ ，半径为 10 cm ，则扇形的面积为

12．若一扇形的圆心角为 $108 ^ { \circ }$ ，半径为 10 cm ，则扇形的面积为

A. A. $30 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
B. B. $60 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
C. C. $5400 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
D. D. $10800 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$

Answer

Answer: A

Solution: 扇形的圆心角为 $108 ^ { \circ } = \frac { 3 \pi } { 5 }$ ，半径为 10 cm ，则扇形的面积为 $\frac { 1 } { 2 } \times \frac { 3 \pi } { 5 } \times 10 ^ { 2 } = 30 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$ 。

Question 11

Question 11: 13．若 $a = \ln 2 , b = 5 ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , c = \int ^ { 1 } x d x$ ，则 $a , b , c$ 的大小关系

13．若 $a = \ln 2 , b = 5 ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , c = \int ^ { 1 } x d x$ ，则 $a , b , c$ 的大小关系

A. A. $a < b < c$
B. B. $b < a < c$
C. C. $b < c < a$
D. D. $c < b < a$

Answer

Answer: C

Solution: $\because \frac { 1 } { 2 } = \ln \sqrt { e } < \ln 2 < \ln e = 1$ $\therefore \frac { 1 } { 2 } < a < 1$ $\because b = 5 ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } < \frac { 1 } { 2 } , \quad c = \int _ { 0 } ^ { 1 } x \mathrm {~d} x = \left. \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right| _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ $\therefore b < c < a$

Question 12

Question 12: 14 ．同时具有以下性质：＂（1）最小正周期是 $\pi$ ，（2）在区间 $\left[ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 6 } \right]$ 上...

14 ．同时具有以下性质：＂（1）最小正周期是 $\pi$ ，（2）在区间 $\left[ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 6 } \right]$ 上是增函数＂的一个函数是

A. A. $y = \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right)$
B. B. $y = \sin \left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 6 } \right)$
C. C. $y = \cos \left( \frac { 1 } { 2 } x + \frac { \pi } { 3 } \right)$
D. D. $y = \cos \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right)$

Answer

Answer: A

Solution: 对于 A，$y = \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right)$ 的周期 $T = \frac { 2 \pi } { 2 } = \pi$ ，当 $- \frac { \pi } { 6 } \leq x \leq \frac { \pi } { 6 }$ 时，$- \frac { \pi } { 2 } \leq 2 x - \frac { \pi } { 6 } \leq \frac { \pi } { 6 }$ ，所以函数在区间 $\left[ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 6 } \right]$ 上是增函数，正确；对于 B，$y = \sin \left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 6 } \right)$ 的周期 $T = \frac { 2 \pi } { \frac { 1 } { 2 } } = 4 \pi$ ，不符合题意；对于 C，$y = \cos \left( \frac { 1 } { 2 } x + \frac { \pi } { 3 } \right)$ 的周期 $T = \frac { 2 \pi } { \frac { 1 } { 2 } } = 4 \pi$ ，不符合题意；对于 D，$y = \cos \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right)$ 的周期 $T = \frac { 2 \pi } { 2 } = \pi$ ，当 $- \frac { \pi } { 6 } \leq x \leq \frac { \pi } { 6 }$ 时，$- \frac { \pi } { 2 } \leq 2 x - \frac { \pi } { 6 } \leq \frac { \pi } { 6 }$ ，所以函数在区间 $\left[ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 6 } \right]$ 上先增后减，不符合题意；

Question 13

Question 13: 15．已知角 $\theta ^ { \text {的终边过点 } P ( 3,2 ) \text { ，则 } \frac { \sin 2 \theta } { 2 \cos ^ { 2 } \t...

15．已知角 $\theta ^ { \text {的终边过点 } P ( 3,2 ) \text { ，则 } \frac { \sin 2 \theta } { 2 \cos ^ { 2 } \theta - 3 \sin ^ { 2 } \theta } = }$

A. A. 2
B. B. 2
C. C. $\frac { 5 } { 2 }$
D. D. 3

Answer

Answer: B

Solution: 因为角 $\theta$ 的终边过点 $P ( 3,2 )$ ，所以 $\tan \theta = \frac { 2 } { 3 }$ ，所以 $\frac { \sin 2 \theta } { 2 \cos ^ { 2 } \theta - 3 \sin ^ { 2 } \theta } = \frac { 2 \sin \theta \cos \theta } { 2 \cos ^ { 2 } \theta - 3 \sin ^ { 2 } \theta } = \frac { 2 \tan \theta } { 2 - 3 \tan ^ { 2 } \theta } = \frac { 2 \times \frac { 2 } { 3 } } { 2 - 3 \times \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } } = 2$ ．

Question 14

Question 14: 16．已知函数 $f ( x ) _ { \text {满足 } } f ( x ) - f ( \pi - x ) = 0$ ，且在区间 $\left( \frac { \pi } { 4 } , ...

16．已知函数 $f ( x ) _ { \text {满足 } } f ( x ) - f ( \pi - x ) = 0$ ，且在区间 $\left( \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 2 } \right)$ 上单调递减，则 $f ( x ) _ { \text {的解析式 } }$ 可能是

A. A. $f ( x ) = \sin x$
B. B. $f ( x ) = \sin 2 x$
C. C. $f ( x ) = \cos x$
D. D. $f ( x ) = \cos 2 x$

Answer

Answer: D

Solution: 由题意 $f ( x ) = f ( \pi - x )$ ，所以直线 $x = \frac { \pi } { 2 }$ 是 $f ( x )$ 图象的对称轴，可以排除选项 B，C．又因为 $f ( x )$ 在区间 $\left( \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 2 } \right)$ 上单调递减，排除 A．

Question 15

Question 15: 17．已知函数 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } + \sin x + a$ ，若 $f ( \ln m ) = 1...

17．已知函数 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } + \sin x + a$ ，若 $f ( \ln m ) = 1 , f \left( \ln \frac { 1 } { m } \right) = 3$ ，则 $a =$

A. A. 1
B. B. 2
C. C. - 1
D. D. - 2

Answer

Answer: B

Solution: 由函数 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } + \sin x + a$ ，可得 $f ( - x ) + f ( x ) = 2 a$ 。因为 $f \left( \ln \frac { 1 } { m } \right) = f ( - \ln m ) = 3 , f ( \ln m ) = 1$ ，所以 $f ( \ln m ) + f \left( \ln \frac { 1 } { m } \right) = 1 + 3 = 4 = 2 a$ 。所以 $a = 2$ ．

Question 16

Question 16: 18．已知 $\tan \alpha = - 2$ ，则 $\frac { \sin ( \pi + 2 \alpha ) } { \cos ^ { 2 } \alpha }$ 的值为

18．已知 $\tan \alpha = - 2$ ，则 $\frac { \sin ( \pi + 2 \alpha ) } { \cos ^ { 2 } \alpha }$ 的值为

A. A. 4
B. B. 2
C. C. - 2
D. D. - 4

Answer

Answer: A

Solution: $\because \tan \alpha = - 2$ ， $\therefore \frac { \sin ( \pi + 2 \alpha ) } { \cos ^ { 2 } \alpha } = \frac { - \sin 2 \alpha } { \cos ^ { 2 } \alpha } = \frac { - 2 \sin \alpha \cos \alpha } { \cos ^ { 2 } \alpha } = - 2 \tan \alpha = 4$ ．

Question 17

Question 17: 19．已知 $2 ^ { m } = 3 ^ { n } = 36$ ，则 $\frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n } =$

19．已知 $2 ^ { m } = 3 ^ { n } = 36$ ，则 $\frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n } =$

A. A. 1
B. B. 2
C. C. $\frac { 1 } { 6 }$
D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: D

Solution: 由题，因为 $2 ^ { m } = 3 ^ { n } = 36$ ，则 $m = \log _ { 2 } 36 , n = \log _ { 3 } 36$ ，所以 $\frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n } = \log _ { 36 } 2 + \log _ { 36 } 3 = \log _ { 36 } ( 2 \times 3 ) = \log _ { 36 } 6 = \frac { \log _ { 6 } 6 } { \log _ { 6 } 36 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，

Question 18

Question 18: 20．函数 $f ( x ) = \sin x \cos x + \cos ^ { 2 } x$ 的最大值为

20．函数 $f ( x ) = \sin x \cos x + \cos ^ { 2 } x$ 的最大值为

A. A. $\frac { \sqrt { 2 } + 1 } { 2 }$
B. B. 1
C. C. $\frac { - \sqrt { 2 } + 1 } { 2 }$
D. D. $\sqrt { 2 }$

Answer

Answer: A

Solution: $f ( x ) = \sin x \cos x + \cos ^ { 2 } x = \frac { 1 } { 2 } \sin 2 x + \frac { 1 + \cos 2 x } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \sin 2 x + \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x + \frac { 1 } { 2 }$ $= \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \left( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \sin 2 x + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \cos 2 x \right) + \frac { 1 } { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \left( \sin 2 x \cos \frac { \pi } { 4 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \cos 2 x \sin \frac { \pi } { 4 } \right) + \frac { 1 } { 2 }$ $= \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \sin \left( 2 x + \frac { \pi } { 4 } \right) + \frac { 1 } { 2 }$ ，因为 $x \in \mathrm { R }$ ，所以 $2 x + \frac { \pi } { 4 } \in \mathrm { R }$ ，当 $2 x + \frac { \pi } { 4 } = \frac { \pi } { 2 } + 2 k \pi , k \in \mathrm { Z }$ 时，$f ( x ) _ { \text {取得最大值，即 } } f ( x ) = \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { 2 }$ ．

Question 19

Question 19: 21 ．函数 $$ y = \log _ { a } ( 4 x - 1 ) \quad , \quad ( a > 0 \text { 且 } a \neq 1 ) \quad \text { 图...

21 ．函数 $$ y = \log _ { a } ( 4 x - 1 ) \quad , \quad ( a > 0 \text { 且 } a \neq 1 ) \quad \text { 图象必过的定点是 } $$

A. A. $\left( \frac { 1 } { 4 } , 1 \right)$
B. B. $( 1,0 )$
C. C. $( 0,1 )$
D. D. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$

Answer

Answer: D

Solution: 试题分析：令 $4 x - 1 = 1 , x = \frac { 1 } { 2 }$ ，此时 $y = 0$ ，故函数的图象经过定点 $\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$ ，所以 D 选项是正确的．考点：对数函数的图象．

Question 20

Question 20: 22．设 ${ } ^ { a = \log _ { 3 } \pi } , b = \ln 2 , c = \cos 2$ ，则

22．设 ${ } ^ { a = \log _ { 3 } \pi } , b = \ln 2 , c = \cos 2$ ，则

A. A. $b > c > a$
B. B. $b > a > c$
C. C. $a > b > c$
D. D. $a > c > b$

Answer

Answer: C

Solution: 由题意，根据对数函数的单调性，可得 $a = \log _ { 3 } \pi > \log _ { 3 } 3 = 1$ ， $b = \ln 2 > \ln 1 = 0 , b = \ln 2 < \ln e = 1$ ，即 $b \in ( 0,1 )$ ，又由 $c = \cos 2 < 0$ ，所以 $a > b > c$ ，故选 C．【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中根据对数函数的单调性和余弦函数的性质，得到 $a , b , c$ 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

Question 21

Question 21: 23 ．下列函数中，在 $\mathbf { R }$ 上单调递增的是（）

23 ．下列函数中，在 $\mathbf { R }$ 上单调递增的是（）

A. A. $f ( x ) = \tan x$
B. B. $f ( x ) = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x }$
C. C. $f ( x ) = x ^ { \frac { 1 } { 2 } }$
D. D. $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } x - 1 , x \leq 1 \\ \ln x , x > 1 \end{array} \right.$

Answer

Answer: D

Solution: 对于 A，$f ( x ) = \tan x$ 在 $\left( - \frac { \pi } { 2 } + k \pi , \frac { \pi } { 2 } + k \pi \right) , k \in \mathbf { Z }$ 上单调递增，故 A 错误；对于 B，$f ( x ) = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x }$ 在 $\mathbf { R }$ 上单调递减，故 B 错误；对于 C，$f ( x ) = x ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ 的定义域为 $[ 0 , + \infty )$ ，且在 $[ 0 , + \infty )$ 上单调递增，故 C 错误；对于 D，$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } x - 1 , x \leq 1 \\ \ln x , x > 1 , \end{array} \right.$ 当 $x \leq 1$ 时，函数 $y = x - 1$ 单调递增，且 $y = x - 1 \leq 0$ ；当 $x > 1$ 时，$y = \ln x$ 单调递增，且 ${ } ^ { y = \ln x > 0 }$ ；所以函数 $f ( x )$ 在 $\mathbf { R }$ 上单调递增，故 D 正确．

Question 22

Question 22: 24 ．在等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项中均为正数，公比 $q \neq 1$ ，设 $P = \frac { 1 } { 2 } \left( \log ...

24 ．在等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项中均为正数，公比 $q \neq 1$ ，设 $P = \frac { 1 } { 2 } \left( \log _ { 0.5 } a _ { 5 } + \log _ { 0.5 } a _ { 7 } \right)$ ， $Q = \log _ { 0.5 } \frac { a _ { 3 } + a _ { 9 } } { 2 }$ ，则 ${ } _ { P }$ 与 $_ { Q }$ 的大小关系是（）

A. A. $P \geq Q$
B. B. $P < Q$
C. C. $P \leq Q$
D. D. $P > Q$

Answer

Answer: D

Solution: $P = \frac { 1 } { 2 } \left( \log _ { 0.5 } a _ { 5 } + \log _ { 0.5 } a _ { 7 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \log _ { 0.5 } a _ { 5 } a _ { 7 } = \log _ { 0.5 } \sqrt { a _ { 5 } a _ { 7 } } = \log _ { 0.5 } a _ { 6 }$ ， $Q = \log _ { 0.5 } \frac { a _ { 3 } + a _ { 9 } } { 2 } \leq \log _ { 0.5 } \sqrt { a _ { 3 } a _ { 9 } } = \log _ { 0.5 } a _ { 6 }$（当且仅当 $a _ { 3 } = a _ { 9 }$ 时取等号）， $\because \left\{ a _ { n } \right\}$ 各项均为正数且 $q \neq 1 , \therefore a _ { 3 } \neq a _ { 9 } , \therefore Q < \log _ { 0.5 } a _ { 6 }$ ． $\therefore P > Q$

Question 23

Question 23: 25．无论 ${ } ^ { a }$ 取何值，函数 $f ( x ) = \log _ { a } x - 2$ 的图象必过点

25．无论 ${ } ^ { a }$ 取何值，函数 $f ( x ) = \log _ { a } x - 2$ 的图象必过点

A. A. $( 0 , - 2 )$
B. B. $( 1,0 )$
C. C. $( 1 , - 2 )$
D. D. $( 0,2 )$

Answer

Answer: C

Solution: 试题分析：当 $x = 1$ 时，函数值恒为 - 2 ，故定点为 $( 1 , - 2 )$ ．考点：指数函数图象过定点。

Question 24

Question 24: 26．已知定义在 $\mathbf { R }$ 上的函数 $f ( x )$ 满足 $f ( - x ) + f ( x ) = 0$ ，且当 $x \leq 0$ 时，$f ( x ) = \fr...

26．已知定义在 $\mathbf { R }$ 上的函数 $f ( x )$ 满足 $f ( - x ) + f ( x ) = 0$ ，且当 $x \leq 0$ 时，$f ( x ) = \frac { - 2 } { 2 ^ { x } } + 2$ ，则 $f ( 1 ) =$

A. A. 2
B. B. 4
C. C. - 2
D. D. - 4

Answer

Answer: A

Solution: 由题意可知：函数 $f ( x )$ 为奇函数，当 $x \leq 0$ 时，$f ( x ) = \frac { - 2 } { 2 ^ { x } } + 2$ ，所以 $f ( 1 ) = - f ( - 1 ) = - \left[ \left( \frac { - 2 } { 2 ^ { - 1 } } \right) + 2 \right] = 2$ 。

Question 25

Question 25: 28．已知 $a > 0 , b > 0 , a \neq 1 , b \neq 1 , a b \neq 1 , \log _ { a } m = 4 , \log _ { b } m = 6$ ，...

28．已知 $a > 0 , b > 0 , a \neq 1 , b \neq 1 , a b \neq 1 , \log _ { a } m = 4 , \log _ { b } m = 6$ ，则 $\log _ { a b } m =$

A. A. $\frac { 1 } { 5 }$
B. B. $\frac { 1 } { 24 }$
C. C. $\frac { 5 } { 12 }$
D. D. $\frac { 12 } { 5 }$

Answer

Answer: D

Solution: $\because \log _ { a } m = 4 , \log _ { b } m = 6 , \therefore \log _ { m } a = \frac { 1 } { \log _ { a } m } = \frac { 1 } { 4 } , \log _ { m } b = \frac { 1 } { \log _ { b } m } = \frac { 1 } { 6 }$ ， $\therefore \log _ { m } a + \log _ { m } b = \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 6 } = \frac { 5 } { 12 } = \log _ { m } a b , \quad \therefore \log _ { a b } m = \frac { 12 } { 5 }$ ．

Question 26

Question 26: 29．已知 $\sin \varphi = - \frac { 3 } { 5 }$ ，且 $| \varphi | < \frac { \pi } { 2 }$ ，则 $\tan \varphi =...

29．已知 $\sin \varphi = - \frac { 3 } { 5 }$ ，且 $| \varphi | < \frac { \pi } { 2 }$ ，则 $\tan \varphi =$

A. A. $- \frac { 4 } { 3 }$
B. B. $\frac { 4 } { 3 }$
C. C. $- \frac { 3 } { 4 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: C

Solution: 因为 $| \varphi | < \frac { \pi } { 2 }$ ，则 $\cos \varphi > 0$ ，又 $\sin \varphi = - \frac { 3 } { 5 }$ ，所以 $\cos \varphi = \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } \varphi } = \frac { 4 } { 5 }$ ，则 $\tan \varphi = \frac { \sin \varphi } { \cos \varphi } = - \frac { 3 } { 4 }$ ．

Question 27

Question 27: 30．若 $\sqrt [ n ] { a ^ { n } } + ( \sqrt [ n + 1 ] { a } ) ^ { n + 1 } = 0 , a \neq 0$ ，且 $n \in \m...

30．若 $\sqrt [ n ] { a ^ { n } } + ( \sqrt [ n + 1 ] { a } ) ^ { n + 1 } = 0 , a \neq 0$ ，且 $n \in \mathbf { N } ^ { * } , n \geq 2$ ，则

A. A. $a > 0$ ，且 $n$ 为偶数
B. B. $a < 0$ ，且 $n$ 为偶数
C. C. $a > 0$ ，且 $n$ 为奇数
D. D. $a < 0$ ，且 $n$ 为奇数

Answer

Answer: B

Question 28

Question 28: 31．若 $M = \{ x \mid - 2 \leq x \leq 2 \} , N = \left\{ x \mid y = \log _ { 2 } ( x - 1 ) \right\}$ ，...

31．若 $M = \{ x \mid - 2 \leq x \leq 2 \} , N = \left\{ x \mid y = \log _ { 2 } ( x - 1 ) \right\}$ ，则 $M \cap N =$

A. A. $\{ x \mid - 2 \leq x < 0 \}$
B. B. $\{ x \mid - 1 < x < 0 \}$
C. C. $\{ x \mid - 2 < x < 0 \}$
D. D. $\{ x \mid 1 < x \leq 2 \}$

Answer

Answer: D

Solution: 解：因为 $N = \left\{ x \mid y = \log _ { 2 } ( x - 1 ) \right\}$ ，所以 $N = \{ x \mid x > 1 \} , ~ \because ^ { M } = \{ x \mid - 2 \leq x \leq 2 \}$ ， $\therefore M \cap N = \{ x \mid 1 < x \leq 2 \}$ ，

Question 29

Question 29: 32．若关于 ${ } _ { x }$ 的不等式 $\frac { \cos x - 2 } { x ^ { 2 } - m x - n } > 0$ 的解集为 $( - 2,3 )$ ，则 $m ...

32．若关于 ${ } _ { x }$ 的不等式 $\frac { \cos x - 2 } { x ^ { 2 } - m x - n } > 0$ 的解集为 $( - 2,3 )$ ，则 $m n =$

A. A. 5
B. B. - 5
C. C. 6
D. D. - 6

Answer

Answer: C

Question 30

Question 30: 33．若函数 $f ( x ) = 2 \sin ^ { 2 } \left( x - \frac { \pi } { 4 } \right) + \sqrt { 3 } \sin \left( 2 ...

33．若函数 $f ( x ) = 2 \sin ^ { 2 } \left( x - \frac { \pi } { 4 } \right) + \sqrt { 3 } \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right) - 1$ ，则下列结论不正确的是（）

A. A. 函数 $f ( x )$ 的最小正周期为 $\frac { \pi } { 2 }$
B. B. 函数 $f ( x )$ 在区间 $\left[ - \frac { \pi } { 12 } , \frac { 5 \pi } { 12 } \right]$ 上单调递增
C. C. 函数 $f ( x )$ 图象关于 ${ } ^ { x = - \frac { \pi } { 12 } }$ 对称
D. D. 函数 $f ( x )$ 的图象关于点 $\left( \frac { 2 \pi } { 3 } , 0 \right)$ 对称

Answer

Answer: A

Solution: 根据二倍角公式和诱导公式， $2 \sin ^ { 2 } \left( x - \frac { \pi } { 4 } \right) - 1 = \cos \left( 2 x - \frac { \pi } { 2 } \right) = \sin 2 x$ ，于是 $f ( x ) = \sqrt { 3 } \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right) - \sin 2 x = \frac { 1 } { 2 } \sin 2 x - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos 2 x = \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 3 } \right)$. A 选项，根据三角函数周期公式，$T = \frac { 2 \pi } { 2 } = \pi$ ，A 选项错误； B 选项，令 $2 x - \frac { \pi } { 3 } \in \left[ 2 k \pi - \frac { \pi } { 2 } , 2 k \pi + \frac { \pi } { 2 } \right] , k \in \mathbf { Z } \quad$ ，解得 $x \in \left[ k \pi - \frac { \pi } { 12 } , k \pi + \frac { 5 \pi } { 12 } \right] , k \in \mathbf { Z } \quad , k = 0$ 时可得 $f ( x )$ 在区间 $\left[ - \frac { \pi } { 12 } , \frac { 5 \pi } { 12 } \right]$ 上单调递增，B 选项正确； C 选项，令 $2 x - \frac { \pi } { 3 } = k \pi + \frac { \pi } { 2 } , k \in \mathbf { Z }$ ，解得 $x = \frac { k \pi } { 2 } + \frac { 5 \pi } { 12 } , k \in \mathbf { Z } , ~ k = - 1$ 时可得 $f ( x )$ 图象关于 $x = - \frac { \pi } { 12 }$ 对称，C 选项正确； D 选项， $2 x - \frac { \pi } { 3 } = k \pi , k \in \mathbf { Z }$ ，解得 $x = \frac { k \pi } { 2 } + \frac { \pi } { 6 } , k \in \mathbf { Z }$ ，为对称中心的横坐标，令 $x = \frac { k \pi } { 2 } + \frac { \pi } { 6 } = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ，解得 $k = 1$ ，故 $f ( x )$ 的图象关于点 $\left( \frac { 2 \pi } { 3 } , 0 \right)$ 对称，D 选项正确．

Question 31

Question 31: 34．已知定义在 $R$ 上的函数 $f ( x )$ 满足：对任意 $x \in R$ ，都有 $f ( x + 1 ) = f ( 1 - x )$ ，且当 $x \in ( - \infty ...

34．已知定义在 $R$ 上的函数 $f ( x )$ 满足：对任意 $x \in R$ ，都有 $f ( x + 1 ) = f ( 1 - x )$ ，且当 $x \in ( - \infty , 1 )$ 时， $( x - 1 ) \cdot f ^ { \prime } ( x ) > 0$（其中 $f ^ { \prime } ( x )$ 为 $f ( x )$ 的导函数）．设 $a = f \left( \log _ { 2 } 3 \right)$ ， $b = f \left( \log _ { 3 } 2 \right) , c = f \left( 2 ^ { 1.5 } \right)$ ，则 $a , b , c$ 的大小关系是（）

A. A. $a < b < c$
B. B. $c < a < b$
C. C. $b < a < c$
D. D. $a < c < b$

Answer

Answer: C

Solution: 由 $f ( x + 1 ) = f ( 1 - x )$ ，得 $^ { y = f ( x ) }$ 的图象关于直线 $^ { x = 1 }$ 对称，又 $^ { x < 1 }$ 时， $( x - 1 ) f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ，即 $f ^ { ( x ) }$ 在 $^ { ( - \infty , 1 ) }$ 上单调递减，所以在 ${ } ^ { ( 1 , + \infty ) }$ 上单调递增， $1 < \log _ { 2 } 3 < 2,2 ^ { 1.5 } > 2 , \log _ { 3 } 2 < 1 , f \left( \log _ { 3 } 2 \right) = f \left( 2 - \log _ { 3 } 2 \right) = f \left( \log _ { 3 } \frac { 9 } { 2 } \right)$, $\log _ { 2 } 3 > \log _ { 2 } 2 \sqrt { 2 } = \frac { 3 } { 2 } , 1 < \log _ { 3 } \frac { 9 } { 2 } < \log _ { 3 } 3 \sqrt { 3 } = \frac { 3 } { 2 }$ ，所以 $1 < \log _ { 3 } \frac { 9 } { 2 } < \log _ { 2 } 3 < 2 ^ { 1.5 }$ ，所以 $b < a < c$ ．

Question 32

Question 32: 35．等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项均为正数，且 $\begin{gathered} a _ { 5 } a _ { 6 } = 4 \text { ，则 ...

35．等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项均为正数，且 $\begin{gathered} a _ { 5 } a _ { 6 } = 4 \text { ，则 } \log _ { 2 } a _ { 1 } + \log _ { 2 } a _ { 2 } + \cdots + \log _ { 2 } a _ { 10 } = ( ) \\ ( ) \end{gathered}$

A. A. 4
B. B. 6
C. C. 8
D. D. 10

Answer

Answer: D

Solution: 由对数加法的运算法则和等比数列的性质可知： $\log _ { 2 } a _ { 1 } + \log _ { 2 } a _ { 2 } + \cdots + \log _ { 2 } a _ { 10 } = \log _ { 2 } \left( a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { 10 } \right)$ $= \log _ { 2 } \left( a _ { 5 } a _ { 6 } \right) ^ { 5 } = \log _ { 2 } 4 ^ { 5 } = \log _ { 2 } 2 ^ { 10 } = 10$.

Question 33

Question 33: 36．如图，在直三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中，$V A B C$ 是边长为 2 的正三角形，$A A _ { 1 } = 3 , N$ 为...

36．如图，在直三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中，$V A B C$ 是边长为 2 的正三角形，$A A _ { 1 } = 3 , N$ 为棱 $A _ { 1 } B _ { 1 }$ 上的中点，$M$ 为棱 ${ } ^ { C C _ { 1 } }$ 上的动点，过 $N$ 作平面 $A B M$ 的垂线段，垂足为点 $O$ ，当点 $M$从点 $C$ 运动到点 ${ } ^ { C _ { 1 } }$ 时，点 $O$ 的轨迹长度为（） ![](/images/questions/elementary-function/image-001.jpg)

A. A. $\frac { \pi } { 2 }$
B. B. $\pi$
C. C. $\frac { 3 \pi } { 2 }$
D. D. $\frac { 2 \sqrt { 3 } \pi } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: 取 $A B$ 中点 $P$ ，连接 $P C , C _ { 1 } N$ ，如图， ![](/images/questions/elementary-function/image-002.jpg) 因为 $P C \perp A B , P N \perp A B$ ，且 $P N \cap P C = P$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $P C C _ { 1 } N , A B ^ { \subset }$ 平面 $A B M$ ，所以平面 $A B M \perp$ 平面 $P C C _ { 1 } N$ ，平面 $A B M \cap$ 平面 $P C C _ { 1 } N = P M$ ，过 $N$ 作 $N O \perp P M , N O \subset _ { \text {平面 } } ^ { P C C _ { 1 } N }$ ，所以 $N O \perp$ 平面 $A B M$ ，当点 $M$ 从点 $C$ 运动到点 $C _ { 1 }$ 时，$O$ 点是以 $P N$ 为直径的圆 $Q$（部分），如图， ![](/images/questions/elementary-function/image-003.jpg) 当 $M$ 运动到点 $C _ { 1 }$ 时，$O$ 点到最高点，此时 $P C = \sqrt { 3 } , C C _ { 1 } = 3 , \angle C P C _ { 1 } = \frac { \pi } { 3 }$ ，所以 $\angle O P Q = \frac { \pi } { 6 }$ ，从而 $\angle O Q P = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ，所以弧长 $I = \frac { 2 \pi } { 3 } \cdot \frac { 3 } { 2 } = \pi$ ，即点 $O$ 的轨迹长度为 $\pi$ ．

Question 34

Question 34: 37．函数 $f ( x ) = \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 4 } \right)$ 在区间 $\left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } ...

37．函数 $f ( x ) = \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 4 } \right)$ 在区间 $\left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$ 上的最小值是

A. A. - 1
B. B. $- \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
C. C. $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
D. D. 0

Answer

Answer: B

Solution: 试题分析：$x \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right] \therefore 2 x \in [ 0 , \pi ] , 2 x - \frac { \pi } { 4 } \in \left[ - \frac { \pi } { 4 } , \frac { 3 \pi } { 4 } \right]$ ，所以最小值为 $$ \sin \left( - \frac { \pi } { 4 } \right) = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$ ## 考点：三角函数最值

Question 35

Question 35: 38．函数 $f ( x ) = \sin ( \omega x + \phi )$（其中 $| \varphi | < \frac { \pi } { 2 }$ ）的图象如图所示，为了得到 $y =...

38．函数 $f ( x ) = \sin ( \omega x + \phi )$（其中 $| \varphi | < \frac { \pi } { 2 }$ ）的图象如图所示，为了得到 $y = \sin \omega x$ 的图象，只需把 $y = f ( x )$ 的图象上所有点（） ![](/images/questions/elementary-function/image-004.jpg)

A. A. 向右平移 $\frac { \pi } { 12 }$ 个单位长度
B. B. 向左平移 $\frac { \pi } { 12 }$ 个单位长度
C. C. 向左平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度
D. D. 向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度

Answer

Answer: D

Solution: 分析：根据周期求出 $\omega$ ，再由五点法作图求出 $\varnothing$ ，从而得到函数 $f ( x ) = \sin 2 ( x + \left. \frac { \pi } { 6 } \right)$ ，故把 $y = f ( x )$ 的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度可得 $y = \sin \omega x$ 的图象，从而得出结论。详解：由题意可得 $\frac { 1 } { 4 } \times \frac { 2 \pi } { \omega } = \frac { 7 } { 12 } \pi - \frac { \pi } { 3 } = \frac { \pi } { 4 } \therefore \omega = 2$ ．再由五点法作图可得 $2 \times \frac { \pi } { 3 } + \varnothing = \pi , \therefore \varnothing = \frac { \pi } { 3 }$ ，故函数 $f ( x ) = \sin ( \omega x + \phi ) = \sin \left( 2 x + \frac { \pi } { 3 } \right) = \sin 2 \left( x + \frac { \pi } { 6 } \right)$ ．故把 $y = f ( x )$ 的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度可得 $y = \sin \omega x$ 的图象，

Question 36

Question 36: 39．某网红城市鹅城人口模型近似为 $P = 320014 \mathrm { e } ^ { 0.015 t }$ ，其中 $t = 0$ 表示 2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到 60001...

39．某网红城市鹅城人口模型近似为 $P = 320014 \mathrm { e } ^ { 0.015 t }$ ，其中 $t = 0$ 表示 2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到 600012 的年份大约是（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.693 , \ln 3 \approx 1.099$ ， $\ln 5 \approx 1.609$ ）

A. A. 2037 年
B. B. 2047 年
C. C. 2057年
D. D. 2067 年

Answer

Answer: C

Solution: $P = 320014 \mathrm { e } ^ { 0.015 t } = 600012$ ，即 $\mathrm { e } ^ { 0.015 t } = \frac { 600012 } { 320014 } \approx \frac { 15 } { 8 } , ~ 0.015 t \approx \ln \frac { 15 } { 8 }$ ， $t \approx \frac { \ln \frac { 15 } { 8 } } { 0.015 } = \frac { \ln 3 + \ln 5 - 3 \ln 2 } { 0.015 } \approx 42 , \quad 2015 + 42 = 2057$,

Question 37

Question 37: 40．已知函数 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } x ^ { 2 } - 6 a x + 2 , x < 1 \\ a ^ { x } - 2 x , x ...

40．已知函数 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } x ^ { 2 } - 6 a x + 2 , x < 1 \\ a ^ { x } - 2 x , x \geq 1 \end{array} ( a > 0 , a \neq 1 ) \right.$ ，若函数 $f ( x )$ 满足对于任意的 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ ，当 $x _ { 1 } \neq x _ { 2 }$ 时，都有 $\frac { f \left( x _ { 1 } \right) - f \left( x _ { 2 } \right) } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } < - 2$ 成立，则实数 $\boldsymbol { a }$ 的取值范围是（）《2025年10月29日高中数学作业》

A. A. $\left( 0 , \frac { 2 } { 3 } \right]$
B. B. $\left[ \frac { 2 } { 3 } , 1 \right)$
C. C. $\left[ \frac { 2 } { 3 } , \frac { 5 } { 7 } \right]$
D. D. $\left[ \frac { 5 } { 7 } , 1 \right)$

Answer

Answer: C

基本初等函数

知识点概述

重点内容

学习建议

会做单题 ≠ 会考试

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