二次函数èrcì hánshù

核心概念

二次函数是次数为 2 的多项式函数：

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

其中 $a$、$b$、$c$ 是常数且 $a \neq 0$。

三种形式

形式	表达式	关键特征
一般式	$y = ax^2 + bx + c$	显示 y 截距 $c$
顶点式	$y = a(x-h)^2 + k$	显示顶点 $(h, k)$
两根式	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	显示 x 截距 $x_1, x_2$

顶点

顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点坐标

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

或等价地：$k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

顶点式

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

其中 $(h, k)$ 是顶点。

图像性质

开口方向

• $a > 0$：抛物线开口向上（U形），顶点是最小值点
• $a < 0$：抛物线开口向下（∩形），顶点是最大值点

对称轴

$x = -\frac{b}{2a} = h$

抛物线关于这条垂直线对称。

Y截距

Y截距为 $(0, c)$，令 $x = 0$ 即可得到。

X截距（根）

解方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 得到。判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定：

• $\Delta > 0$：两个不同的 x 截距
• $\Delta = 0$：一个 x 截距（顶点与 x 轴相切）
• $\Delta < 0$：无 x 截距

单调性

当 $a > 0$ 时：

• 在 $(-\infty, h]$ 上递减
• 在 $[h, +\infty)$ 上递增

当 $a < 0$ 时：

• 在 $(-\infty, h]$ 上递增
• 在 $[h, +\infty)$ 上递减

值域

当 $a > 0$ 时：

$\text{值域} = [k, +\infty)$

当 $a < 0$ 时：

$\text{值域} = (-\infty, k]$

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

求 $f(x) = x^2 - 6x + 5$ 的顶点。

解法：

方法1（公式法）： $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$

方法2（配方法）： $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

答案：顶点为 $(3, -4)$

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

求 $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ 在 $[0, 3]$ 上的值域。

解法：

配方： $f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3$

顶点为 $(2, 3)$，抛物线开口向下。

因为 $2 \in [0, 3]$，最大值在顶点处：$f(2) = 3$

检验端点：

• $f(0) = -1$
• $f(3) = -9 + 12 - 1 = 2$

最小值为 $f(0) = -1$。

答案：值域为 $[-1, 3]$

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若 $f(x) = x^2 - 2ax + a$ 在 $[0, 2]$ 上的最小值为 $-2$，求 $a$。

解法：

$f(x) = (x-a)^2 + a - a^2$，顶点为 $(a, a-a^2)$。

情形1：$a < 0$（顶点在区间左侧） 最小值在 $x = 0$ 处：$f(0) = a = -2$ 验证：顶点为 $(-2, -2-4) = (-2, -6)$，但 $f(0) = -2 \neq -6$。✓ 所以 $a = -2$ 成立。

情形2：$0 \leq a \leq 2$（顶点在区间内） 最小值在顶点处：$a - a^2 = -2$ $a^2 - a - 2 = 0$ $(a-2)(a+1) = 0$ $a = 2$ 或 $a = -1$ 只有 $a = 2$ 在 $[0, 2]$ 内。验证：$f(x) = (x-2)^2$，在 $x=2$ 处最小值为 $0 \neq -2$。✗

情形3：$a > 2$（顶点在区间右侧） 最小值在 $x = 2$ 处：$f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a = -2$ $a = 2$，与 $a > 2$ 矛盾。✗

答案：$a = -2$

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例题4：高级（难度 ★★★★☆）

求使 $f(x) = x^2 - mx + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立的 $m$ 的取值范围。

解法：

要使 $f(x) > 0$ 对所有 $x$ 成立，抛物线必须开口向上（✓，$a = 1 > 0$）且无 x 截距。

这要求 $\Delta < 0$： $\Delta = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4 < 0$ $m^2 < 4$ $-2 < m < 2$

答案：$m \in (-2, 2)$

形式转换

一般式转顶点式

已知 $f(x) = ax^2 + bx + c$：

1. 从前两项提出 $a$：$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. 配方：$f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. 化简：$f(x) = a(x - h)^2 + k$，其中 $h = -\frac{b}{2a}$，$k = c - \frac{b^2}{4a}$

顶点式转一般式

已知 $f(x) = a(x-h)^2 + k$：

展开：$f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$

所以 $b = -2ah$，$c = ah^2 + k$。

常见错误

❌ 错误1：顶点公式符号错误

错误：$h = \frac{b}{2a}$ ✗

正确：$h = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ 错误2：求值域时忽略定义域

错误：$f(x) = x^2$ 在 $[1, 3]$ 上的值域是 $[0, +\infty)$ ✗

正确：在 $[1, 3]$ 上，最小值为 $f(1) = 1$，所以值域是 $[1, 9]$ ✓

❌ 错误3：顶点位置判断错误

当定义域受限时，顶点可能在定义域之外。要检查顶点在区间内部、左侧还是右侧。

学习要点

1. ✅ 掌握配方法：求顶点的关键
2. ✅ 熟记三种情形：顶点在区间内、左侧或右侧
3. ✅ 善用判别式：处理与 x 轴交点问题
4. ✅ 画草图：直观展示抛物线避免错误

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💡 考试要点：处理限定定义域的问题时，先确定顶点相对于定义域的位置，再检验端点。极值要么在顶点（若在定义域内）要么在端点处取得！