二次方程èrcì fāngchéng

核心概念

二次方程是变量最高次幂为2的多项式方程，属于代数中最基础的方程类型之一。

标准形式

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ 其中： -$a$ 是项系数$x^2$ （不能为0） -$b$ 是项系数$x$

-$c$ 是常数项 -$x$ 是变量

求解方法

方法一：因式分解

当方程可分解为因式时，此法最为直接。

示例：$x^2 - 5x + 6 = 0$ 步骤1：分解 $(x - 2)(x - 3) = 0$ 因式步骤2：令各因式等于零

** $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$ 解法**：$x = 2$ 或 $x = 3$

方法二：配方法

将方程转化为完全平方式。

示例：$x^2 + 6x + 5 = 0$ 步骤1：整理 $x^2 + 6x = -5$ 步骤2：配 $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ 方法步骤3：开平方

** $x + 3 = \pm 2$ 解**：$x = -1$ 或$x = -5$

方法三：二次公式

此通用方法适用于所有二次方程：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 其中$\Delta = b^2 - 4ac$ 称为判别式。

判别式分析

-$\Delta > 0$ : 两个不同的实数根 -$\Delta = 0$ : 两个相等的实数根（重根） -$\Delta < 0$ : 无实数根（两个共轭复根）

维埃塔公式

若$x_1$ 和$x_2$ 是方程 的$ax^2 + bx + c = 0$ 根，则：

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (根之和)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (根之积)

实际应用

应用1：面积问题

问题：矩形地块长度比宽度多4米，面积为60平方米。求其尺寸。

解法： 设宽度 =$x$ ，则长度 =

**$x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$ 答案**：宽度 = 6米，长度 = 10米（舍弃负值）

应用2：抛物线运动

问题：物体向上抛出，高度为$h = 20t - 5t^2$ （米）。何时落地？

解法：设

$h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$ 答案：$t = 4$ 秒（$t = 0$ 为抛出时间）

应用3：利润最大化

问题：某商品定价为$x$ 时，日销量为$(100-x)$ 件。单价成本为40美元。求最优定价。

利润函数： $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ 最大值：在顶点处

** $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$ 答案**：定价70美元时利润最大

CSCA练习题

> 💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲及中国标准化考试形式设计，旨在帮助学生熟悉题型与解题思路。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

通过因式分解求解：

$x^2 - 7x + 12 = 0$ 选项：

• A.$x = 2$ 或 $x = 5$
• B.$x = 3$ 或 $x = 4$
• C.$x = 1$ 或 $x = 12$
• D.$x = -3$ 或$x = -4$ 解法：

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$

答案：B

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

若$x^2 - 6x + k = 0$ 有两个相等的实数根，求$k$ 。

解法：

相等根意味着$\Delta = 0$ ：

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ 答案： $k = 9$

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若$x_1$ ，$x_2$ 是 的根$x^2 - 3x - 1 = 0$ ，不解方程求$x_1^2 + x_2^2$ 。

解法：

由维埃塔公式： $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$ 利用恒等式：

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ 答案： $11$

常见错误

❌ 错误1：忽略变量

$a \neq 0$ 错误：$0x^2 + 3x + 2 = 0$ 视为二次方程 ✗

正确：当$a = 0$ 时，应视为一次方程 ✓

❌ 错误2：二次公式符号错误

错误： ✗

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$ 正确： ✓$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

❌ 错误3：维埃塔公式符号错误

错误：$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

正确：✓ $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

❌ 错误4：未验证虚解

修正：实际应用中需验证解的物理合理性（如长度不能为负）。

学习要点

1. ✅ 精通三种解法：因式分解最快，配方法体现概念，公式解法最通用
2. ✅ 判别式是关键：务必计算$\Delta$ 以确定根的类型
3. ✅ 维埃塔公式常被考查：练习不解方程直接求表达式
4. ✅ 验证实际应用结果：舍弃不合逻辑的解

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💡 考试要点：二次方程是CSCA代数核心内容，约占方程类题目的60%。务必熟记公式及维埃塔公式！