二次方程èrcì fāngchéng

核心理念

一元二次方程**是变量的最大幂是 2 的多项式方程，是代数学中最基本的方程类型之一。

标准形式

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

其中

• $a$是$x^2$的系数（不能为 0）
• $b$是$x$的系数
• $c$是常数项
• $x$是变量

求解方法

方法 1: 因式分解

当方程可以因式分解时，这是最直接的方法。

例：$x^2 - 5x + 6 = 0$_

步骤 1：因式 $(x - 2)(x - 3) = 0$_

第 2 步**：将每个因数置零 $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$_

答案：$x = 2$或$x = 3$

方法 2：补全平方

将方程转化为完全平方。

例：$x^2 + 6x + 5 = 0$

步骤 1：重新排列 $x^2 + 6x = -5$_

第 2 步**：完成平方 _$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$

第 3 步**：取平方根 _$x + 3 = \pm 2$

答案：$x = -1$或$x = -5$

方法 3：二次公式

这种通用方法适用于所有一元二次方程：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

其中$\Delta = b^2 - 4ac$称为判别式。

判别分析

• $\Delta > 0$：两个不同的实数根
• $\Delta = 0$：两个相等的实数根 (重复根)
• $\Delta < 0$：无实数根（两个复共轭根）

Vieta 公式

如果 $x_1$ 和 $x_2$ 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，那么．

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$（根之和）

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$（根的积）

实际应用

应用 1：面积问题

问题：一块长方形地的长比宽多 4 米。面积是 60 平方米。求尺寸。

解： 设宽 =$x$，则长 =$x + 4$。

$x(x + 4) = 60$_ $x^2 + 4x - 60 = 0$_ $(x + 10)(x - 6) = 0$

答案：宽 = 6 米，长 = 10 米（舍弃负值）

应用 2: 射弹运动

问题：物体向上抛出，高度$h = 20t - 5t^2$（米）。何时落地？

解：设 $h = 0$ 数学公式 13 $5t(4 - t) = 0$_

答案：$t = 4$秒（$t = 0$为发射时间）

应用 3：利润最大化

问题：定价为$x$的产品每天销售$(100-x)$件。成本为 40 美元/件。求最佳价格。

利润函数： $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$_

最大：在顶点 $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$

答案：价格为 70 美元时利润最大

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试形式设计的，旨在帮助学生熟悉题型和解题方法。

例题 1：基础题（难度★★☆☆☆)

用因式分解法求解：_$x^2 - 7x + 12 = 0$

选项：

• A. $x = 2$ 或 $x = 5$
• B. $x = 3$ 或 $x = 4$
• C. _$x = 1$或 $x = 12$。
• D. $x = -3$或 $x = -4$_。

解： $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$

答案：BB

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示例 2：中级（难度★★★☆☆)

若$x^2 - 6x + k = 0$有两个相等的实数根，求$k$。

解：

等根表示$\Delta = 0$： $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$_ $36 - 4k = 0$_ $k = 9$_

答案： $k = 9$

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例 3：高级（难度 ★★★★☆)

若 $x_1$, $x_2$ 是 $x^2 - 3x - 1 = 0$ 的根，求 $x_1^2 + x_2^2$ 而不求解。

解：

根据维也塔公式 $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$_

利用同一性： $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$_

答案： $11$

常见错误

❌ 错误 1：忘记 $a \neq 0$

错误：$0x^2 + 3x + 2 = 0$ 是一元二次方程 ✗

正确：当$a = 0$时，它变成线性方程 ✓

错误 2：二次公式中的符号错误

错误：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$ ✗

正确：_$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ✓

❌ 错误 3：Vieta 公式符号错误

错误：$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

正确：_$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ 错误 4：没有检查无关的解

更正：在实际问题中，要验证解是否符合物理意义（如长度不能为负）。

学习提示

1.✅ 掌握所有三种方法：因式分解最快，完成平方显示概念，公式是通用的 2.✅ 判别式是关键：始终计算 $\Delta$ 以确定根类型 3.✅ 测试维塔公式：练习在不求解的情况下找到表达式 4.✅ 检查实际答案：摒弃不合理的解法

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💡 考试提示：一元二次方程是 CSCA 代数的核心内容，约占方程问题的 60%。记住公式和 Vieta 公式！