判别式pànbiéshì

核心概念

二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的判别式定义为：

$\Delta = b^2 - 4ac$

判别式决定了二次方程根的性质（类型和个数）。

根的分析

判别式	实根个数	根的性质
$\Delta > 0$	两个	两个不同的实根
$\Delta = 0$	一个	一个重根（二重根）
$\Delta < 0$	零个	两个共轭复根

情形1：$\Delta > 0$（两个不同实根）

根为： $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

情形2：$\Delta = 0$（一个重根）

根为： $x = -\frac{b}{2a}$

抛物线在此点与 x 轴相切。

情形3：$\Delta < 0$（无实根）

根为复数： $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

抛物线不与 x 轴相交。

图形解释

对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$：

• $\Delta > 0$：抛物线与 x 轴相交于两点
• $\Delta = 0$：抛物线与 x 轴恰好相切于一点（顶点）
• $\Delta < 0$：抛物线不与 x 轴接触

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

判断 $x^2 - 4x + 4 = 0$ 根的性质。

解法： $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

因为 $\Delta = 0$，有一个重根。

答案：一个重根：$x = 2$

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

$k$ 取何值时，$x^2 + kx + 9 = 0$ 有两个相等的实根？

解法：

要有相等的根，需 $\Delta = 0$： $\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0$ $k^2 = 36$ $k = \pm 6$

答案：$k = 6$ 或 $k = -6$

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

求使 $x^2 + 2x + m = 0$ 有两个不同负根的 $m$ 的取值范围。

解法：

设 $x_1, x_2$ 为两根。需要：

1. 两个不同实根：$\Delta > 0$
2. 两根都为负：$x_1 + x_2 < 0$ 且 $x_1 \cdot x_2 > 0$

由韦达定理：

• $x_1 + x_2 = -2 < 0$ ✓（恒成立）
• $x_1 \cdot x_2 = m > 0$

由判别式： $\Delta = 4 - 4m > 0$ $1 - m > 0$ $m < 1$

综合：$0 < m < 1$

答案：$m \in (0, 1)$

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例题4：高级（难度 ★★★★☆）

若 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的两根为 $x_1$ 和 $x_2$，用 $a$、$b$、$c$ 表示 $|x_1 - x_2|$。

解法：

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

由韦达定理： $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}$

因此： $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

答案：$|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

应用

1. 直线与曲线的交点

求直线与抛物线的交点个数：

1. 将直线方程代入抛物线方程
2. 得到一个二次方程
3. 用判别式判断交点个数

2. 相切条件

直线与抛物线相切时 $\Delta = 0$。

例：$y = x^2$ 与 $y = kx - 1$ 相切： $x^2 = kx - 1$ $x^2 - kx + 1 = 0$ $\Delta = k^2 - 4 = 0$ $k = \pm 2$

常见错误

❌ 错误1：公式符号错误

错误：$\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

正确：$\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ 错误2：遗漏条件

求具有特定性质的根（都为正、都为负等）时，必须检查：

• 判别式条件（$\Delta$）
• 根之和条件
• 根之积条件

❌ 错误3：混淆重根与无根

错误：$\Delta = 0$ 意味着无实根 ✗

正确：$\Delta = 0$ 意味着一个重根；$\Delta < 0$ 才是无实根 ✓

学习要点

1. ✅ 熟记公式：$\Delta = b^2 - 4ac$
2. ✅ 结合图形：想象抛物线与 x 轴相交/相切/不相交
3. ✅ 联系韦达定理：很多题目需要判别式和韦达定理配合
4. ✅ 检验所有条件：有约束的根问题要检查 $\Delta$、和、积

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💡 考试要点：判别式在CSCA关于根的存在性问题中频繁出现。题目提到"实根"或"无实根"时，首先检查 $\Delta$！