韦达定理wéidá dìnglǐ

核心概念

韦达定理将多项式的系数与其根的和、积联系起来。

对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，设两根为 $x_1$ 和 $x_2$：

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$（两根之和）

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$（两根之积）

推导过程

由求根公式： $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

和： $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

积： $x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

重要应用

1. 不解方程求根的表达式

不求出根的具体值，计算涉及根的表达式。

常用公式： $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

2. 由根构造方程

若 $\alpha$ 和 $\beta$ 是两根，则二次方程为： $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

或等价地： $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

3. 判断根的符号

不解方程判断根的符号：

• 两根都为正：$x_1 + x_2 > 0$ 且 $x_1 \cdot x_2 > 0$
• 两根都为负：$x_1 + x_2 < 0$ 且 $x_1 \cdot x_2 > 0$
• 两根异号：$x_1 \cdot x_2 < 0$

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

若 $x_1$、$x_2$ 是 $x^2 - 3x - 4 = 0$ 的两根，求 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 \cdot x_2$。

解法：

由韦达定理，$a = 1$，$b = -3$，$c = -4$： $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$

答案：和 = 3，积 = -4

---

例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

若 $x_1$、$x_2$ 是 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ 的两根，求 $x_1^2 + x_2^2$。

解法：

由韦达定理： $x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$

利用恒等式： $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right)$ $= \frac{25}{4} + 3 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = \frac{37}{4}$

答案：$\dfrac{37}{4}$

---

例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若 $x_1$、$x_2$ 是 $x^2 - 4x + 1 = 0$ 的两根，求 $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$。

解法：

由韦达定理： $x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1$

化简表达式： $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

先求 $x_1^2 + x_2^2$： $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14$

因此： $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{14}{1} = 14$

答案：$14$

---

例题4：高级（难度 ★★★★☆）

求以 $2 + \sqrt{3}$ 和 $2 - \sqrt{3}$ 为根的整系数二次方程。

解法：

两根之和： $\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

两根之积： $\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

方程为： $x^2 - 4x + 1 = 0$

答案：$x^2 - 4x + 1 = 0$

---

例题5：高级（难度 ★★★★★）

若 $x^2 + px + q = 0$ 的一根是另一根的 2 倍，且两根之和为 6，求 $p$ 和 $q$。

解法：

设两根为 $r$ 和 $2r$。

由韦达定理：

• $r + 2r = 3r = -p$
• $r \cdot 2r = 2r^2 = q$

已知和 = 6： $3r = 6 \Rightarrow r = 2$

因此： $p = -3r = -6$ $q = 2r^2 = 2(4) = 8$

答案：$p = -6$，$q = 8$

韦达定理的推广

对于三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，设三根为 $x_1, x_2, x_3$：

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a}$ $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

常见错误

❌ 错误1：和的符号错误

错误：$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

正确：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ 错误2：假设根是实数

韦达定理在 $\Delta < 0$（复根）时也成立，但很多应用要求实根。必要时先检验 $\Delta \geq 0$。

❌ 错误3：根的条件不完整

判断"两根都为正"：需要同时满足 $x_1 + x_2 > 0$、$x_1 \cdot x_2 > 0$ 且 $\Delta \geq 0$。

学习要点

1. ✅ 记住符号：和有负号，积没有
2. ✅ 学会常用变形：$x_1^2 + x_2^2$、$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ 等
3. ✅ 结合判别式：处理实根条件
4. ✅ 练习反向问题：由根求方程

---

💡 考试要点：韦达定理是CSCA高频考点。熟练掌握 $x_1^2 + x_2^2$ 和 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ 的变形——大多数题目都会用到！