复数fùshù

核心概念

复数是实数的扩展，形式为$z = a + bi$

，其中$a, b$

为实数，$i$

为虚数单位。

虚数单位

虚数单位$i$

满足 $i^2 = -1$

。

**

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

的幂**$i$

：

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

-$i^3 = -i$

-$i^4 = 1$

-$i^{4k+r} = i^r$

($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$

)

复数表示形式

$z = a + bi$

其中： -$a$

为实部，记作 $\text{Re}(z)$

-$b$

为虚部，记作 $\text{Im}(z)$

• 当z$$b = 0

时， 是实数

• 当 $a = 0, b \neq 0$

时，$z$

是纯虚数

• 当 $b \neq 0$

时，$z$

是虚数

复数等式

$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

复平面

几何表示法

复数$z = a + bi$

可在复平面上表示为点$(a, b)$

：

• 水平轴（实轴）：表示实部
• 垂直轴（虚轴）：表示虚部

向量表示法

复数$z = a + bi$

亦可视为从原点$O$

到点$\overrightarrow{OZ}$

的$(a, b)$

向量 。

复数的模

定义

复数$z = a + bi$

的**模$|z|$

**记为

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

：###

$|z|$

几何意义表示复平面中点 到$z$

原点的距离。

性质

1.$|z| \geq 0$

，当且仅当 时等号$z = 0$

成立 2.
3$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

($z_2 \neq 0$

) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

（三角不等式）

复共轭

定义

复数 的共轭$\bar{z}$

，记为：

$\bar{z} = a - bi$

###$z = a + bi$

几何

$\bar{z}$

意义是沿实轴对称反射得到的数$z$

。

性质

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$

5.$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

运算

加减法

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

乘法

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

除法

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

方法： 分子与分母分别乘以分母的共轭数

CSCA习题

[例1] 基础题 (难度 ★★☆☆☆)

已知复数$z = 3 + 4i$

，求$|z|$

和$\bar{z}$

。

解法：

模值： $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

共轭数：

** $\bar{z} = 3 - 4i$

答案**：$|z| = 5$

，

$\bar{z} = 3 - 4i$

---

[例题2] 中级（难度 ★★★☆☆）

计算$(2 + 3i)(1 - 2i)$

。

解法：

**

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

答案**： $8 - i$

常见误区

❌ 误区1：将$i$

视为变量

错误：认为$i$

可像代数变量般进一步简化

错误：$i$

认为$i^2 = -1$

表示代数变量

正确： 表示虚数单位，其模为

❌$|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

误区二：模值计算错误

错误：

正确： $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ 误区三：共轭符号错误

错误：$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

正确：$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

（仅虚部改变符号）

学习要点

1. ✅ 理解虚数单位：$i^2 = -1$

是基础概念 2. ✅ 掌握运算规则：加减乘除四则运算 3. ✅ 牢记模与共轭：掌握其几何意义与性质 4. ✅ 练习除法：分母有理化是关键 5. ✅ 理解几何：复平面中的点与向量

---

💡 考试技巧：复数是高中数学的重要内容。在CSCA考试中相对简单，但必须掌握基本运算和概念！约占代数题目的10-15%。