复数fùshù

核心理念

复数**是实数的延伸，其形式为$z = a + bi$，其中$a, b$为实数，$i$为虚数单位。

###虚数单位

虚单位$i$满足$i^2 = -1$。

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$_

的幂**$i$：

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$_
• $i^3 = -i$_
• $i^4 = 1$_
• $i^{4k+r} = i^r$ ($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$)

复数的 ### 形式

$z = a + bi$

其中

• $a$是实部，记作$\text{Re}(z)$。
• $b$是虚部，表示为$\text{Im}(z)$。
• 当$b = 0$时，$z$是一个实数。
• 当$a = 0, b \neq 0$时，$z$是纯虚数。
• 当$b \neq 0$时，$z$是虚数

###复数相等

$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$_

复数平面

几何表示

复数 $z = a + bi$ 可以表示为复数平面上的点 $(a, b)$ ：

• 横轴（实数轴）：代表实部
• 纵轴（虚轴）：代表虚部

矢量表示法

复数 $z = a + bi$ 也可以看作从原点 $O$ 到点 $(a, b)$ 的矢量 $\overrightarrow{OZ}$ 。

##复数的模

定义

复数$z = a + bi$的模，记作$|z|$：

表示$|z|$:$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$。

几何意义

$|z|$ 表示复平面内点 $z$ 到原点的距离。

属性

1.$|z| \geq 0$, 如果 $z = 0$ 则相等。 2.$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$_ 3.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$（三角形不等式）

共轭

定义

复数$z = a + bi$的共轭，记作$\bar{z}$：

表示$\bar{z}$: $\bar{z} = a - bi$_。

几何意义

$\bar{z}$是$z$在实轴上的反射。

属性

1.$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$ 2.$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$_ 3.$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$_ 4.$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$_ 5._$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

运算

加法和减法

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$_

乘法

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$_

除法

数学公式_7___

方法：分子和分母乘以分母的共轭

CSCA 练习题

###[Example 1] Basic (Difficulty ★★☆☆)

给复数 $z = 3 + 4i$，求 $|z|$和 $\bar{z}$。

解：

公式： $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$。

共轭： $\bar{z} = 3 - 4i$

答案：$|z| = 5$, $\bar{z} = 3 - 4i$

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###[Example 2] Intermediate (Difficulty ★★★☆)

计算 $(2 + 3i)(1 - 2i)$.

解：

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$_ $= 2 - i + 6 = 8 - i$_

答案**：_$8 - i$

常见误解

❌ 误解 1: 把$i$当作变量处理

错误：认为 $i$ 可以像代数变量那样进一步简化

正确：$i$是$i^2 = -1$的虚数单位，而不是变量

❌ 误解 2：错误的模计算

错误：_$|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

正确：$|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$_

❌ 误解 3：共轭符号错误

错误：$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

正确：$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$（只有虚部改变符号）

学习提示

1.✅ 理解虚数单位：$i^2 = -1$是基本单位 2.✅ 掌握运算：加法、减法、乘法、除法 3.✅ 记住模数和共轭：它们的几何含义和性质 4.✅ 练习除法：分母有理是关键 5.✅ 理解几何：复平面中的点和矢量

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💡 考试提示：复数在高中数学中非常重要。在 CSCA 考试中相对简单，但必须掌握基本运算和概念！约占代数问题的 10-15%。