向量xiàngliàng

核心理念

矢量是一个既有大小又有方向的量。在几何学上，矢量用有方向的线段表示；在代数学上，矢量用坐标表示。

矢量符号

1.几何符号

有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 其中 $A$ 是初始点，$B$ 是终点。

2.字母符号

带箭头的小写字母：$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$

3.坐标符号

二维向量：$\vec{a} = (x, y)$ 或 $\vec{a} = (a_1, a_2)$

三维向量$\vec{a} = (x, y, z)$ 或 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$

基本概念

幅值（长度）

对于矢量 $\vec{a} = (x, y)$ ，幅值用 $|\vec{a}|$ 或 $\|\vec{a}\|$ 表示：

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

零向量

幅值为 0 的向量，用 $\vec{0} = (0, 0)$ 表示，具有任意方向

单位矢量

幅值为 1 的向量，表示$\vec{e}$。

在$\vec{a}$方向上的单位向量： $\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

向量相等

方向和大小相同的向量

相反向量

方向相反但大小相等的向量。与$\vec{a}$相反的是$-\vec{a}$。

矢量运算

1.矢量加法

几何意义

平行四边形法则或三角形法则

坐标运算

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$_

性质

• 交换：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• 联立：_$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

2.向量减法

$\vec{a} - \vec{b} = (x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$

几何意义：从$\vec{b}$末端到$\vec{a}$末端的点

3.标量乘法

$k\vec{a} = k(x, y) = (kx, ky)$

其中 $k$ 是实数。

属性：

• $k > 0$：方向与$\vec{a}$相同，大小为$k|\vec{a}|$。
• $k < 0$：与$\vec{a}$方向相反，大小为$|k||\vec{a}|$。
• $k = 0$：结果为零矢量

4.点积（标量积）

_$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 之间的夹角。

坐标形式

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = x_1x_2 + y_1y_2$

重要性质

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$（向量垂直）
• _$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

实际应用

应用 1: 位移

问题：一个人从原点向东走 3 千米，然后向北走 4 千米。求位移大小和方向。

解： 位移矢量：$\vec{s} = (3, 4)$

magnitude： $|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ km}$_

方向：与东轴夹角 _$\tan\theta = \frac{4}{3}, \quad \theta \approx 53.1°$

答案：在东偏北 53.1°处 5 千米

应用 2：力的合成

问题：力 $\vec{F_1} = (3, 0)$ N 和 $\vec{F_2} = (0, 4)$ N 作用在同一点。求结果。

解： $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (3, 4) \text{ N}$

magnitude： _$|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ N}$

应用 3: 速度分解

问题：飞机以 200 km/h 的速度向东北方向飞行（与东方成 45°）。求东面和北面的分量。

解： $v_x = 200\cos45° = 100\sqrt{2} \approx 141.4 \text{ km/h}$_ $v_y = 200\sin45° = 100\sqrt{2} \approx 141.4 \text{ km/h}$

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试的形式设计的，以帮助学生熟悉题型和解题方法。

例题 1：基础题（难度★★☆☆☆)

已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ，求 $|\vec{a}|$ 。

选项：

• A. 3
• B. 4
• C. 5
• D. 7

解： $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$_

答案：C

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示例 2：中级 (难度 ★★★☆)

已知$\vec{a} = (2, 1)$和$\vec{b} = (1, -3)$，求$\vec{a} + 2\vec{b}$。

解：

$2\vec{b} = 2(1, -3) = (2, -6)$_ $\vec{a} + 2\vec{b} = (2, 1) + (2, -6) = (4, -5)$。

答案： $(4, -5)$

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例 3：高级（难度 ★★★★☆)

已知$\vec{a} = (1, 2)$和$\vec{b} = (2, -1)$，求： 1.$\vec{a} \cdot \vec{b}$_ 2.在$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的角$\theta$_

解：

(1) 点积： $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(2) + 2(-1) = 0$

(2) 角： 自$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$起： $\vec{a} \perp \vec{b}$ $\theta = 90°$

答案： (1) 0 (2) 90° (垂直)

常见错误

错误 1：相等的矢量必须有相同的初始点

纠正：如果矢量的方向和大小相同，不论位置如何，它们就是相等的。向量可以平移。

❌ 错误 2：幅值可以是负数

纠正：幅值（长度）总是非负的：$|\vec{a}| \geq 0$.

❌ 错误 3：点积结果是向量

更正：点积的结果是一个标量（数），而不是向量。

❌ 错误 4：零向量没有方向

更正：零向量的方向是任意的，可以与任何向量平行。

❌ 错误 5：角度范围错误

更正：两个非零向量之间的角度 $\theta$ 范围为 $[0°, 180°]$ 或 $[0, \pi]$。

学习提示

1.✅ 理解本质：既有大小又有方向，与标量不同 2.✅ 掌握坐标运算：加法、减法、标量乘法、点积 3.✅ 掌握几何意义：直观了解坐标系中的向量运算 4.✅ 记住垂直度：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ 5.✅ 应用于现实世界：位移、力、速度都是矢量

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💡 考试提示：向量在 CSCA 几何和物理中至关重要。坐标运算和点积是常考内容！