导数dǎoshù

核心概念

导数是微积分中的核心概念，描述函数在特定点处的瞬时变化率。几何上，它代表曲线在该点处切线的斜率。

数学定义

函数$y = f(x)$

在点$x_0$

处的导数定义为：$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

若此极限存在，则称函数$f(x)$

在 $x_0$

处具有可导性。

导数符号

-$f'(x)$

• 拉格朗日符号 -$\frac{dy}{dx}$

• 莱布尼茨符号 -$y'$

• 简写形式 -$\frac{df}{dx}$

• 微分形式

常用导数公式

基本函数

1. 常数函数： $(C)' = 0$

2. 幂函数： $(x^n)' = nx^{n-1}$

3. 指数函数：$(e^x)' = e^x$

, $(a^x)' = a^x \ln a$

4. 对数函数： $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

5. 三角函数：

$(\sin x)' = \cos x$

-$(\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

导数规则

1. 和差法则：$(f \pm g)' = f' \pm g'$

2. 乘积法则：

3. **商$(fg)' = f'g + fg'$

法则**： $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

4. 链式法则：

##$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

应用场景

1. 求曲线切线

曲线$y = f(x)$

在点处的$(x_0, f(x_0))$

切线：

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. 确定单调性

-$f'(x) > 0$

→ 函数递增 -$f'(x) < 0$

→ 函数递减 -$f'(x) = 0$

→ 可能存在极值点

3. 求极值

步骤：

1. 求导数 2.$f'(x)$

求解$f'(x) = 0$

临界点 3. 检验临界点附近符号变化

CSCA 练习题

> 💡 注意：以下练习题依据 CSCA 考试大纲及中国标准化考试形式设计，旨在帮助学生熟悉题型与解题思路。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

求函数 的导数$f(x) = x^3 + 2x$

。

解法：

---

$f'(x) = 3x^2 + 2$

例题2：中级题（难度 ★★★☆☆）

求函数 在点$y = x^2$

处的切线方程。$(1, 1)$

解法：

步骤1：求导数

$y' = 2x$

步骤2：求点 处的斜率：
步骤$k = 2(1) = 2$

3$x=1$

：写出切线方程：

** $y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

答案**：
$y = 2x - 1$

---

例题3：进阶（难度 ★★★★☆）

求函数$f(x) = x^3 - 3x$

的极值。

解法：

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

临界点： $x = -1, 1$

• 最大值：$f(-1) = 2$

处 $x = -1$

• 最小值：$f(1) = -2$

处

##$x = 1$

常见错误

❌ 错误1：

修正$(x^2)' = 2$

：应为$(x^2)' = 2x$

，而非 2！注意保留$x$

。

❌ 错误2：$(fg)' = f'g'$

修正：乘法规则是$(fg)' = f'g + fg'$

，而非$f'g'$

！

❌ 错误 3： 总是意味着$f'(x_0) = 0$

极值

修正： 仅$f'(x_0) = 0$

是必要条件。必须验证符号变化。

学习要点

1. ✅ 理解定义：导数 = 瞬时变化率 = 切线斜率
2. ✅ 记忆公式：掌握基础导数与运算规则
3. ✅ 强化练习：重点掌握链式法则应用
4. ✅ 实际应用：导数广泛应用于优化问题

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💡 考试要诀：导数题约占CSCA数学试题15%。务必精通基础求导与几何应用！