导数dǎoshù

核心理念

微积分中的一个核心概念是导数，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。从几何学角度看，它表示曲线切线在该点的斜率。

数学定义

函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数定义如下：

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

如果存在这个极限，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。

求导符号

• $f'(x)$ - 拉格朗日符号
• $\frac{dy}{dx}$ - 莱布尼兹符号
• $y'$ - 简写形式
• $\frac{df}{dx}$--微分形式

常用微分公式

基本函数

1. 常数：$(C)' = 0$
2. 幂：$(x^n)' = nx^{n-1}$
3. Exponential：$(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \ln a$
4. Logarithmic：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$_
5. Trigonometric：
   • $(\sin x)' = \cos x$
   • $(\cos x)' = -\sin x$_
   • $(\tan x)' = \sec^2 x$

求导规则

1. 求和/求差：$(f \pm g)' = f' \pm g'$_
2. 乘积：$(fg)' = f'g + fg'$_
3. 商：$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
4. 链：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

应用

1.寻找切线

曲线 $y = f(x)$ 的切线在 $(x_0, f(x_0))$：

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2.确定单调性

• $f'(x) > 0$ → 函数递增
• $f'(x) < 0$ → 函数递减
• $f'(x) = 0$ → 可能的极值

3.寻找极值

步骤： 1.求导数 $f'(x)$ 2.求解$f'(x) = 0$临界点 3.测试临界点附近的符号变化

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试形式设计的，旨在帮助学生熟悉题型和解题方法。

例题 1：基础题（难度★★☆☆☆)

求 $f(x) = x^3 + 2x$ 的导数。

解： $f'(x) = 3x^2 + 2$。

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例 2：中级 (难度 ★★★☆)

求$y = x^2$在点$(1, 1)$处的切线的方程。

解：

步骤 1: 求导数 $y' = 2x$

第 2 步：求$x=1$处的斜率：$k = 2(1) = 2$_

第 3 步：写出切线方程： $y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

答案：$y = 2x - 1$

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例 3：高级（难度 ★★★★☆)

求 $f(x) = x^3 - 3x$ 的极值。

解：

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$_

临界点：$x = -1, 1$_

• 最大值：在 $x = -1$ 处为 $f(-1) = 2$
• 最小值：$f(1) = -2$在$x = 1$处

常见错误

❌ 错误 1: $(x^2)' = 2$

更正：$(x^2)' = 2x$，而不是 2！记住要保留 $x$.

❌ 错误 2: $(fg)' = f'g'$_。

更正：产品规则是$(fg)' = f'g + fg'$，而不是$f'g'$！

错误 3: $f'(x_0) = 0$总是指极值

更正：$f'(x_0) = 0$只是一个必要条件。必须验证符号的变化。

##学习提示

1.✅ 理解定义：导数 = 瞬时速率 = 正切斜率 2.✅ 记忆公式：学习基本导数和规则 3.✅ 练习：特别是链式法则的应用 4.✅ 应用：衍生物在优化中得到广泛应用

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💡 考试提示：导数约占 CSCA 数学试题的 15%。掌握基本微分和几何应用！