交集jiāojí

核心概念

两个集合 A 和 B 的交集，记作 A ∩ B，是由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合。

数学定义

$A \cap B = \{x | x \in A \text{ 且 } x \in B\}$

一个元素属于交集，当且仅当它同时属于两个集合。

图形表示

在韦恩图中，交集是两个圆的重叠区域。

    A         B
  (   [###]   )

阴影区域 [###] 表示 A ∩ B。

基本性质

1. 交换律

$A \cap B = B \cap A$

2. 结合律

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

3. 同一律

$A \cap U = A$（其中 U 是全集）

4. 幂等律

$A \cap A = A$

5. 与空集的交集

$A \cap \emptyset = \emptyset$

6. 分配律

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

例题详解

例1：有限集合

已知：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5, 6, 7}

求：A ∩ B

解：两个集合的公共元素：3, 4, 5

答案：A ∩ B = {3, 4, 5}

例2：区间的交集

已知：A = [-2, 5]，B = [1, 8]

求：A ∩ B

解：两个区间的重叠部分是 [1, 5]

答案：A ∩ B = [1, 5]

例3：描述法表示

已知：A = {x | x > 2}，B = {x | x < 7}

求：A ∩ B

解：大于2且小于7的元素

答案：A ∩ B = {x | 2 < x < 7} = (2, 7)

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★☆☆☆☆）

若 A = {a, b, c, d}，B = {c, d, e, f}，求 A ∩ B。

选项：

• A. {a, b, c, d, e, f}
• B. {c, d}
• C. {a, b}
• D. {e, f}

解法： 公共元素：c, d

答案：B

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

已知 A = {x | x² - 4x + 3 ≤ 0}，B = {x | x > 2}，求 A ∩ B。

解法：

首先解不等式求 A： $x² - 4x + 3 ≤ 0$ $(x-1)(x-3) ≤ 0$ $A = [1, 3]$

然后求与 B = (2, +∞) 的交集： $A \cap B = [1, 3] \cap (2, +\infty) = (2, 3]$

答案：(2, 3]

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若 A ∩ B = A，则集合 A 与 B 有什么关系？

解法：

若 A ∩ B = A，则 A 的所有元素都必须在 B 中。

这意味着 A ⊆ B（A 是 B 的子集）。

答案：A ⊆ B

常见错误

❌ 错误1：混淆交集与并集

错误：A ∩ B 包含两个集合的所有元素 ✗

正确：A ∩ B 只包含公共元素 ✓

❌ 错误2：忽略空交集

错误：两个集合总有非空交集 ✗

正确：若两集合无公共元素，则 A ∩ B = ∅ ✓

❌ 错误3：区间记号错误

错误：[1, 5] ∩ [3, 8] = [1, 8] ✗

正确：[1, 5] ∩ [3, 8] = [3, 5] ✓

学习要点

1. ✅ "且"的思维：交集意味着"且"——元素必须同时满足两个条件
2. ✅ 画韦恩图：图形表示有助于避免错误
3. ✅ 检查端点：对于区间，仔细验证端点
4. ✅ 结合不等式练习：许多CSCA题目将集合与不等式结合

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💡 考试要点：交集问题常与二次不等式结合出现。务必先解不等式，再求交集！