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数列 - Practice Questions (38)

Question 1: 1． $2 + \sqrt { 3 }$ 和 $2 - \sqrt { 3 }$ 的等比中项是

1． $2 + \sqrt { 3 }$ 和 $2 - \sqrt { 3 }$ 的等比中项是

  • A. A. 1
  • B. B. - 1
  • C. C. $\pm 1$
  • D. D. 2

Answer: C

Solution: 设等比中项为 $a$ ，则 $a ^ { 2 } = ( 2 + \sqrt { 3 } ) ( 2 - \sqrt { 3 } ) = 1$ ，则 $a = \pm 1$ ，

Question 2: 2．已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，若 $a _ { 4 } = 15$ ，则它的前 7 项和为

2．已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，若 $a _ { 4 } = 15$ ，则它的前 7 项和为

  • A. A. 120
  • B. B. 115
  • C. C. 110
  • D. D. 105

Answer: D

Solution: 因为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 4 } = 15$ ， 所以 $S _ { 7 } = \frac { 7 } { 2 } \left( a _ { 1 } + a _ { 7 } \right) = \frac { 7 } { 2 } \cdot 2 a _ { 4 } = 7 a _ { 4 } = 7 \times 15 = 105$ ．

Question 3: 3．已知实数 $m , 3,2$ 构成一个等差数列，则圆锥曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { m } + y ^ { 2 } = 1$ 的离心率为

3．已知实数 $m , 3,2$ 构成一个等差数列，则圆锥曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { m } + y ^ { 2 } = 1$ 的离心率为

  • A. A. $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$
  • B. B. $\sqrt { 5 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • D. D. $\sqrt { 3 }$

Answer: C

Solution: 解：因为 $m , 3,2$ 构成一个等差数列，$\therefore 2 + m = 6 , \therefore m = 4$ ，所以椭圆方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$ ， $\therefore a ^ { 2 } = 4 , b ^ { 2 } = 1 , \therefore a = 2 , c = \sqrt { 3 } , \therefore e = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ．

Question 4: 4．已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n } , ~ a _ { 1 } \neq 0 , ~ S _ { 8 } = 0$ ...

4．已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n } , ~ a _ { 1 } \neq 0 , ~ S _ { 8 } = 0$ ，则

  • A. A. $\left\{ a _ { n } \right\}$ 一定为递增数列
  • B. B. $\left\{ a _ { n } \right\}$ 一定为递减数列
  • C. C. $a _ { 4 } + a _ { 5 } = 0$
  • D. D. $a _ { 3 } + a _ { 5 } = 0$

Answer: C

Solution: $S _ { 8 } = \frac { \left( a _ { 1 } + a _ { 8 } \right) \times 8 } { 2 } = 4 \left( a _ { 1 } + a _ { 8 } \right) = 0$ $\therefore ^ { a _ { 1 } + a _ { 8 } = 0 }$ ， 根据等差数列的性质，$a _ { 4 } + a _ { 5 } = 0$ 。

Question 5: 5．等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 1 } = \frac { 9 } { 8 } , q = \frac { 2 } { 3 } , S _ {...

5．等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 1 } = \frac { 9 } { 8 } , q = \frac { 2 } { 3 } , S _ { n } = \frac { 19 } { 8 }$ ，则 $n =$

  • A. A. 3
  • B. B. 4
  • C. C. 5
  • D. D. 6

Answer: A

Solution: 由题意可知，$S _ { n } = \frac { a _ { 1 } \left( 1 - q ^ { n } \right) } { 1 - q } = \frac { \frac { 9 } { 8 } \left( 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { n } \right) } { 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } \right) } = \frac { 19 } { 8 }$ ，解得 $\quad$ 。

Question 6: 6．已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 2 } = - 2 , a _ { 5 } = 16$ ，则该数列的公比为

6．已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 2 } = - 2 , a _ { 5 } = 16$ ，则该数列的公比为

  • A. A. $\pm 2$
  • B. B. 2
  • C. C. - 2
  • D. D. 3

Answer: C

Solution: 设公比为 $q$ ，则 $q ^ { 3 } = \frac { a _ { 5 } } { a _ { 2 } } = \frac { 16 } { - 2 } = - 8 , q = - 2$ ．

Question 7: 7．在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，已知 $a _ { 2 } + a _ { 6 } = 18$ ，则 $a _ { 4 } = ($

7．在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，已知 $a _ { 2 } + a _ { 6 } = 18$ ，则 $a _ { 4 } = ($

  • A. A. 9
  • B. B. 8
  • C. C. 81
  • D. D. 63

Answer: A

Solution: 由等差数列的性质得 $a _ { 2 } + a _ { 6 } = 2 a _ { 4 }$ ， $\because a _ { 2 } + a _ { 6 } = 18$ $\therefore 2 a _ { 4 } = 18$ 得 $a _ { 4 } = 9$ ，故选 A ． 【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于简单题．等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，若 $m + m = q + p _ { \text {则 } } a _ { m } + a _ { n } = a _ { p } + a _ { q }$ 。

Question 8: 8．等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前 $n$ 项的和为 $S _ { n }$ ，若 $a _ { 4 } + a _ { 6 } = 12$ ，则 $S _ {...

8．等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前 $n$ 项的和为 $S _ { n }$ ，若 $a _ { 4 } + a _ { 6 } = 12$ ，则 $S _ { 9 }$ 的值是

  • A. A. 36
  • B. B. 48
  • C. C. 54
  • D. D. 64

Answer: C

Solution: 由等差数列 $\left\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \right\}$ 的性质可得： $\mathrm { a } _ { 4 } + \mathrm { a } _ { 6 } = 12 = \mathrm { a } _ { 1 } + \mathrm { a } _ { 9 }$ ， 则 $\mathrm { S } _ { 9 } = \frac { 9 \left( a _ { 1 } + a _ { 9 } \right) } { 2 } = 9 \times \frac { 12 } { 2 } = 54$ ．

Question 9: 9．已知 $S n$ 为公差不为 0 的等差数列 $\{ a n \}$ 的前 $n$ 项和，$S _ { 9 } = 18$ ，$a m = 2$ ，则 $m =$（ ）

9．已知 $S n$ 为公差不为 0 的等差数列 $\{ a n \}$ 的前 $n$ 项和，$S _ { 9 } = 18$ ，$a m = 2$ ，则 $m =$（ ）

  • A. A. 4
  • B. B. 5
  • C. C. 6
  • D. D. 7

Answer: B

Solution: 解：$S _ { 9 } = \frac { 9 \left( a _ { 1 } + a _ { 9 } \right) } { 2 } = 9 a _ { 5 } = 18 , \therefore a _ { 5 } = 2$ ， $\because a m = 2 , \therefore m = 5$ ，

Question 10: 10．$\sqrt { 3 } - 1$ 与 $\sqrt { 3 } + 1$ 的等比中项是（ ）

10．$\sqrt { 3 } - 1$ 与 $\sqrt { 3 } + 1$ 的等比中项是（ ）

  • A. A. $\sqrt { 2 }$
  • B. B. $- \sqrt { 2 }$
  • C. C. $\pm \sqrt { 2 }$
  • D. D. $\pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

Answer: C

Solution: $\sqrt { 3 } - 1$ 与 $\sqrt { 3 } + 1$ 的等比中项是 $\pm \sqrt { ( \sqrt { 3 } - 1 ) ( \sqrt { 3 } + 1 ) } = \pm \sqrt { 2 }$ ．

Question 11: 11． $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列，且 $a _ { 7 } - 2 a _ { 4 } = - 1 , a _ { 3 } = 0$ ，则公差 $d =$

11． $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列，且 $a _ { 7 } - 2 a _ { 4 } = - 1 , a _ { 3 } = 0$ ，则公差 $d =$

  • A. A. - 2
  • B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: 试题分析 ：$\because a _ { 7 } - 2 a _ { 4 } = - 1 \therefore a _ { 3 } + 4 d - 2 \left( a _ { 3 } + d \right) = - 1 \therefore 4 d - 2 d = - 1 \therefore d = - \frac { 1 } { 2 }$ 考点 ：等差数列通项公式

Question 12: 12．在等差数列 $\{ a n \}$ 中，$a _ { 3 } + a _ { 5 } = 10$ ，则 $a _ { 1 } + a _ { 7 }$ 等于（ ）

12．在等差数列 $\{ a n \}$ 中，$a _ { 3 } + a _ { 5 } = 10$ ，则 $a _ { 1 } + a _ { 7 }$ 等于（ ）

  • A. A. 5
  • B. B. 8
  • C. C. 10
  • D. D. 14

Answer: C

Solution: $a _ { 1 } + a _ { 7 } = a _ { 3 } + a _ { 5 } = 10$ ．

Question 13: 13．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 3 } = 2 , a _ { 7 } = 1$ ，且数列 $\left\{ \frac { 1 } { a...

13．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 3 } = 2 , a _ { 7 } = 1$ ，且数列 $\left\{ \frac { 1 } { a _ { n } + 1 } \right\}$ 是等差数列，则 $a _ { 11 } =$

  • A. A. $- \frac { 2 } { 5 }$
  • B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. 5
  • D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer: B

Solution: 试题分析：数列 $\left\{ \frac { 1 } { a _ { n } + 1 } \right\}$ 的第三项为 $\frac { 1 } { a _ { 3 } + 1 } = \frac { 1 } { 3 }$ ，第七项为 $\frac { 1 } { a _ { 7 } + 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，所以第十一 项为 $\frac { 1 } { a _ { 11 } + 1 } = \frac { 2 } { 3 } \therefore a _ { 11 } = \frac { 1 } { 2 }$ 考点：等差数列

Question 14: 14．已知正项等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项 $a _ { 1 } = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ．且 $\mathrm { S ...

14．已知正项等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项 $a _ { 1 } = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ．且 $\mathrm { S } _ { 1 } , \mathrm {~S} _ { 2 } , S _ { 3 } - 2$ 成等差数列，则 $a _ { 4 } =$（ ）。

  • A. A. 8
  • B. B. $\frac { 1 } { 8 }$
  • C. C. 16
  • D. D. $\frac { 1 } { 16 }$

Answer: A

Solution: 设等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为 $q$ ，因为 $\mathrm { S } _ { 1 } , \mathrm {~S} _ { 2 } , \mathrm {~S} _ { 3 } - 2$ 成等差数列， 所以 $2 S _ { 2 } = S _ { 1 } + S _ { 3 } - 2$ ，所以 $2 \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } \right) = a _ { 1 } + a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } - 2$ 所以 $a _ { 2 } = a _ { 3 } - 2$ ，即 $q = q ^ { 2 } - 2$ ，解得 $q = 2$ 或 $q = - 1$ 因为 $a _ { n } > 0$ ，所以 $q = 2$ ，所以 $a _ { 4 } = a _ { 1 } q ^ { 3 } = 8$

Question 15: 15．根据全球摩天大楼的统计，至2019年，安徽省合肥市的摩天大楼已经有 95 座在中国城市中排名第 10 位，全球排名第 15 位，目前合肥恒大中心建设中的最高楼，外形设计成了＂竹节＂的形态，既体现...

15．根据全球摩天大楼的统计，至2019年，安徽省合肥市的摩天大楼已经有 95 座在中国城市中排名第 10 位，全球排名第 15 位，目前合肥恒大中心建设中的最高楼，外形设计成了＂竹节＂的形态，既体现了力量超凡，又象征着向上生长的强烈意志，更预示了未来的繁荣和兴旺．它与传承千年的＂微文化＂相得益彰，建成后将跻身世界十大摩天大楼之列，若大楼由 9 节＂竹节＂组成，最上部分的 4 节高 228 米，最下部分 3 节高 204 米，且每一节高度变化均匀（即每节高度自上而下成等差数列），则该摩天大楼的总高度为（ ）

  • A. A. 518 米
  • B. B. 558 米
  • C. C. 588 米
  • D. D. 668 米

Answer: B

Solution: 设大楼自上而下每一节高度构成等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ， 设数列的首项为 ${ } ^ { a }$ ，公差为 ${ } ^ { d }$ ， 由题可知 $S _ { 4 } = 228 , S _ { 9 } - S _ { 6 } = 204$ ， $4 a _ { 1 } + 6 d = 228 \quad , 3 a _ { 1 } + 21 d = 204 ;$ 联立方程组解得 $a _ { 1 } = 54 , d = 2$ ． 故可得 $S _ { 9 } = 9 a _ { 1 } + 36 d = 54 \times 9 + 36 \times 2 = 558$ ．

Question 16: 17．在 $V A B C$ 中，$a , ~ b , ~ c$ 分别是角 $A , ~ B , ~ C$ 的对边．若 $a , ~ b , ~ c$ 成等比数列，且 $a ^ { 2 } - c ^...

17．在 $V A B C$ 中，$a , ~ b , ~ c$ 分别是角 $A , ~ B , ~ C$ 的对边．若 $a , ~ b , ~ c$ 成等比数列，且 $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = ( a - b ) c$ ，则 $A$ 的大小是

  • A. A. $\frac { \pi } { 6 }$
  • B. B. $\frac { \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 2 \pi } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 5 \pi } { 6 }$

Answer: B

Solution: 由已知得 $b ^ { 2 } = a c$ ，由 $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = ( a - b ) c$ ，得 $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = a c - b c$ ，所以 $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = b ^ { 2 } - b c$ ，得 $b c = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 }$ ， 由余弦定理得 $\cos A = \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c } = \frac { b c } { 2 b c } = \frac { 1 } { 2 }$ ，又 $A \in ( 0 , \pi )$ ，所以 $A = \frac { \pi } { 3 }$ ．

Question 17: 18．在数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 2$ ，对 $\forall n \in \mathbf { N ...

18．在数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，$a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 2$ ，对 $\forall n \in \mathbf { N } ^ { * } , a _ { n + 2 } = \frac { 5 } { 2 } a _ { n + 1 } - \frac { 3 } { 2 } a _ { n }$ ，则 $a _ { 2021 } =$

  • A. A. $2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2018 } - 1$
  • B. B. $2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2019 } - 1$
  • C. C. $2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2020 } - 1$
  • D. D. $2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2021 } - 1$

Answer: C

Solution: 解答：由 $a _ { n + 2 } = \frac { 5 } { 2 } a _ { n + 1 } - \frac { 3 } { 2 } a _ { n }$ 得 $a _ { n + 2 } - a _ { n + 1 } = \frac { 3 } { 2 } \left( a _ { n + 1 } - a _ { n } \right)$ $\therefore$ 数列 $\left\{ a _ { n + 1 } - a _ { n } \right\}$ 是以 $a _ { 2 } - a _ { 1 } = 1$ 为首项，$\frac { 3 } { 2 }$ 为公比的等比数列， $\therefore a _ { n + 1 } - a _ { n } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } \left( n \in N ^ { * } \right)$ $\therefore$ 当 $n \geq 2$ 时，$a _ { n } = \left( a _ { n } - a _ { n - 1 } \right) + \left( a _ { n - 1 } - a _ { n - 2 } \right) + \cdots + \left( a _ { 3 } - a _ { 2 } \right) + \left( a _ { 2 } - a _ { 1 } \right) + a _ { 1 }$ $= \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 2 } + \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 3 } + \cdots + \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 1 } + \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 0 } + 1$ $= \frac { 1 - \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } } { 1 - \frac { 3 } { 2 } } + 1$ $= 2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } - 1$ 经检验，$n = 1$ 时成立．$\therefore a _ { n } = 2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } - 1$ 。 $\therefore a _ { 2021 } = 2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2020 } - 1$ ，

Question 18: 19 ．＂中国剩余定理＂又称＂孙子定理＂，此定理讲的是关于整除的问题．现将 1 到 2024 这 2024 个数中被 3 除余 1 ，且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\l...

19 ．＂中国剩余定理＂又称＂孙子定理＂，此定理讲的是关于整除的问题．现将 1 到 2024 这 2024 个数中被 3 除余 1 ，且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，其前 $n _ { \text {项和为 } } S _ { n }$ ，则 $S _ { 20 } - a _ { 10 } =$

  • A. A. 2130
  • B. B. 2734
  • C. C. 2820
  • D. D. 3019

Answer: B

Solution: 能被 3 除余 1 ，且被 5 除余 1 的数为能被 15 除余 1 的数， 按从小到大的顺序排成以 1 为首项，公差为 15 的等差数列，则 $a _ { n } = 1 + 15 \times ( n - 1 ) = 15 n - 14$ ， 所以 $a _ { 10 } = 15 \times 10 - 14 = 136 , S _ { 20 } = 1 \times 20 + \frac { 20 \times 19 } { 2 } \times 15 = 2870$ ， 所以 $S _ { 20 } - a _ { 10 } = 2870 - 136 = 2734$ 。

Question 19: 20．标准对数视力表（如图）采用的＂五分记录法＂是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行为正方形＂$E$＂字视标，且从视力 5.1 的视标所在行开始往上，每一行＂$E$＂的边长都是下方一行＂$E$...

20．标准对数视力表（如图）采用的＂五分记录法＂是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行为正方形＂$E$＂字视标，且从视力 5.1 的视标所在行开始往上，每一行＂$E$＂的边长都是下方一行＂$E$＂的边长的 $\sqrt [ 10 ] { 10 }$ 倍，若视力 4.0 的视标边长为 ${ } ^ { a }$ ，则视力 4.9 的视标边长为 | 标准对数远视力表 | | | :--- | :--- | | ![](/images/questions/sequence/image-001.jpg) | | | E | | | | | | E ${ } ^ { 43 }$ | | | | | | | | | | | | | | | m Em $\boldsymbol { \Xi } 4.8$ | | | E m 尹 $\omega$ E $\mathrm { m } \equiv$ 5.0 | | | 5.1 | | | 5.2 | | | | |

  • A. A. $10 ^ { \frac { 4 } { 5 } } a$
  • B. B. $10 ^ { \frac { 9 } { 10 } } a$
  • C. C. $10 ^ { - \frac { 4 } { 5 } } a$
  • D. D. $10 ^ { - \frac { 9 } { 10 } } a$

Answer: D

Solution: 设第 $n$ 行视标边长为 $a _ { n }$ ，第 $n - 1$ 行视标边长为 $a _ { n - 1 } ( n \geq 2 )$ ， 由题意可得 $a _ { n - 1 } = \sqrt [ 10 ] { 10 } a _ { n } ( n \geq 2 )$ ，则 $\frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } = 10 ^ { - \frac { 1 } { 10 } } ( n \geq 2 )$ ，则数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为首项为 $a$ ，公比为 $10 ^ { - \frac { 1 } { 10 } }$ 的等比数列， 所以 $a _ { 10 } = a \left( 10 ^ { - \frac { 1 } { 10 } } \right) ^ { 10 - 1 } = 10 ^ { - \frac { 9 } { 10 } } a$ ，则视力 4.9 的视标边长为 $10 ^ { - \frac { 9 } { 10 } } a$ ，

Question 20: 21．设双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )...

21．设双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点为 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ ，若双曲线右支上存在点 $P$ ，使得 $\left| P F _ { 2 } \right| , \left| P F _ { 1 } \right| , \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right|$ 成等差数列，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）

  • A. A. $[ 3 , + \infty )$
  • B. B. $( 1,3 ]$
  • C. C. $( 3 , + \infty )$
  • D. D. $( 1,3 )$

Answer: A

Solution: 设 $\left| P F _ { 2 } \right| = m$ ，则 $\left| P F _ { 1 } \right| = m + 2 a , \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = m + 4 a = 2 c$ ，所以 $m = 2 c - 4 a$ ， 又 $P$ 在右支上，所以 $\left| P F _ { 2 } \right| \geq c - a$ ，即 $2 c - 4 a \geq c - a$ ，所以离心率 $e = \frac { c } { a } \geq 3$ 。

Question 21: 22．数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列，若 $\frac { a _ { 11 } } { a _ { 10 } } < - 1$ ，且它的前 $n$ 项和 ...

22．数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列，若 $\frac { a _ { 11 } } { a _ { 10 } } < - 1$ ，且它的前 $n$ 项和 $S _ { n }$ 有最大值，那么当 $S _ { n }$ 取得最小正值时，$n =$

  • A. A. 11
  • B. B. 17
  • C. C. 19
  • D. D. 21

Answer: C

Solution: 试题分析 ：$\because \mathrm { Sn }$ 有最大值，$\therefore \mathrm { d } < 0$ 则 $\mathrm { a } _ { 10 } > \mathrm { a } _ { 11 }$ ，又 $\frac { a _ { 11 } < - 1 } { a _ { 10 } } , \therefore \mathrm { a } _ { 11 } < 0 <$ $\mathrm { a } _ { 10 } \therefore \mathrm { a } _ { 10 } + \mathrm { a } _ { 11 } < 0$, $\therefore S _ { 20 } = 10 \left( a _ { 1 } + a _ { 20 } \right) = 10 \left( a _ { 10 } + a _ { 11 } \right) < 0 \quad , S _ { 19 } = 19 a _ { 10 } > 0 \quad$ 又 $a _ { 1 } > a _ { 2 } > \cdots > a _ { 10 } > 0 > a _ { 11 } > a _ { 12 }$ $\therefore \quad S _ { 10 } > S _ { 9 } > \cdots > S _ { 2 } > S _ { 1 } > 0 \quad , \quad S _ { 10 } > S _ { 11 } > \cdots > S _ { 19 } > 0 > S _ { 20 } > S _ { 21 }$ 又 $S _ { 19 } - S _ { 1 } = a _ { 2 } + a _ { 3 } + \cdots + a _ { 19 } = 9 \left( a _ { 10 } + a _ { 11 } \right) < 0 \quad \therefore S _ { 19 }$ 为最小正值 考点 ：等差数列的性质

Question 22: 23．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ，且满足 $S _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \lef...

23．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ，且满足 $S _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n } + n - 1 \right)$ ，则数列 $\left\{ n a _ { n } \right\}$ 的前 81 项的和为（ ）

  • A. A. 1640
  • B. B. 1660
  • C. C. 1680
  • D. D. 1700

Answer: A

Solution: 由 $S _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n } + n - 1 \right)$ ， 有 $a _ { n + 1 } = S _ { n + 1 } - S _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n + 1 } + n \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n } + n - 1 \right) = \frac { 1 } { 2 } a _ { n + 1 } - \frac { 1 } { 2 } a _ { n } + \frac { 1 } { 2 }$ ，有 $a _ { n } + a _ { n + 1 } = 1$ ． 又由 $a _ { 1 } = S _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } a _ { 1 }$ ，可得 $a _ { 1 } = 0$ ，可得 $a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } 0 , n \text { 为奇数 } \\ 1 , n \text { 为偶数 } \end{array} \right.$ 则数列 $\left\{ n a _ { n } \right\}$ 的前 81 项的和为 $2 + 4 + 6 + \cdots + 80 = \frac { 40 \times ( 2 + 80 ) } { 2 } = 1640$ ．

Question 23: 24．在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，公差为 ${ } _ { d }$ ，且 $S _ { 10 } = 4 S _ { 5 }$ ，则 $\frac { ...

24．在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，公差为 ${ } _ { d }$ ，且 $S _ { 10 } = 4 S _ { 5 }$ ，则 $\frac { a _ { 1 } } { d }$ 等于

  • A. A. $\frac { 1 } { 4 }$
  • B. B. 8
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. 4

Answer: C

Solution: 依题意有 $10 a _ { 1 } + 45 d = 4 \left( 5 a _ { 1 } + 10 d \right)$ ，即 $10 a _ { 1 } = 5 d$ ，故 $\frac { a _ { 1 } } { d } = \frac { 1 } { 2 }$ 。所以选 C。 【点睛】本小题主要考查等差数列的前 $n$ 项和公式，利用等差数列前 $n$ 项和公式求比值。属于基础题，直接代入公式即可计算出结果。

Question 24: 25．已知 $S _ { n }$ 是等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$ ，则下列结论错误的...

25．已知 $S _ { n }$ 是等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$ ，则下列结论错误的是

  • A. A. $a _ { 4 } = 0$
  • B. B. $S _ { 4 } = S _ { 3 }$
  • C. C. $S _ { 7 } = 0$
  • D. D. $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是递减数列

Answer: D

Solution: 试题分析：设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $d$ ．由 $S _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$ ，可得：$a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } = 3 a _ { 1 } + 3 d = 2 a _ { 1 }$ ，可得 $a _ { 1 } = - 3 d$ 。利用通项公式与求和公式即可判断出 $A$ ，B，C 的正误。由于无法判断 $d$ 的 正负，因此无法判断等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的单调性，即可判断出 D 的正误。 详解：设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $d$ ． 由 $S _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$ ，可得：$a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } = 3 a _ { 1 } + 3 d = 2 a _ { 1 }$ ，可得 $a _ { 1 } = - 3 d$ 。 则 $\mathrm { a } _ { 4 } = - 3 \mathrm {~d} + 3 \mathrm {~d} = 0 , \mathrm {~S} _ { 4 } = \mathrm { S } _ { 3 } , \mathrm {~S} _ { 7 } = \frac { 7 \left( a _ { 1 } + a _ { 7 } \right) } { 2 } = 7 \mathrm { a } _ { 4 } = 0$ ，因此 A ，B，C正确。 由于无法判断 d 的正负，因此无法判断等差数列 $\left\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \right\}$ 的单调性，因此 D 错误。

Question 25: 26．阅读右面的程序框图，若输入的 $n$ 是 100 ，则输出的变量 $S$ 和 $T$ 的值依次是（ ） ![](/images/questions/sequence/image-002.jpg)

26．阅读右面的程序框图，若输入的 $n$ 是 100 ，则输出的变量 $S$ 和 $T$ 的值依次是（ ） ![](/images/questions/sequence/image-002.jpg)

  • A. A. 2450,2500
  • B. B. 2550， 2450
  • C. C. 2500， 2550
  • D. D. 2550， 2500

Answer: D

Solution: 模拟执行程序框图，可得 $n = 100 , S = 0 , T = 0$ ； 不满足条件 $_ { n < 2 } , S = 100 , n = 99 , T = 99 , n = 98$ ； 不满足条件 $_ { n < 2 } , S = 100 + 98 , n = 97 , T = 99 + 97 , n = 96$ ； 不满足条件 $_ { n < 2 } , S = 100 + 98 + 96 , n = 95 , T = 99 + 97 + 95 , n = 94$ ； L 不满足条件 $_ { n < 2 } , S = 100 + 98 + \cdots + 4 , n = 3 , T = 99 + 97 + \cdots + 3 , n = 2$ ； 不满足条件 $_ { n < 2 } , S = 100 + 98 + \cdots + 4 + 2 , n = 1 , T = 99 + 97 + \cdots + 3 + 1 , n = 0$ ； 满足条件 ${ } _ { n < 2 }$ ，退出循环，输出 $S , T$ 的值， 所以 $S = 100 + 98 + 96 + \cdots + 2 = 2550$ ， $T = 99 + 97 + \cdots + 1 = 2500$ ．

Question 26: 27 ．给出以下命题，其中正确的命题的个数是（ ） （1）存在两个不等实数 $\alpha , \beta$ ，使得等式 $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha ...

27 ．给出以下命题，其中正确的命题的个数是（ ） （1）存在两个不等实数 $\alpha , \beta$ ，使得等式 $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha + \sin \beta$ 成立； （2）若数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列，且 $m + n = s + t , m , n , s , t \in N ^ { * }$ ，则 $a _ { m } + a _ { n } = a _ { s } + a _ { t }$ ； （3）若 $S _ { n }$ 是等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S _ { n } = 3 \cdot 2 ^ { n } + A$ ，则 $A = - 3$ ； （4）已知 $V A B C$ 的三个内角 $A , B , C$ 所对的边分别为 $a , b , c$ ，若 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } > c ^ { 2 }$ ，则 $V A B C -$定是锐角三角形；（ ）

  • A. A. 1 个
  • B. B. 2 个
  • C. C. 3 个
  • D. D. 4 个

Answer: C

Solution: 对于（1），$\alpha = 0 , \beta = \pi$ 时， $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha + \sin \beta$ ，故正确； 对于（2），数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列时，设公差为 $d$ ，若 $m + n = s + t$ ， 则 $a _ { m } + a _ { n } = a _ { 1 } + ( m - 1 ) d + a _ { 1 } + ( n - 1 ) d = 2 a _ { 1 } + ( m + n - 2 ) d$ ， $a _ { s } + a _ { t } = a _ { 1 } + ( s - 1 ) d + a _ { 1 } + ( t - 1 ) d = 2 a _ { 1 } + ( s + t - 2 ) d$ 故 $a _ { m } + a _ { n } = a _ { s } + a _ { t }$ ，正确； 对于（3），$a _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } = \left( 302 ^ { n } + A \right) - \left( 302 ^ { n - 1 } + A \right) = 302 ^ { n - 1 }$ ， 且 $S _ { 1 } = 6 + A = a _ { 1 } = 3$ ，故 $A = - 3$ ，正确； 对于（4），取 ${ } ^ { a = 5 , b = 4 , c = 3 }$ ，易知 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } > c ^ { 2 }$ ，而三角形是直角三角形，故错误．

Question 27: 28．已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 1 } = 1 , a _ { 5 } = 4$ ，则 $a _ { 2 } a _ { 3 } a ...

28．已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 1 } = 1 , a _ { 5 } = 4$ ，则 $a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 4 } = ( )$

  • A. A. - 8
  • B. B. - 16
  • C. C. 8
  • D. D. 16

Answer: C

Solution: 由等比数列性质可得 $a _ { 3 } ^ { 2 } = a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 1 } a _ { 5 } = 4$ ， 又 ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 }$ ，故 $a _ { 3 } = a _ { 1 } q ^ { 2 } > 0$ ，所以 $a _ { 3 } = 2$ ， 所以 $a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 4 } = 4 \times 2 = 8$ ．

Question 28: 29．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n } = 3 \times 2 ^ { n - 1 } , n \in N ^ { * }$ ，现将该数...

29．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n } = 3 \times 2 ^ { n - 1 } , n \in N ^ { * }$ ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第 $i$ 行 有 ${ } ^ { i }$ 个数，$i \in N ^ { * }$ ），从左至右第 $i$ 行第 ${ } ^ { j }$ 个数记为 ${ } ^ { ~ } { } _ { ( i , j ) } \left( i , j \in N ^ { * } \right.$ 且 $\left. { } ^ { j \leq i } \right)$ ，则 $a _ { ( 21,21 ) } =$ $a _ { 1 }$ $a _ { 2 } \quad a _ { 3 }$ $\begin{array} { l l l } a _ { 6 } & a _ { 5 } & a _ { 4 } \end{array}$ $\begin{array} { l l l l } a _ { 7 } & a _ { 8 } & a _ { 9 } & a _ { 10 } \end{array}$ $\begin{array} { l l l l l } a _ { 15 } & a _ { 14 } & a _ { 13 } & a _ { 12 } & a _ { 11 } \end{array}$ $\_\_\_\_$

  • A. A. $3 \times 2 ^ { 209 }$
  • B. B. $3 \times 2 ^ { 230 }$
  • C. C. $3 \times 2 ^ { 211 }$
  • D. D. $3 \times 2 ^ { 212 }$

Answer: B

Solution: 解：由题意可知，第 ${ } _ { i }$ 行有 ${ } _ { i }$ 个数，则前 21 行共有 $\frac { ( 1 + 21 ) \times 21 } { 2 } = 231$ 个数，$a _ { ( 21,21 ) }$ 对应的数为第 21 行的最后一个数，即 $a _ { 231 }$ ，即 $a _ { ( 21,21 ) } = a _ { 231 } = 3 \times 2 ^ { 230 }$ 。

Question 29: 30．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等比数列，若 $a _ { 5 } - a _ { 3 } = 12 , a _ { 6 } - a _ { 4 } = 2...

30．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等比数列，若 $a _ { 5 } - a _ { 3 } = 12 , a _ { 6 } - a _ { 4 } = 24$ ，则 $a _ { 2024 } =$

  • A. A. $2 ^ { 2023 } - 1$
  • B. B. $2 ^ { 2023 }$
  • C. C. $2 ^ { 2024 } - 1$
  • D. D. $2 ^ { 2024 }$

Answer: B

Solution: 设等比数列的公比为 $q$ ，因为 $a _ { 5 } - a _ { 3 } = 12 , a _ { 6 } - a _ { 4 } = 24$ ， 所以由 $a _ { 6 } - a _ { 4 } = q \left( a _ { 5 } - a _ { 3 } \right)$ ，得 $24 = 12 q$ ，所以 $q = 2$ ， 又 $a _ { 1 } q ^ { 4 } - a _ { 1 } q ^ { 2 } = 12$ ，即 $a _ { 1 } \times 2 ^ { 4 } - a _ { 1 } \times 2 ^ { 2 } = 12$ ，所以 ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 }$ ， 所以 ${ } _ { 2024 } = 1 \times 2 ^ { 2024 - 1 } = 2 ^ { 2023 }$ ．

Question 30: 31．已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ，且 $a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 8 } ...

31．已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ，且 $a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 8 } = 6$ ，则 $S _ { 7 } =$

  • A. A. 28
  • B. B. 21
  • C. C. 16
  • D. D. 14

Answer: D

Solution: 因为 $a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 8 } = 3 a _ { 1 } + 9 d = 3 a _ { 4 } = 6$ ，所以 $a _ { 4 } = 2 , S _ { 7 } = \frac { 7 \left( a _ { 1 } + a _ { 7 } \right) } { 2 } = 7 a _ { 4 } = 14$ ．

Question 31: 32．已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列，且 $a _ { 2 } \cdot a _ { 3 } = 2 a _ { 1 } , a _ { 4 }$ 与 $...

32．已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列，且 $a _ { 2 } \cdot a _ { 3 } = 2 a _ { 1 } , a _ { 4 }$ 与 $2 a _ { 7 }$ 的等差中项为 $\frac { 5 } { 4 }$ ，则 $a _ { 5 } =$

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. 31
  • D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer: A

Solution: 由 ${ } ^ { a _ { 2 } } \cdot a _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$ 得 ${ } ^ { a _ { 1 } q ^ { 3 } = a _ { 4 } = 2 }$ ， 又 $a _ { 4 } + 2 a _ { 7 } = 2 + 2 a _ { 7 } = \frac { 5 } { 2 }$ ，得 $2 a _ { 1 } q ^ { 6 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，（2） 由（1）（2）得 $a _ { 1 } = 16 , q = \frac { 1 } { 2 } , \therefore a _ { 5 } = 16 \times \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 } = 1$ ．

Question 32: 34．等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项均为正数，且 $a _ { 5 } a _ { 6 } + a _ { 4 } a _ { 7 } = 6$ ，则 $\...

34．等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项均为正数，且 $a _ { 5 } a _ { 6 } + a _ { 4 } a _ { 7 } = 6$ ，则 $\log _ { 3 } \left( a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { 10 } \right) =$

  • A. A. 1
  • B. B. 5
  • C. C. 15
  • D. D. 30

Answer: B

Solution: 由于数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等比数列，故 $a _ { 5 } a _ { 6 } + a _ { 4 } a _ { 7 } = 2 a _ { 5 } a _ { 6 } = 6 , a _ { 5 } a _ { 6 } = 3$ ，所以 $a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { 10 } = \left( a _ { 5 } a _ { 6 } \right) ^ { 5 } = 3 ^ { 5 }$ ，故 $\log _ { 3 } \left( a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { 10 } \right) = \log _ { 3 } 3 ^ { 5 } = 5$ 。

Question 33: 35．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n } , a _ { 1 } = 1 , a _ { n } = \left\{ \be...

35．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n } , a _ { 1 } = 1 , a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } a _ { n - 1 } + 1 , n = 2 k \\ 2 a _ { n - 1 } + 1 , n = 2 k + 1 \end{array} \left( k \in \mathrm {~N} ^ { * } \right) \right.$ ．则下列选项正确的 比数列

  • A. A. $a _ { 6 } = 16$
  • B. B. 数列 $\left\{ a _ { 2 k } + 3 \right\} \left( k \in \mathrm {~N} ^ { * } \right)$ 是以 2 为公比的等
  • C. C. 对任意的 $k \in \mathrm {~N} ^ { * } , a _ { 2 k } = 2 ^ { k + 1 } - 3$
  • D. D. $S _ { n } > 1000$ 的最小正整数 $n$ 的值为 15

Answer: D

Solution: 依题意，$a _ { 2 k } - a _ { 2 k - 1 } = 1 , a _ { 2 k + 1 } - 2 a _ { 2 k } = 1$ ，由 ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 } , ~ a _ { 2 } - a _ { 1 } = 1$ ，得 $a _ { 2 } = a _ { 1 } + 1 = 2$ ， 又 $a _ { 2 k + 2 } - a _ { 2 k + 1 } = 1$ ，则 $a _ { 2 k + 2 } - 2 a _ { 2 k } = 2$ ，即 $a _ { 2 k + 2 } + 2 = 2 \left( a _ { 2 k } + 2 \right)$ ，而 $a _ { 2 } + 2 = 4 \neq 0$ ，因此数列 $\left\{ a _ { 2 k } + 2 \right\}$ 为等比数列，$a _ { 2 k } + 2 = 4 \times 2 ^ { k - 1 }$ ，即 $a _ { 2 k } = 2 ^ { k + 1 } - 2 , a _ { 6 } = 16 - 2 = 14$ ，AC 错误 ； 对于 B，$a _ { 2 k } + 3 = 2 ^ { k + 1 } + 1 , \frac { a _ { 2 k + 2 } + 3 } { a _ { 2 k } + 3 } = \frac { 2 ^ { k + 2 } + 1 } { 2 ^ { k + 1 } + 1 }$ 不是常数，数列 $\left\{ a _ { 2 k } + 3 \right\}$ 不是等比数列，B 错误； 对于 D，$a _ { 2 k - 1 } = a _ { 2 k } - 1 = 2 ^ { k + 1 } - 3$ ，数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 各项均为正，因此数列 $\left\{ S _ { n } \right\}$ 是递增数列， $S _ { 14 } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { 14 } = a _ { 1 } + \left( a _ { 1 } + 1 \right) + a _ { 3 } + \left( a _ { 3 } + 1 \right) + \cdots + a _ { 13 } + \left( a _ { 13 } + 1 \right)$ $= 2 \left( a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } + a _ { 7 } + a _ { 9 } + a _ { 11 } + a _ { 13 } \right) + 7 = 2 \times \left( 2 ^ { 2 } - 3 + 2 ^ { 3 } - 3 + \cdots + 2 ^ { 8 } - 3 \right) + 7 = 981$ $S _ { 15 } = S _ { 14 } + a _ { 15 } = 981 + 509 = 1490 > 1000$ ，所以 ${ } ^ { S _ { n } > 1000 }$ 的最小正整数 $n$ 的值为 15 ，D正确．

Question 34: 36．已知正项等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $2 a _ { 4 } + a _ { 3 } = a _ { 2 }$ ，若数列 $\left\{ a _ ...

36．已知正项等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $2 a _ { 4 } + a _ { 3 } = a _ { 2 }$ ，若数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中存在两项 $a _ { m } , a _ { n }$ 的等比中项为 $\frac { a _ { 1 } } { 4 }$ ，则 $\frac { 4 } { m } + \frac { 1 } { n }$ 的最小值为（ ）

  • A. A. $\frac { 3 } { 2 }$
  • B. B. $\frac { 5 } { 3 }$
  • C. C. 2
  • D. D. $\frac { 13 } { 6 }$

Answer: A

Solution: 因为 $2 a _ { 4 } + a _ { 3 } = a _ { 2 }$ ，设等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项为 ${ } ^ { a _ { 1 } }$ ，公比为 $q$ ，则 $2 a _ { 1 } \cdot q ^ { 3 } + a _ { 1 } \cdot q ^ { 2 } = a _ { 1 } \cdot q$ ，所以 $2 q ^ { 2 } + q = 1$ ，解得 ：$q = - 1$（舍去）或 $q = \frac { 1 } { 2 }$ ，又因为 $\frac { a _ { 1 } } { 4 }$ 是 $a _ { m }$ ， $a _ { n }$ 的等比中项，所以 $\left( \frac { a _ { 1 } } { 4 } \right) ^ { 2 } = a _ { m } \cdot a _ { n }$ ，则 $a _ { 1 } ^ { 2 } = 16 a _ { 1 } \cdot q ^ { m - 1 } \cdot a _ { 1 } \cdot q ^ { n - 1 }$ ，所以 $\left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { m + n - 2 } = \frac { 1 } { 16 } = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 }$ ， 即 $m + n = 6$ ，所以 $\frac { 4 } { m } + \frac { 1 } { n } = \frac { 1 } { 6 } ( m + n ) \times \left( \frac { 4 } { m } + \frac { 1 } { n } \right) = \frac { 1 } { 6 } \left( 4 + \frac { m } { n } + \frac { 4 n } { m } + 1 \right) = \frac { 1 } { 6 } \left( 5 + \frac { m } { n } + \frac { 4 n } { m } \right)$ $\geq \frac { 1 } { 6 } \left( 5 + 2 \sqrt { \frac { m } { n } \cdot \frac { 4 n } { m } } \right) = \frac { 3 } { 2 }$ ，当且仅当 $\frac { m } { n } = \frac { 4 n } { m }$ ，即 $n = 2 , m = 4$ 时取等．

Question 35: 37．已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和 $S _ { n }$ ，且 $S _ { 25 } = 100$ ，则 $a _ { 12 } + ...

37．已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和 $S _ { n }$ ，且 $S _ { 25 } = 100$ ，则 $a _ { 12 } + a _ { 14 } =$

  • A. A. 16
  • B. B. 8
  • C. C. 4
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: 因为 $S _ { 25 } = \frac { 25 } { 2 } \left( a _ { 1 } + a _ { 25 } \right) = 25 a _ { 13 } = 100$ ， $\therefore a _ { 13 } = 4$ $\therefore a _ { 12 } + a _ { 14 } = 2 a _ { 13 } = 8$ ，故选 B． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前 $n$ 项和公式的应用，属于中档题．解答有关等差数列问题时，要注意应用等差数列的性质 $a _ { p } + a _ { q } = a _ { m } + a _ { n } = 2 a _ { r } \quad ( p + q = m + n = 2 r )$ 与前 $n$ 项和的关系．

Question 36: 38．等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，已知 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = 20 , a _ ...

38．等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中，已知 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = 20 , a _ { 5 } + a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 } = 10$ ，则数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$的前 16 项和 $S _ { 16 }$ 为

  • A. A. 20
  • B. B. $\frac { 75 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { 125 } { 2 }$
  • D. D. $- \frac { 75 } { 2 }$

Answer: B

Solution: 试题分析：由题意得，$S _ { 4 } = 20 , S _ { 8 } - S _ { 4 } = 10$ ，则 $\frac { S _ { 8 } - S _ { 4 } } { S _ { 4 } } = \frac { 1 } { 2 }$ ，根据等比数列的性质 可知 $S _ { 4 } , S _ { 8 } - S _ { 4 } , S _ { 12 } - S _ { 8 } , S _ { 16 } - S _ { 12 }$ 构成公比为 $\frac { 1 } { 2 }$ 等比数列， $S _ { 4 } = 20 , S _ { 8 } - S _ { 4 } = 10 , S _ { 12 } - S _ { 8 } = 5 , S _ { 16 } - S _ { 12 } = \frac { 5 } { 2 }$ ，且 $S _ { 8 } = 30 , S _ { 12 } = 35 , S _ { 16 } = \frac { 75 } { 2 }$ ，故选 B ． 考点：等比数列的性质。

Question 37: 39．若数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 为等比数列，且满足：$a _ { 1 } + a _ {...

39．若数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 为等比数列，且满足：$a _ { 1 } + a _ { 2019 } = \pi , b _ { 1 } \cdot b _ { 2019 } = 2$ ，函数 $f ( x ) = \sin x$ ，则 $f \left( \frac { a _ { 1009 } + a _ { 1011 } } { 1 + b _ { 1009 } b _ { 1011 } } \right) =$

  • A. A. $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • D. D. $- \frac { 1 } { 2 }$

Answer: C

Solution: 根据等差数列的性质得到 $a _ { 1 } + a _ { 2019 } = a _ { 1009 } + a _ { 1011 } = \pi$ ，根据等比数列的性质有 $b _ { 1 } \cdot b _ { 2019 } = b _ { 1009 } \cdot b _ { 1011 } = 2 ; f \left( \frac { a _ { 1009 } + a _ { 1011 } } { 1 + b _ { 1009 } b _ { 1011 } } \right) = f \left( \frac { \pi } { 3 } \right) = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$. 故本题选 C． 【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质。

Question 38: 40．数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = \left( 2 \left| \sin \frac { n \pi } { 2 } \r...

40．数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = \left( 2 \left| \sin \frac { n \pi } { 2 } \right| - 1 \right) a _ { n } + n , n \in \mathrm {~N} ^ { * }$ ，则数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 20 项和为 《2025年10月29日高中数学作业》

  • A. A. 100
  • B. B. 110
  • C. C. 160
  • D. D. 200

Answer: B

Solution: 解：由 $a _ { n + 1 } = \left( 2 \left| \sin \frac { n \pi } { 2 } \right| - 1 \right) a _ { n } + n$ ， 得：$a _ { 1 } = a _ { 1 } , a _ { 2 } = a _ { 1 } + 1 , a _ { 3 } = - a _ { 2 } + 2 = - a _ { 1 } + 1 , a _ { 4 } = a _ { 3 } + 3 = - a _ { 1 } + 4$ ， $\therefore ^ { a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = 6 }$ ． 同理求得 $a _ { 5 } + a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 } = 14 , a _ { 9 } + a _ { 10 } + a _ { 11 } + a _ { 12 } = 22$ ． $\therefore$ 数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 20 项满足 $S _ { 4 } , S _ { 8 } - S _ { 4 } , S _ { 12 } - S _ { 8 } , \cdots$ 是以 6 为首项， 8 为公差的等差数列，则数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 20 项和为 $S = 5 \times 6 + \frac { 5 \times 4 } { 2 } \times 8 = 110$ 。
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数列

38 练习题

知识点概述

数列是数学中按一定顺序排列的一列数，主要包括等差数列和等比数列。在CSCA考试中，数列题目常涉及通项公式、前n项和的计算，以及数列性质在几何、代数问题中的应用。掌握基本公式和灵活运用是解题关键。

题目数量:38

重点内容

  • 1等差数列的通项公式与求和公式
  • 2等比数列的通项公式与求和公式
  • 3等差中项与等比中项的计算
  • 4数列与其他知识点的综合应用（如圆锥曲线）

学习建议

建议熟记等差、等比数列的核心公式，并通过练习题掌握中项性质和跨知识点综合题的解法。

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