函数hánshù

Konsep Inti

Fungsi adalah salah satu konsep paling mendasar dalam matematika, yang menggambarkan hubungan antara dua variabel. Sederhananya, fungsi adalah mekanisme "input-output": dengan memberikan nilai input, menurut aturan tertentu, kita mendapatkan nilai output yang ditentukan secara unik.

Definisi Matematika

Misalkan $A$ dan $B$ adalah dua himpunan bilangan yang tidak kosong. Jika, menurut aturan korespondensi $f$, untuk setiap elemen $x$ dalam himpunan $A$, ada elemen yang ditentukan secara unik $y$ dalam himpunan $B$, maka $f$ disebut sebagai sebuah fungsi dari $A$ ke $B$, yang dituliskan sebagai:

$y = f(x), \quad x \in A$

di mana:

• $x$ adalah variabel independen
• $y$ adalah variabel dependen
• $A$ adalah domain
• Himpunan semua nilai dari $f(x)$ disebut sebagai range

Tiga Elemen dari sebuah Fungsi

Sebuah fungsi ditentukan secara unik oleh tiga elemen:

1. Domain - Himpunan semua nilai input yang mungkin
2. Rule/Formula - Korespondensi dari input ke output
3. Range - Himpunan semua nilai keluaran yang mungkin

Penting: Dua fungsi sama jika dan hanya jika domain dan aturan korespondensinya sama.

Jenis Fungsi Umum

1. Fungsi Linear

$f(x) = kx + b \quad (k \neq 0)$ Grafik: garis lurus

2. Fungsi Kuadrat

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$ Grafik: parabola

3. Fungsi Eksponensial

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$ Fitur: pertumbuhan atau peluruhan yang cepat

4. Fungsi Logaritmik

$f(x) = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1)$ Fitur: kebalikan dari fungsi eksponensial

5. Fungsi Trigonometri

$f(x) = \sin x, \cos x, \tan x, \text{etc.}$ Fitur: periodik

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Kecepatan dan Waktu

Mobil melaju dengan kecepatan 60 km/jam. Hubungan antara waktu $t$ (jam) dan jarak $s$ (km)?

$s = f(t) = 60t$

Aplikasi 2: Perhitungan Keuntungan

Biaya produk $50, sells for$80. Hubungan antara kuantitas $x$ dan laba $P$?

$P = f(x) = 30x$

Aplikasi 3: Konversi Suhu

Celcius $C$ ke Fahrenheit $F$:

$F = f(C) = \frac{9}{5}C + 32$

Soal-soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar bahasa Mandarin untuk membantu siswa membiasakan diri dengan tipe soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Diberikan fungsi $f(x) = 2x + 1$, cari $f(3)$.

Penyelesaian: $f(3) = 2(3) + 1 = 7$

Jawaban 7

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Diberikan $f(x + 1) = x^2 + 2x$, temukan $f(x)$.

Solusi:

Misalkan $t = x + 1$, lalu $x = t - 1$.

$f(t) = (t-1)^2 + 2(t-1) = t^2 - 1$

Oleh karena itu: $f(x) = x^2 - 1$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Kesulitan ★★★★☆)

Diberikan $f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = 3x$, temukan $f(x)$.

Solusi:

Dari persamaan: $f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = 3x$ ... ①

Ganti $x$ dengan $\frac{1}{x}$: $f(\frac{1}{x}) + 2f(x) = \frac{3}{x}$ ... ②

Selesaikan: ①×2 - ②: $3f(\frac{1}{x}) = 6x - \frac{3}{x}$ $f(\frac{1}{x}) = 2x - \frac{1}{x}$

Ganti $x$ dengan $\frac{1}{x}$: $f(x) = -x + \frac{2}{x}$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Fungsi hanyalah sebuah rumus

Koreksi: Fungsi adalah hubungan korespondensi, tidak harus diekspresikan dengan rumus. Fungsi bisa diwakili oleh tabel, grafik, atau deskripsi.

❌ Kesalahan 2: Satu nilai x dapat berhubungan dengan beberapa nilai y

Koreksi: Sebuah fungsi membutuhkan satu input yang sesuai dengan tepat satu output. Jika satu $x$ memberikan beberapa nilai $y$, itu bukan sebuah fungsi.

Contoh: $x^2 + y^2 = 1$ (persamaan lingkaran) bukanlah sebuah fungsi.

❌ Kesalahan 3: Domain bisa berubah-ubah

Koreksi: Domain harus memenuhi:

• Penyebut ≠ 0
• Akar genap ≥ 0
• Argumen logaritma > 0
• Batasan dunia nyata

Tips Belajar

1. pahami esensi**: Fungsi adalah hubungan, bukan hanya rumus
2. ✅ Tiga elemen: Domain, aturan, dan rentang semuanya penting
3. ✅ Klasifikasikan jenis: Ketahui karakteristik dari fungsi-fungsi umum
4. ✅ Menganalisis properti: Monotonitas, paritas, periodisitas adalah kuncinya
5. ✅ Aplikasi nyata: Mengidentifikasi hubungan fungsional dalam kehidupan

---

💡 Tip Ujian: Fungsi adalah konten inti dalam ujian CSCA, dengan sekitar 20% pertanyaan yang secara langsung atau tidak langsung melibatkan fungsi. Kuasailah semuanya secara menyeluruh!