值域zhíyù

Konsep Dasar

Daerah hasil (range) suatu fungsi $f$ adalah himpunan semua nilai keluaran (nilai y) yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut.

Definisi Matematis

$\text{Daerah Hasil}(f) = \{y \mid y = f(x) \text{ untuk suatu } x \in \text{Domain}(f)\}$

Daerah hasil juga disebut bayangan atau image dari fungsi.

Domain vs. Daerah Hasil

Konsep	Simbol	Deskripsi
Domain	$D_f$	Himpunan semua nilai masukan yang valid (x)
Daerah Hasil	$R_f$	Himpunan semua nilai keluaran (y)

Hubungan penting: Daerah hasil bergantung pada aturan fungsi DAN domain.

Metode Menentukan Daerah Hasil

Metode 1: Analisis Langsung (观察法)

Untuk fungsi sederhana, analisis perilakunya secara langsung.

Contoh: $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$

Karena $x^2 \geq 0$ untuk semua bilangan real $x$, dan $x^2$ dapat bernilai sangat besar:

Daerah Hasil: $[0, +\infty)$

Metode 2: Metode Fungsi Invers (反函数法)

1. Tulis $y = f(x)$
2. Selesaikan $x$ dalam bentuk $y$
3. Cari nilai $y$ yang membuat $x$ terdefinisi

Contoh: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, $x \neq 1$

Misalkan $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

Selesaikan untuk $x$: $y(x - 1) = 2x + 1$ $xy - y = 2x + 1$ $xy - 2x = y + 1$ $x(y - 2) = y + 1$ $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$

Agar $x$ ada, maka $y \neq 2$.

Daerah Hasil: $\{y \mid y \neq 2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

Metode 3: Metode Monotonisitas (单调性法)

Gunakan sifat monoton fungsi untuk menentukan daerah hasil dari domain.

Contoh: $f(x) = 2^x$, $x \in [-1, 2]$

Karena $f(x) = 2^x$ naik secara ketat:

• Minimum: $f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
• Maksimum: $f(2) = 2^2 = 4$

Daerah Hasil: $[\dfrac{1}{2}, 4]$

Metode 4: Melengkapkan Kuadrat Sempurna (配方法)

Untuk fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Contoh: $f(x) = x^2 - 4x + 5$, $x \in \mathbb{R}$

Melengkapkan kuadrat sempurna: $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

Karena $(x - 2)^2 \geq 0$, nilai minimum adalah 1 pada $x = 2$.

Daerah Hasil: $[1, +\infty)$

Metode 5: Substitusi (换元法)

Contoh: $f(x) = x + \sqrt{x - 1}$, $x \geq 1$

Misalkan $t = \sqrt{x - 1}$, di mana $t \geq 0$

Maka $x = t^2 + 1$, sehingga: $f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1 = (t + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

Karena $t \geq 0$, minimum terjadi pada $t = 0$: $f_{\min} = 0 + 0 + 1 = 1$

Daerah Hasil: $[1, +\infty)$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan daerah hasil dari $f(x) = 3x - 2$, $x \in [0, 4]$.

Penyelesaian: Fungsi linear naik secara ketat.

• Pada $x = 0$: $f(0) = -2$
• Pada $x = 4$: $f(4) = 10$

Jawaban: $[-2, 10]$

---

Contoh 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Tentukan daerah hasil dari $f(x) = x^2 - 2x + 3$, $x \in [-1, 2]$.

Penyelesaian:

Melengkapkan kuadrat sempurna: $f(x) = (x - 1)^2 + 2$

Titik puncak pada $x = 1$ (dalam domain), minimum = 2

Periksa titik ujung:

• $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$
• $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$

Jawaban: $[2, 6]$

---

Contoh 3: Lanjutan (Kesulitan ★★★★☆)

Tentukan daerah hasil dari $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$, $x \in \mathbb{R}$.

Penyelesaian:

Misalkan $y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$

Kalikan silang: $y(x^2 + 2) = x^2 + 1$

$yx^2 + 2y = x^2 + 1$

$x^2(y - 1) = 1 - 2y$

$x^2 = \dfrac{1 - 2y}{y - 1}$

Agar $x$ real, diperlukan $x^2 \geq 0$: $\dfrac{1 - 2y}{y - 1} \geq 0$

$(1 - 2y)$ dan $(y - 1)$ harus memiliki tanda yang sama.

• Kasus 1: Keduanya positif: $y < \dfrac{1}{2}$ dan $y > 1$ → mustahil
• Kasus 2: Keduanya negatif: $y > \dfrac{1}{2}$ dan $y < 1$ → $\dfrac{1}{2} < y < 1$

Selain itu, saat $x^2 \to +\infty$, $y \to 1$ (tidak pernah sama dengan 1). Pada $x = 0$: $y = \dfrac{1}{2}$ (dapat dicapai).

Jawaban: $[\dfrac{1}{2}, 1)$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Mengabaikan Batasan Domain

Salah: Daerah hasil dari $f(x) = \sqrt{x}$ adalah $\mathbb{R}$ ✗

Benar: Daerah hasil dari $f(x) = \sqrt{x}$ adalah $[0, +\infty)$ ✓

❌ Kesalahan 2: Menggunakan Metode yang Salah untuk Domain Terbatas

Salah: Untuk $f(x) = x^2$, $x \in [1, 3]$, daerah hasilnya adalah $[0, 9]$ ✗

Benar: Daerah hasilnya adalah $[1, 9]$ (minimum di $x = 1$, bukan $x = 0$) ✓

❌ Kesalahan 3: Lupa Memeriksa Titik Ujung

Selalu verifikasi nilai fungsi pada batas domain.

Tips Belajar

1. ✅ Identifikasi jenis fungsi terlebih dahulu: Linear, kuadrat, rasional, dll.
2. ✅ Periksa apakah domain terbatas: Gunakan monotonisitas jika terbatas
3. ✅ Untuk kuadrat, cari titik puncak: Apakah berada dalam domain?
4. ✅ Untuk pecahan, gunakan metode invers: Selesaikan $x$ dalam bentuk $y$

---

💡 Tips Ujian: Untuk domain terbatas, selalu periksa titik puncak (untuk fungsi kuadrat) DAN titik ujung!