33. Jika dua bilangan real positif $x , y$ memenuhi $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 }$, berikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: (1) $y < x < 1$ ; (2) $1 < x < y$;
(3) $1 < y < x$; (4) $y < 1 < x$. Jumlah dari ini yang mungkin berlaku adalah ( )
- A. A. 0
- B. B. 1
- C. C. 2
- D. D. 3
Answer: C
Solution: $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 } \Rightarrow y \mathrm { e } ^ { y - 1 } = ( 1 + \ln x ) \mathrm { e } ^ { 1 + \ln x - 1 }$, konstruktor
konstruktor $f ( y ) = y \mathrm { e } ^ { y } ( y > 0 ) \Rightarrow f ^ { \prime } ( y ) = ( y + 1 ) \mathrm { e } ^ { y } > 0$, sehingga fungsi $f ( y )$ meningkat pada himpunan bilangan real positif.
Karena $x$ adalah bilangan real positif, maka dari $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 } \Rightarrow 1 + \ln x > 0$ berlaku
Oleh karena itu dengan ${ } ^ { y \mathrm { e } ^ { y - 1 } } = ( 1 + \ln x ) \mathrm { e } ^ { 1 + \ln x - 1 } \Rightarrow f ( y ) = f ( 1 + \ln x ) \Rightarrow y = 1 + \ln x$ , maka
Misalkan $g ( y ) = 1 + \ln y - y \Rightarrow g ^ { \prime } ( y ) = \frac { 1 - y } { y }$, ketika $y > 1$, $g ^ { \prime } ( y ) < 0 , g ( y )$ menurun secara monoton, dan ketika $0 < y < 1 _ { \text {时 } , ~ } g ^ { \prime } ( y ) > 0 , g ( y )$ meningkat secara monoton, sehingga $g ( y ) _ { \text {max } } = g ( 1 ) = 0$, sehingga kita mempunyai $g ( y ) _ { \text {max } } = g ( 1 ) = 0$. INLINE_FORMULA_11]], dan $y = 1 + \ln x$, jadi $y \leq x$, mengambil tanda sama dengan jika dan hanya jika $y = x = 1$, dan jika $x \neq 1$, , dari atas, $y < x < 1$ , atau $1 < y < x$ , jadi pilihlah: C
[点睛]Poin penting : Perubahan bentuk persamaan untuk membuat sebuah fungsi, dengan menggunakan sifat turunan adalah kunci untuk menyelesaikan masalah. 34 D
[Poin-poin penting] Menentukan parameter dari solusi pertidaksamaan kuadrat, menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tanpa parameter
[Analisis] pertidaksamaan tersebut adalah $( x - a ) ( x - 1 ) < 0$, dibagi menjadi $a > 1$ dan $a < 1$ dua kasus diskusi, untuk menemukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut, digabungkan dengan arti dari soal dan representasi himpunan tersebut, dapat diselesaikan.
Berdasarkan arti dari soal, pertidaksamaan $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ dapat direduksi menjadi $( x - a ) ( x - 1 ) < 0$, dan ketika $a > 1$, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) _ { x + a < 0 }$ adalah $( 1 , a )$. Jika terdapat tepat 3 bilangan bulat dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$, $4 < a \leq 5$; jika $a < 1$, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ adalah $( a , 1 )$. 31]] Jika ada tepat 3 bilangan bulat dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\because a > b , c > d , \therefore a + c > b + d$, maka $a c > b d$, dan rentang bilangan real $a + c > b + d$ adalah $a c > b c$. Jadi pilihlah: D.
[Penglihatan] Pertanyaan ini terutama memeriksa solusi dari pertidaksamaan kuadrat dan penerapannya, di mana solusinya akrab dengan solusi pertidaksamaan kuadrat, dikombinasikan dengan hubungan antara elemen dan himpunan solusi adalah kunci untuk memecahkan kunci, dengan fokus pada pemeriksaan aritmatika dan kemampuan untuk menyelesaikannya.