单调性dāndiàoxìng

Konsep Dasar

Kemonotonan menggambarkan apakah suatu fungsi selalu naik atau selalu turun pada suatu interval. Suatu fungsi dikatakan monoton pada suatu interval jika fungsi tersebut seluruhnya naik atau seluruhnya turun di sepanjang interval tersebut.

Definisi

Fungsi Naik (递增函数)

Fungsi $f$ monoton naik pada interval $I$ jika: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Secara setara: input lebih besar → output lebih besar.

Fungsi Turun (递减函数)

Fungsi $f$ monoton turun pada interval $I$ jika: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Secara setara: input lebih besar → output lebih kecil.

Kemonotonan Tidak Ketat

• Tidak turun: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
• Tidak naik: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

Metode untuk Menentukan Kemonotonan

Metode 1: Metode Definisi (定义法)

1. Ambil sembarang $x_1, x_2$ pada interval dengan $x_1 < x_2$
2. Hitung $f(x_1) - f(x_2)$
3. Tentukan tanda selisihnya:
   • Selalu negatif → monoton naik
   • Selalu positif → monoton turun

Contoh: Buktikan bahwa $f(x) = x^2$ monoton naik pada $(0, +\infty)$.

Untuk $0 < x_1 < x_2$: $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

Karena $x_1 < x_2$: $(x_1 - x_2) < 0$ Karena $x_1, x_2 > 0$: $(x_1 + x_2) > 0$

Maka: $f(x_1) - f(x_2) < 0$, artinya $f(x_1) < f(x_2)$.

Kesimpulan: $f(x) = x^2$ monoton naik pada $(0, +\infty)$.

Metode 2: Metode Turunan (导数法)

Untuk fungsi yang terdiferensialkan:

• $f'(x) > 0$ pada interval $I$ → $f$ monoton naik pada $I$
• $f'(x) < 0$ pada interval $I$ → $f$ monoton turun pada $I$

Contoh: Tentukan interval kestasioneran $f(x) = x^3 - 3x$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

• $f'(x) > 0$: ketika $x < -1$ atau $x > 1$
• $f'(x) < 0$: ketika $-1 < x < 1$

Interval monoton:

• Naik: $(-\infty, -1)$ dan $(1, +\infty)$
• Turun: $(-1, 1)$

Kemonotonan Fungsi Umum

Fungsi	Interval Naik	Interval Turun
$y = kx + b$ ($k > 0$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = kx + b$ ($k < 0$)	—	$(-\infty, +\infty)$
$y = x^2$	$[0, +\infty)$	$(-\infty, 0]$
$y = \dfrac{1}{x}$	—	$(-\infty, 0)$, $(0, +\infty)$
$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($a > 1$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($0 < a < 1$)	—	$(-\infty, +\infty)$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan interval monoton dari $f(x) = -x^2 + 4x$.

Penyelesaian:

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

Ini adalah parabola terbuka ke bawah dengan puncak di $x = 2$.

• Naik: $(-\infty, 2]$
• Turun: $[2, +\infty)$

Jawaban: Naik pada $(-\infty, 2]$, turun pada $[2, +\infty)$

---

Contoh 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Buktikan bahwa $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ monoton naik pada $(-1, +\infty)$.

Penyelesaian:

Misalkan $-1 < x_1 < x_2$.

$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1+1} - \dfrac{x_2}{x_2+1}$

$= \dfrac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

Karena $x_1 < x_2$: pembilang $< 0$ Karena $x_1, x_2 > -1$: $(x_1+1)(x_2+1) > 0$

Maka: $f(x_1) - f(x_2) < 0$, sehingga $f(x_1) < f(x_2)$.

Kesimpulan: $f(x)$ monoton naik pada $(-1, +\infty)$.

---

Contoh 3: Lanjutan (Kesulitan ★★★★☆)

Jika $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ monoton naik pada $[1, +\infty)$, tentukan rentang nilai $a$.

Penyelesaian:

$f(x) = (x - a)^2 + 1 - a^2$

Puncaknya berada di $x = a$.

Agar $f(x)$ monoton naik pada $[1, +\infty)$, puncak harus berada di $x = 1$ atau di sebelah kirinya.

Maka: $a \leq 1$

Jawaban: $a \leq 1$, yaitu $(-\infty, 1]$

Sifat-sifat Fungsi Monoton

1. Aturan Komposisi

$f$	$g$	$f \circ g$
Naik	Naik	Naik
Naik	Turun	Turun
Turun	Naik	Turun
Turun	Turun	Naik

Alat bantu ingat: "Sama → Naik, Berbeda → Turun" (同增异减)

2. Fungsi Invers

Jika $f$ monoton ketat, maka $f^{-1}$ ada dan memiliki kemonotonan yang sama dengan $f$.

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Mencampurkan interval monoton dengan domain

Salah: $y = \dfrac{1}{x}$ monoton turun pada $(-\infty, +\infty)$ ✗

Benar: $y = \dfrac{1}{x}$ monoton turun pada $(-\infty, 0)$ DAN pada $(0, +\infty)$ secara terpisah ✓

❌ Kesalahan 2: Menggabungkan interval yang tidak terhubung

Salah: $y = \dfrac{1}{x}$ monoton turun pada $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ✗

Benar: Nyatakan interval secara terpisah: turun pada $(-\infty, 0)$ dan pada $(0, +\infty)$ ✓

❌ Kesalahan 3: Mengabaikan batas dalam pembuktian

Saat membuktikan kemonotonan, pastikan $x_1 < x_2$ keduanya berada dalam interval yang ditentukan.

Tips Belajar

1. ✅ Kuasai definisi: $x_1 < x_2$ mengimplikasikan apa tentang $f(x_1)$ vs $f(x_2)$?
2. ✅ Hafal fungsi umum: Hafalkan kemonotonan fungsi standar
3. ✅ Gunakan turunan: Untuk fungsi kompleks, metode turunan lebih cepat
4. ✅ Jangan gabungkan interval terpisah: Selalu nyatakan setiap interval secara terpisah

---

💡 Tips Ujian: Untuk fungsi kuadrat, selalu cari titik puncak terlebih dahulu. Kemonotonan berubah di titik puncak!