导数dǎoshù

Konsep Inti

Turunan adalah konsep inti dalam kalkulus, yang menggambarkan laju perubahan seketika dari suatu fungsi pada titik tertentu. Secara geometris, turunan mewakili kemiringan garis singgung terhadap kurva pada titik tersebut.

Definisi Matematika

Turunan fungsi $y = f(x)$ pada titik $x_0$ didefinisikan sebagai:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Jika batas ini ada, fungsi $f(x)$ dikatakan dapat dibedakan pada $x_0$.

notasi Turunan ###

• $f'(x)$ - Notasi Lagrange
• $\frac{dy}{dx}$ - Notasi Leibniz
• $y'$ - bentuk singkatan
• $\frac{df}{dx}$ - bentuk diferensial

Rumus-rumus Turunan Umum

Fungsi Dasar

1. Konstanta: $(C)' = 0$
2. Daya: $(x^n)' = nx^{n-1}$
3. Eksponensial: $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \ln a$
4. Logaritmik: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
5. Trigonometri:
   • $(\sin x)' = \cos x$
   • $(\cos x)' = -\sin x$
   • $(\tan x)' = \sec^2 x$

Aturan Turunan

1. Jumlah / Selisih: $(f \pm g)' = f' \pm g'$
2. Product: __ RUMUS_MATEMATIKA_23__
3. ** Hasil bagi**: __ RUMUS_MATEMATIKA_24__
4. ** Rantai**: __ RUMUS_MATEMATIKA_25__

Aplikasi

1. Menemukan Garis Singgung

Garis singgung pada kurva $y = f(x)$ di $(x_0, f(x_0))$:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. Menentukan Monotonitas

• $f'(x) > 0$ → fungsi naik
• $f'(x) < 0$ → fungsi menurun
• $f'(x) = 0$ → kemungkinan ekstrem

3. Menemukan Ekstrema

Langkah-langkah:

1. Cari turunan $f'(x)$
2. Selesaikan $f'(x) = 0$ untuk titik-titik kritis
3. Menguji perubahan tanda di sekitar titik kritis

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar bahasa Mandarin untuk membantu siswa membiasakan diri dengan jenis-jenis pertanyaan dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan turunan dari $f(x) = x^3 + 2x$.

Penyelesaian: $f'(x) = 3x^2 + 2$

---

Contoh 2: Menengah (Tingkat kesulitan ★★★☆☆)

Temukan persamaan garis singgung ke $y = x^2$ di titik $(1, 1)$.

Solusi:

Langkah 1: Cari turunan dari $y' = 2x$

Langkah 2: Temukan kemiringan di $x=1$: $k = 2(1) = 2$

Langkah 3: Tulis persamaan garis singgung: $y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

Jawaban: $y = 2x - 1$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Kesulitan ★★★★☆)

Temukan ekstrema dari $f(x) = x^3 - 3x$.

Penyelesaian:

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

Titik kritis: $x = -1, 1$

• Maksimum: $f(-1) = 2$ di $x = -1$
• Minimum: $f(1) = -2$ di $x = 1$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: $(x^2)' = 2$

Koreksi: $(x^2)' = 2x$, bukan 2! Ingatlah untuk menyimpan $x$.

❌ Kesalahan 2: $(fg)' = f'g'$

Koreksi: Aturan produknya adalah $(fg)' = f'g + fg'$, bukan $f'g'$!

Kesalahan 3: $f'(x_0) = 0$ selalu berarti ekstrem

Koreksi: $f'(x_0) = 0$ hanya merupakan kondisi yang diperlukan. Harus memverifikasi perubahan tanda.

Tips Belajar

1. pahami definisi**: Turunan = laju sesaat = kemiringan garis singgung
2. menghafal rumus**: Pelajari turunan dan aturan dasar
3. ✅ Berlatih: Terutama aplikasi aturan rantai
4. ✅ Aplikasi: Turunan banyak digunakan dalam pengoptimalan

---

💡 Tip Ujian: Turunan mencakup sekitar 15% dari pertanyaan matematika CSCA. Kuasai diferensiasi dasar dan aplikasi geometris!