导数dǎoshù

Konsep Pokok

Turunan merupakan konsep inti dalam kalkulus, yang menggambarkan laju perubahan sesaat suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Secara geometris, turunan mewakili kemiringan garis singgung kurva pada titik tersebut.

Definisi Matematis

Turunan fungsi $y = f(x)$ pada titik $x_0$ didefinisikan sebagai:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Jika batas ini ada, maka fungsi $f(x)$ dikatakan dapat didiferensiasikan di $x_0$.

Notasi Turunan

• $f'(x)$ - Notasi Lagrange
• $\frac{dy}{dx}$ - Notasi Leibniz
• $y'$ - bentuk singkatan
• $\frac{df}{dx}$ - bentuk diferensial

Rumus-Rumus Turunan Umum

Fungsi Dasar

1. Konstan: $(C)' = 0$
2. Daya: $(x^n)' = nx^{n-1}$
3. Eksponensial: $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \ln a$
4. Logaritmik: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
5. Trigonometri:
   • $(\sin x)' = \cos x$
   • $(\cos x)' = -\sin x$
   • $(\tan x)' = \sec^2 x$

Aturan Turunan

1. Jumlah/Selisih: $(f \pm g)' = f' \pm g'$
2. Produk: $(fg)' = f'g + fg'$
3. Koefisien: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
4. Rantai: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Aplikasi

1. Menentukan Garis Singgung

Garis singgung kurva $y = f(x)$ pada titik $(x_0, f(x_0))$:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. Menentukan Monotonisitas

• $f'(x) > 0$ → peningkatan fungsi
• $f'(x) < 0$ → fungsi menurun
• $f'(x) = 0$ → kemungkinan titik ekstrem

3. Menentukan Titik Ekstremum

Langkah-langkah:

1. Cari turunan $f'(x)$
2. Tentukan titik-titik kritis fungsi $f'(x) = 0$
3. Uji perubahan rambu di sekitar titik-titik kritis

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa membiasakan diri dengan jenis-jenis soal dan pendekatan dalam memecahkan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan turunan dari $f(x) = x^3 + 2x$.

Solusi: $f'(x) = 3x^2 + 2$

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Tentukan persamaan garis singgung pada $y = x^2$ di titik $(1, 1)$.

Solusi:

Langkah 1: Tentukan turunan dari $y' = 2x$

Langkah 2: Tentukan kemiringan pada $x=1$: $k = 2(1) = 2$

Langkah 3: Tulis persamaan garis singgung: $y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

Jawaban: $y = 2x - 1$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Tentukan nilai ekstrem dari $f(x) = x^3 - 3x$.

Solusi:

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

Titik-titik kritis: $x = -1, 1$

• Maksimum: $f(-1) = 2$ hingga $x = -1$
• Minimum: $f(1) = -2$ hingga $x = 1$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: $(x^2)' = 2$

Koreksi: $(x^2)' = 2x$, bukan 2! Ingatlah untuk tetap menggunakan $x$.

❌ Kesalahan 2: $(fg)' = f'g'$

Koreksi: Kode produknya adalah $(fg)' = f'g + fg'$, bukan $f'g'$!

❌ Kesalahan 3: $f'(x_0) = 0$ selalu berarti titik ekstrem

Koreksi: $f'(x_0) = 0$ hanyalah syarat yang diperlukan. Harus diverifikasi apakah terjadi perubahan tanda.

Tips Belajar

1. ✅ Memahami definisi: Turunan = laju sesaat = kemiringan garis singgung
2. ✅ Hafalkan rumus-rumus: Pelajari turunan dasar dan aturannya
3. ✅ Latihan: Terutama penerapan aturan rantai
4. ✅ Aplikasi: Derivatif banyak digunakan dalam optimisasi

---

💡 Tips Ujian: Turunan mencakup sekitar 15% dari soal-soal matematika CSCA. Kuasai konsep dasar turunan dan penerapannya dalam geometri!