导数dǎoshù

Konsep Dasar

Turunan adalah konsep dasar dalam kalkulus, yang menggambarkan laju perubahan instan suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Secara geometris, turunan mewakili kemiringan garis singgung pada kurva di titik tersebut.

Definisi Matematis

Turunan fungsi$y = f(x)$

pada titik$x_0$

didefinisikan sebagai:$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Jika batas ini ada, fungsi$f(x)$

dikatakan diferensiabel di$x_0$

.

Notasi Turunan

-$f'(x)$

• Notasi Lagrange -$\frac{dy}{dx}$

• Notasi Leibniz -$y'$

• Bentuk singkatan -$\frac{df}{dx}$

• Bentuk diferensial

Rumus Turunan Umum

Fungsi Dasar

1. Konstan: $(C)' = 0$

2. Pangkat: $(x^n)' = nx^{n-1}$

3. Eksponensial:$(e^x)' = e^x$

, $(a^x)' = a^x \ln a$

4. Logaritmik: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

5. Trigonometri:

$(\sin x)' = \cos x$

• $(\cos x)' = -\sin x$

###$(\tan x)' = \sec^2 x$

Aturan Turunan

1. Jumlah/Selisih:$(f \pm g)' = f' \pm g'$

2. Produk: $(fg)' = f'g + fg'$

3. Pembagian: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

4. Rantai: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Aplikasi

1. Menemukan Garis Singgung

Garis singgung kurva$y = f(x)$

di titik$(x_0, f(x_0))$

:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. Menentukan Monotonitas

-$f'(x) > 0$

→ fungsi meningkat -$f'(x) < 0$

→ fungsi menurun -$f'(x) = 0$

→ kemungkinan ekstremum

3. Menemukan Ekstremum

Langkah-langkah:

1. Temukan turunan $f'(x)$

2. Selesaikan$f'(x) = 0$

untuk titik kritis 3. Uji perubahan tanda di sekitar titik kritis

Soal Latihan CSCA

> 💡 Catatan: Soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa familiar dengan jenis soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Temukan turunan dari$f(x) = x^3 + 2x$

.

Penyelesaian:

---

$f'(x) = 3x^2 + 2$

Contoh 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Temukan persamaan garis singgung di$y = x^2$

titik$(1, 1)$

.

Solusi:

Langkah 1: Temukan turunan $y' = 2x$

Langkah 2: Temukan kemiringan di$x=1$

:$k = 2(1) = 2$

Langkah 3: Tulis persamaan garis singgung:

$y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

Jawaban:

---$y = 2x - 1$

Contoh 3: Lanjutan (Kesulitan ★★★★☆)

Temukan ekstremum dari$f(x) = x^3 - 3x$

.

Solusi:

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

Titik kritis: $x = -1, 1$

• Maksimum:$f(-1) = 2$

di $x = -1$

• Minimum:$f(1) = -2$

di

##$x = 1$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1:

$(x^2)' = 2$

Koreksi:$(x^2)' = 2x$

, bukan 2! Ingat untuk mempertahankan$x$

.

❌ Kesalahan 2:$(fg)' = f'g'$

Koreksi: Aturan produk adalah$(fg)' = f'g + fg'$

, bukan$f'g'$

!

❌ Kesalahan 3:$f'(x_0) = 0$

selalu berarti ekstremum

Koreksi: hanya$f'(x_0) = 0$

merupakan syarat perlu. Harus memeriksa perubahan tanda.

Tips Belajar

1. ✅ Pahami definisi: Turunan = laju instan = kemiringan garis singgung
2. ✅ Hafalkan rumus: Pelajari turunan dasar dan aturan
3. ✅ Latihan: Terutama aplikasi aturan rantai
4. ✅ Aplikasi: Turunan banyak digunakan dalam optimasi

---

💡 Tips Ujian: Turunan menyumbang sekitar 15% dari soal matematika CSCA. Kuasai diferensiasi dasar dan aplikasi geometris!